备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题37 难舍难分的an与Sn——求数列的通项公式.doc
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1、1专题专题 3737 难舍难分的难舍难分的na与与nS -求数列的通项公式求数列的通项公式【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】关于求数列的通项公式问题,在高考中很少独立命题,但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中,特别是题目中给定na与nS的关系,通过确定数列的通项公式进一步解题,常见于各类考试题中.本专题举例说常见类型的求解方法.1、累加(累乘法)(1)累加法:如果递推公式形式为: 1nnaaf n,则可利用累加法求通项公式 等号右边为关于n的表达式,且能够进行求和 1,nnaa的系数相同,且为作差的形式(2)累乘法:如果递推公式形式为: 1nnaf na,则可利用累加法求通
2、项公式2、构造辅助数列:通过对递推公式进行变形,变形为相邻项同构的特点,进而将相同的结构视为一个整体,即构造出辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式,便可算出原数列的通项公式(1)形如11,0nnapaq pq的形式:通常可构造出等比数列,进而求出通项公式.(2)形如1n nnapaq,此类问题可先处理nq,两边同时除以nq,得11nn nnaapqq,进而构造成1 11nn nnap a qq q ,设n nnabq,从而变成11nnpbbq,从而将问题转化为第(1)个问题小结:对于以上两个问题,还有一个通用的方法:对于形如 1nnapaf n(其中 f n为关于n的表达式) ,可两边同时除以
3、np, 1 1nn nnnf naappp .设n nnabp,即 1nnnf nbbp,进而只要 nf np可进行求和,便可用累加的方法求出nb,进而求出nb.(3)形如:11nnnnqapaa a,可以考虑两边同时除以1nna a,转化为11nnqp aa的形式,进而可设1n nba,递推公式变为11nnqbpb,转变为上面的类型求解(4)形如21nnnpapq aqak,即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数,则可根据两边2项的系数对中间项进行拆分,构造为:211nnnnp aaq aak的形式,将1nnnbaa,进而可转化为上面所述类型进行求解 4、已知数列 na的前n项和nS,求数
4、列的通项公式,其求解过程分为三步:(1)先利用11aS求出1a;(2)用1n替换nS中的n得到一个新的关系,利用na1nnSS (2)n 便可求出当2n 时na的表达式;(3)对1n 时的结果进行检验,看是否符合2n 时na的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分1n 与2n 两段来写5、构造相减:当所给递推公式无法直接进行变形,则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式,通过两式相减可构造出新的递推公式,再尝试解决.尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题,这种做法可构造出更为简单的递推公式. 6、先通过数列前几项找到数列特点,从而猜出通项公式(教科书
5、的基本要求:根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与n之间的关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列常见数列的通项公式来求对于正负符号变化,可用 1n或 11n来调整) ,必要时再利用数学归纳法证明.【经典例题经典例题】例 1.(1)数列 na满足:11a ,且121n nnaa,求na.(2)已知数列 na满足:11a ,且11nnnana,求na【答案】 (1)22n nan;(2)nan.【解析】 (1)121n nnaa1 121n nnaa 1 2121aa累加可得:21 12221n naan312 2112321n nnn 22n
6、 nan(2)1 111n nn nannanaan 1212112 121nnnnaaann aaann1nana 1nanan例 2.(1)数列 na中,11a ,132nnaa,求数列 na的通项公式.(2)在数列 na中,11a ,132 3nnnaa,求数列 na的通项公式.【答案】 (1)12 31n na;(2)5233n nan.1na是公比为3的等比数列1 1113nnaa 12 31n na(2)132 3nnnaa1 1233nn nnaa 3n na是公差为 2 的等差数列1 15122333n naann45233n nan例 3.已知数列 na满足11a , 21
7、3a ,若* 1111232,nnnnnaaaaannN,则数列 na的通项na ( )A. 11 2nB. 1 21nC. 11 3nD. 11 21n【答案】B【解析】111123nnnnnna aa aaa , 11123nnnaaa , 1111112nnnnaaaa,例 4.【2019 届甘肃省兰州第一中学上学期第二次月考】已知正项数列 na的首项11a ,前n项和为nS,若以,nna S为坐标的点在曲线112yx x上,则数列 na的通项公式为_【答案】nan【解析】因为以,nna S为坐标的点在曲线112yx x上,所以112nnnSaa,即22 1112,2nnnnnnSaaS
8、aa,两式相减,得22 1112nnnnnaaaaa,即22 11nnnnaaaa,即2211111 2424nnaa,即111) 22nnaa,5即11nnaa,又11a ,即数列 na是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列,则数列 na的通项公式为nan;故填nan.例 5.【2019 届四川省绵阳市三诊】已知正项数列 na的前n项和nS满足: 11nna aSS(1)求数列 na的通项公式;(2)令2log32n nab ,求数列 nb的前n项和nT.【答案】 (1)2nna ;(2)29 2nn【解析】 【试题分析】(1)令1n 求得1a,然后利用11,1 ,2n nnS naSSn
9、,求得通项公式.(2) 化简得5nbn,为等差数列,利用等差数列前n项和公式,求得nT.【试题解析】数列 na是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,故2nna .数列 na的通项公式为2nna .(2)2log32n nab ,代入2nna 化简得5nbn,显然 nb是等差数列,其前n项和245922nnnnnT .例 6.【2019 届河北省武邑中学高三下期中】已知数列 na的前n项和为nS,且满足6*41 ,3nnSanN.(1)求数列 na的通项公式;(2)令2lognnba,记数列1 11nnbb的前n项和为nT,证明: 11 32nT.【答案】 (1)*4nnanN(2)见解析 【
10、解析】分析:(1)利用项和公式求数列 na的通项公式. (2)先求出nb,再裂项求和,再证明不等式.详解:(1)当1n 时,有111413aSa,解得14a ,当2n 时,有11413nnSa,则11441133nnnnnaSSaa整理得14nna a数列 na是以4q 为公比,以14a 为首项的等比数列111221n7易知数列 nT为递增数列,11 2nTT,即11 32nT.例 7.【2019 届河北省衡水金卷一模】已知数列的前 项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)记,数列的前 项和为,求.【答案】 (1)(2)【解析】分析:(1)由,得到即为常数列,从而得到数列的通项公式;(2)
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