备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题46 直线与圆、圆与圆的位置关系.doc
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1、1专题专题 4646 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】高考对圆的方程的考查,一般是以小题的形式出现,也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题纵观近几年的高考试题,主要考查以下几个方面:一是考查圆的方程,要求利用待定系数法求出圆的方程,并结合圆的几何性质解决相关问题;二是考查直线与圆的位置关系,高考要求能熟练地解决圆的切线问题,弦长问题是高考热点,其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形,是求弦长问题的关键三是判断圆与圆的位置关系,确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.本专题通过例题说明关于直线与圆、圆与圆的位置关系问题的解
2、法与技巧.1、定义:在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆2、圆的标准方程:设圆心的坐标,C a b,半径为r,则圆的标准方程为:222xaybr3、圆的一般方程:圆方程为220xyDxEyF(1)22,xy的系数相同(2)方程中无xy项(3)对于, ,D E F的取值要求:2240DEF4、直线与圆位置关系的判定:相切,相交,相离,位置关系的判定有两种方式:(1)几何性质:通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系,设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则: 当rd时,直线与圆相交 当rd时,直线与圆相切 当rd时,直线与圆相离(2)代数性质:可通过判断直线与圆的交点个数得到
3、直线与圆位置关系,即联立直线与圆的方程,再判断解的个数.设直线:0AxByC,圆:220xyDxEyF,则:2200AxByCxyDxEyF 消去y可得关于x的一元二次方程,考虑其判别式的符号 0 ,方程组有两组解,所以直线与圆相交 0 ,方程组有一组解,所以直线与圆相切2 0 ,方程组无解,所以直线与圆相离 5、直线与圆相交:弦长计算公式:2222ABAMrd6、直线与圆相切:(1)如何求得切线方程:主要依据两条性质:一是切点与圆心的连线与切线垂直;二是圆心到切线的距离等于半径(2)圆上点的切线结论: 圆222xyr上点00,P xy处的切线方程为2 00x xy yr 圆222xaybr上
4、点00,P xy处的切线方程为 2 00xaxaybybr(3)过圆外一点的切线方程(两条切线):可采取上例方法二的做法,先设出直线方程,再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率,从而得到方程.(要注意判断斜率不存在的直线是否为切线)7、与圆相关的最值问题(1)已知圆C及圆外一定点P,设圆C的半径为r则圆上点到P点距离的最小值为PMPCr,最大值为PNPCr(即连结PC并延长,M为PC与圆的交点,N为PC延长线与圆的交点.MCNP(2)已知圆C及圆内一定点P,则过P点的所有弦中最长的为直径,最短的为与该直径垂直的弦MN.CPAB(3)已知圆C和圆外的一条直线l,则圆上点到直线距离的最小值为C lP
5、Mdr,距离的最大值为C lPNdr(过圆心C作l的垂线,垂足为P,CP与圆C交于M,其反向延长线交圆C于N 3lMCPN(4)已知圆C和圆外的一条直线l,则过直线l上的点作圆的切线,切线长的最小值为PM.lCPM8、圆与圆的位置关系:外离,外切,相交,内切,内含(1)可通过圆心距离与半径的关系判定:设圆12,O O的半径为12,r r,12OOd 12drr12,OOAA外离 12drr12,OOAA外切 1212rrdrr12,OOAA相交 12drr12,OOAA内切 12drr12,OOAA内含(2)可通过联立圆的方程组,从而由方程组解的个数判定两圆位置关系.但只能判断交点的个数.例如
6、方程组的解只有一组时,只能说明两圆有一个公共点,但是外切还是内切无法直接判定【经典例题经典例题】例 1.【2016 高考山东】已知圆M:2220(0)xyaya+-=截直线0xy+=所得线段的长度是2 2,则圆M与圆N:22(1)1xy+-=(-1)的位置关系是( )(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离【答案】B【解析】试题分析:4由2220xyay(0a )得222xyaa(0a ) ,所以圆的圆心为0,a,半径为1ra,因为圆截直线0xy所得线段的长度是2 2,所以22222 2 211aa,解得2a ,圆的圆心为 1,1,半径为21r ,所以220 12 12 ,123rr,121r
7、r,因为1212rrrr ,所以圆与圆相交,故选 B例 2.【2019 届湖北省华师一附中调研】已知圆 C: 2224xay(0a )及直线l: 30xy,当直线l被 C 截得的弦长为2 3时,则a= ( )A. 2 B. 22 C. 21 D. 21【答案】C【解析】由题意,得 2 21341 1a,解得21a ,又因为0a ,所以21a ;故选 C.例 3.【2019 届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷(一) 】已知两点,0A a, ,0Ba(0a ) ,若曲线222 3230xyxy上存在点P,使得90APB,则正实数a的取值范围为( )A. 0,3 B. 1,3 C. 2,3 D. 1
8、,2【答案】B例 4.已知直线:21440lmxmym上总存在点M,使得过M点作的圆C: 222430xyxy的两条切线互相垂直,则实数m的取值范围是( )A. 1m 或2m B. 28m C. 210m D. 2m 或8m 【答案】C5【解析】如图,设切点分别为 A,B连接 AC,BC,MC,由90AMBMACMBC 及MAMB知,四边形 MACB 为正方形,故222MC ,若直线 l 上总存在点 M 使得过点 M 的两条切线互相垂直,只需圆心1 2 ,到直线l的距离 22222442 21mmmd mm ,即28200mm ,210m ,故选 C例 5.过点2,1作圆22124xy的弦,其
9、中最短的弦长为 .【答案】2 2.yxOPBADC点睛:数形结合思想的应用,是解析几何的重要特征,解题过程中要通过分析题目的条件和结论,灵活的加以转化.例 6 【2016 高考新课标 3】已知直线l:330mxym与圆2212xy交于,A B两点,过,A B分别做l的垂线与x轴交于,C D两点,若2 3AB ,则|CD _.【答案】46【解析】因为| 2 3AB ,且圆的半径为2 3,所以圆心(0,0)到直线330mxym的距离为22|()32ABR ,则由2|33 |3 1mm ,解得3 3m ,代入直线l的方程,得32 33yx,所以直线l的倾斜角为30,由平面几何知识知在梯形ABDC中,
10、|4cos30ABCD 例 7已知圆22 1:2610Cxyxy ,圆22 2:42110Cxyxy,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长 【答案】3460xy,24 5.【解析】将两圆方程相减得相交弦的方程为:3460xy.将22 1:2610Cxyxy 配方得: 22(1)(3)9xy,圆心到公共弦的距离为223 1269534d .所以弦长为2912242 9( )2555.例 8. 求过点3,1M的圆22(1)(2)4C xy:的切线方程【答案】x3,3450xy.点睛:求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求直线方程若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;
11、若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线例 9. 已知点(2,0)P及圆C:226440xyxy.若直线l过点P且与圆心C的距离为 1,求直线l的方程;设过点 P 的直线1l与圆C交于M、N两点,当4MN 时,求以线段MN为直径的圆Q的方程;设直线10axy 与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点(2,0)P的直线2l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.【答案】3460xy或2x ;22(2)4xy;不存在实数a,使得过点(2, 0)P的直线2l垂直平分弦AB.7【解析】设直线l的斜率为k(k存在) ,则方程为0(2)yk x. 即02ky
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