备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题65 离散型随机变量分布列与数字特征.doc
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1、1专题专题 6565 离散型随机变量分布列与数字特征离散型随机变量分布列与数字特征【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题,离散型随机变量的分布列及其数字特征是高考命题的热点.往往以实际问题为背景考查离散型随机变量的数字特征在实际问题中的应用考查数据处理能力以及分析问题解决问题的能力.有时概率统计问题一同考查.难度控制在中等本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上,举例说明.(一)离散型随机变量分布列:1、随机变量:对于一项随机试验,会有多个可能产生的试验结果,则通过确定一个对应关系,使得每一个试验结果与一个确定的数相对应,在这种对应关系下,数字随着每次试验结果的变化而变化
2、,将这种变化用一个变量进行表示,称这个变量为随机变量(1)事件的量化:将试验中的每个事件用一个数来进行表示,从而用“数”即可表示事件.例如:在扔硬币的试验中,用 1 表示正面朝上,用 0 表示反面朝上,则提到 1,即代表正面向上的事件.将事件量化后,便可进行该试验的数字分析(计算期望与方差) ,同时也可以简洁的表示事件(2)量化的事件之间通常互为互斥事件(3)随机变量:如果将事件量化后的数构成一个数集,则可将随机变量理解为这个集合的代表元素.它可以取到数集中每一个数,且每取到一个数时,就代表试验的一个结果.例如:在上面扔硬币的试验中,设向上的结果为,则“1”代表“正面向上” ,0”代表“反面向
3、上” ,(4)随机变量的记法:随机变量通常用, , , ,X Y 等表示(5)随机变量的概率:记iP Xx为X取ix所代表事件发生的概率2、离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量,离散型随机变量的取值集合可以是有限集,也可以是无限集3、分布列:一般地,若离散型随机变量X可能取得不同值为12,inx xxx,X取每一个值1,2,ix in的概率iiP Xxp,以表格的形式表示如下:X1x2xixnxP1p2pipnp称该表格为离散型随机变量X的分布列,分布列概率具有的性质为:(1)0,1,2,ipin2(2)121nppp,此性质的作用如下: 对于随机变量分布列,概率
4、和为 1,有助于检查所求概率是否正确 若在随机变量取值中有一个复杂情况,可以考虑利用概率和为 1 的特征,求出其他较为简单情况的概率,利用间接法求出该复杂情况的概率 (二)常见的分布:1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布:(1)随机变量的取值:随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致.(2)每个特殊的分布都有一个试验背景,在满足(1)的前提下可通过该试验的特征判断是否符合某分布2、常见的分布(1)两点分布:一项试验有两个结果,其中事件A发生的概率为p,令1,X 事件发生0,事件未发生,则X的分布列为:X01P1pp则称X符合两点分布(也称伯努利分布) ,其中1pP X称为成功概率(2)
5、超几何分布:在含有M个特殊元素的N个元素中,不放回的任取n件,其中含有特殊元素的个数记为X,则有,0,1,2,kn k MNM n NC CP XkkmC ,其中min,mM n, ,nN MN n M NN即:X01mP00n MNM n NC C C 11n MNM n NC C C mn m MNM n NC C C 则称随机变量X服从超几何分布,记为,XH N M n:(3)二项分布:在n次独立重复试验中,事件A发生的概率为p,设在n次试验中事件A发生的次数为随机变量X,则有1,0,1,2,n kkk nP XkC ppkn ,即:X01k n3P01n nCp111n nC pp1n
6、 kkk nC ppnn nC p则称随机变量X符合二项分布,记为,XB n p: (三)数字特征期望与方差1、期望:已知离散性随机变量的分布列为:12inP1p2pipnp则称1 122nnppp的值为的期望,记为E (1)期望反映了随机变量取值的平均水平,换句话说,是做了n次这样的试验,每次试验随机变量会取一个值(即结果所对应的数) ,将这些数进行统计,并计算平均数,当n足够大时,平均数无限接近一个确定的数,这个数即为该随机变量的期望.例如:连续投篮三次,设投进篮的次数为随机变量X,那么将这种连续三次投篮的试验重复做很多次(比如410次) ,统计每次试验中X的取值1210000,XXX,则
7、这10000个值的代数平均数将很接近期望EX (2)期望的运算法则:若两个随机变量, 存在线性对应关系:ab,则有EE abaEb ab是指随机变量取值存在对应关系,且具备对应关系的一组, 代表事件的概率相同:若的分布列为:则ab的分布列为: 这个公式体现出通过随机变量的线性关系,可得期望之间的联系.在某些直接求期望的题目中,若所求期望的随机变量不符合特殊分布,但与一个特殊分布的随机变量间存在这样的关系,那么在计算期望时,便可借助这个特殊分布的随机变量计算出期望12nP1p2pnp1ab2abnabP1p2pnp42、方差:已知离散性随机变量的分布列为:12inP1p2pipnp且记随机变量的
8、期望为E,用D表示的方差,则有:222 1122nnDpEpEpE(1)方差体现了随机变量取值的分散程度,与期望的理解类似,是指做了n次这样的试验,每次试验随机变量会取一个值(即结果所对应的数) ,将这些数进行统计.方差大说明这些数分布的比较分散,方差小说明这些数分布的较为集中(集中在期望值周围) (2)在计算方差时,除了可以用定义式之外,还可以用以下等式进行计算:设随机变量为 ,则 22DEE (3)方差的运算法则:若两个随机变量, 存在线性对应关系:ab,则有:2DD aba D3、常见分布的期望与方差:(1)两点分布:则,1EXp DXpp (2)二项分布:若,XB n p:,则,1EX
9、np DXnpp (3)超几何分布:若,XH N M n:,则 2,1nM NMNnMEXnDXNNN注:通常随机变量的期望和方差是通过分布列计算得出,如果题目中跳过求分布列直接问期望(或方差) ,则可先观察该随机变量是否符合特殊的分布,或是与符合特殊分布的另一随机变量存在线性对应关系.从而跳过分布列中概率的计算,直接利用公式得到期望(或方差)【经典例题经典例题】例 1.【2019 年浙江卷】设 02D()C1E( )2E(),1D( )2E(),1D( )2D()【答案】A【解析】6【考点】 两点分布【名师点睛】求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定X的取值情况,然后利用排列,组合
10、与概率知识求出X取各个值时的概率对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可以直接应用公式给出,其中超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数由已知本题随机变量i服从两点分布,由两点分布均值与方差公式可得 A 正确例 4.【2017 课标 II,理 13】一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,表示抽到的二等品件数,则D .【答案】1.96例 5.【2017 天津,理 16】从甲地到乙地要经过 3 个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为1 1 1,2 3 4.()设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数
11、,求随机变量X的分布列和数学期望;()若有 2 辆车独立地从甲地到乙地,求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.【答案】 (1)13 12(2) 11 487所以,随机变量X的分布列为X0123P1 411 241 41 24随机变量X的数学期望1111113()012342442412E X .例 6.【2017 课标 1,理 19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量其尺寸(单位:cm)根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2( ,)N (1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件
12、中其尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件数,求(1)P X 及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查()试说明上述监控生产过程方法的合理性;()下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:89.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i ixx ,1616 22221111()(16)0.2121616ii iisxxxx ,其中ix为抽取的第i
13、个零件的尺寸,1,2,16i 用样本平均数x作为的估计值,用样本标准差s作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除 (3 ,3 ) 之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到 0.01)附:若随机变量Z服从正态分布2( ,)N ,则(33 )0.997 4PZ,160.997 40.959 2,0.0080.09 【解析】9【考点】正态分布,随机变量的期望和方差.【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念,反应随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时,首先要分清事件的构成与性质,确定离散型随机变量的所有取值,然后根据概率类型选择公式,计算每个变
14、量取每个值的概率,列出对应的分布列,最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布,之前考过一次,尤其是正态分布的3原则.例 7.【2017 山东,理 18】 (本小题满分 12 分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有 6 名男志愿者 A1,A2,A3,A4,A5,A6和 4 名女志愿者 B1,B2,B3,B4,从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示,另 5人接受乙种心理暗示.(I)求接受甲种心理暗示的志愿者中
15、包含 A1但不包含1B的频率.(II)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求 X 的分布列与数学期望 EX.【答案】 (I)5.18(II)X 的分布列为X0123410P1 425 2110 215 211 42X 的数学期望是2EX .【解析】试题分析:(I)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A但不包含1B的事件为 M,计算即得(II)由题意知 X 可取的值为:0,1,2,3,4.利用超几何分布概率计算公式得 X 的分布列为X01234P1 425 2110 215 211 42进一步计算 X 的数学期望.因此 X 的分布列为X01234P1 425 2110 215 211 42
16、11X 的数学期望是0(0) 1(1)2(2)3(3)4(4)EXP XP XP XP XP X =151051012342.4221212142 【考点】1.古典概型.2.随机变量的分布列与数学期望.3.超几何分布.【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题,首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数,利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目,计算量不是很大,能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.例 8.【2019 年理数天津卷】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层
17、抽样的方法从中抽取 7 人,进行睡眠时间的调查.(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(II)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设A为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工” ,求事件A发生的概率.【答案】 ()从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人,2 人,2 人 () (i)答案见解析;(ii) 详解:()由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322,由于采用分层抽样的方法从中抽取
18、 7 人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人,2 人,2 人() (i)随机变量X的所有可能取值为 0,1,2,3P(X=k)=(k=0,1,2,3) 所以,随机变量X的分布列为X0123P12随机变量X的数学期望(ii)设事件B为“抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 1 人,睡眠不足的员工有 2 人” ;类个体的个数超几何分布的特征是:考查对象分两类;已知各类对象的个数;从中抽取若干个个体,考查某类个体个数X的概率分布,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式巧解:(1) ;(2)总体中某两层的个体数之
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