(浙江专用)2019高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第2讲 数列的求和问题学案.doc
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1、1第第 2 2 讲讲 数列的求和问题数列的求和问题考情考向分析 数列的求和问题作为数列的基础知识,为数列与不等式等综合问题提供必要的准备热点一 分组转化法求和有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并例 1 在各项均为正数的等比数列an中,a1a34,a3是a22 与a4的等差中项,若an12nb(nN N*)(1)求数列bn的通项公式;(2)若数列满足cnan1,求数列的前n项和S1 b2n1b2n1cn解 (1)设等比数列an的公比为q,且q0,由an0,a1a34,得a22,又a3是a22 与a4的等
2、差中项,故 2a3a22a4,22q222q2,q2 或q0(舍)ana2qn22n1,an12n2nb,bnn(nN N*)(2)由(1)得,cnan11 b2n1b2n12n2n,12n12n11 2(1 2n11 2n1)数列的前n项和cnSn2222n1 2(11 3)(1 31 5)(1 2n11 2n1)212n121 2(11 2n1)2n12(nN N*)n 2n1思维升华 在处理一般数列求和时,一定要注意使用转化思想把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,在求和时要分清楚哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解在利用分组求和法求和时,由于数列的各项是正
3、负交替的,所以一般需要2对项数n进行讨论,最后再验证是否可以合并为一个公式跟踪演练 1 已知an为等差数列,且a23,an前 4 项的和为 16,数列bn满足b14,b488,且数列为等比数列(nN N*)bnan(1)求数列an和的通项公式;bnan(2)求数列bn的前n项和Sn.解 (1)设an的公差为d,因为a23,an前 4 项的和为 16,所以a1d3,4a1d16,4 3 2解得a11,d2,所以an1(n1)22n1(nN N*)设的公比为q,则b4a4q3,bnan(b1a1)所以q327,得q3,b4a4 b1a1887 41所以bnan3n13n(nN N*)(41)(2)
4、由(1)得bn3n2n1,所以Sn(332333n)(1352n1)3(13n)13n(12n1)2n2n2 (nN N*)3 2(3n1)3n1 23 2热点二 错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列anbn的前n项和,其中an,bn分别是等差数列和等比数列例 2 已知数列an满足a1a3,an1,设bn2nan(nN N*)an 23 2n1(1)求数列bn的通项公式;(2)求数列an的前n项和Sn.解 (1)由bn2nan,得an,代入an1得bn 2nan 23 2n1,即bn1bn3,bn1 2n1bn 2n13 2n1所以数列bn
5、是公差为 3 的等差数列,又a1a3,所以,即,所以b12,b1 2b3 8b1 2b16 8所以bnb13(n1)3n1(nN N*)3(2)由bn3n1,得an,bn 2n3n1 2n所以Sn ,2 25 228 233n1 2nSn,1 22 225 238 243n1 2n1两式相减得Sn131 2(1 221 231 2n)3n1 2n1 ,5 23n5 2n1所以Sn5(nN N*)3n5 2n思维升华 (1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和,其中an为等差数列,bn为等比数列(2)所谓“错位” ,就是要找“同类项”相减要注意的是相减后得到部分求等比数列的和,此时一定要查清
6、其项数(3)为保证结果正确,可对得到的和取n1,2 进行验证跟踪演练 2 已知数列an的前n项和是Sn,且Snan1(nN N*)数列bn是公差d不等1 2于 0 的等差数列,且满足:b1a1,b2,b5,b14成等比数列3 2(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cnanbn,求数列cn的前n项和Tn.解 (1)当n1 时,a1a11,a1 ,1 22 3当n2 时,Error!SnSn1,所以anan1(n2),1 2(an1an)1 3所以an是以 为首项, 为公比的等比数列,2 31 3所以an n12n.2 3(1 3)(1 3)由b11,又bb2b14,得2,2 5(14d)(
7、1d)(113d)d22d0,因为d0,所以d2,所以bn2n1(nN N*)(2)由(1)得cn,4n2 3n则Tn ,2 36 3210 334n2 3n4Tn,1 32 326 3310 344n6 3n4n2 3n1得,Tn 4,2 32 3(1 321 331 3n)4n2 3n1 4 ,2 31 91 3n11134n2 3n14 32 3n4n2 3n1所以Tn2(nN N*)2n2 3n热点三 裂项相消法求和裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后,某些项可以相互抵消从而求和的方法,主要适用于或(其中an为等差数列)等形式的数列求和1 anan1 1 anan2例 3 已知数
8、列an的前n项和Sn满足:Sna(Snan1)(nN N*)(a为常数,a0,a1)(1)求an的通项公式;(2)设bnanSn,若数列bn为等比数列,求a的值;(3)在满足条件(2)的情形下,cn.若数列的前n项和为Tn,且对任an1(an1)(an11)cn意nN N*满足Tn成立,求n的最小值1 anan19 19解 (1)由 2Sna2Sn11 知,2n2Sn1a2Sn21,2n1(n 3)两式相减得,2anaa2an1,2n2n1即 2,(anan1)(anan1)(anan1)又数列an为递增数列,a11,anan10,anan12,(n 3)又当n2 时,2a2a11,(a1a2
9、)2 2即a2a230,解得a23 或a21(舍),2 26a2a12,符合anan12,an是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列,an1(n1)22n1(nN N*)(2)bn,12n12n11 2(1 2n11 2n1)Tn1 2(1 11 31 31 51 2n11 2n1),1 2(11 2n1)又Tn,即,解得n9,9 191 2(11 2n1)9 19又nN N*,n的最小值为 10.真题体验1(2017全国)等差数列an的前n项和为Sn,a33,S410,则_.n k11 Sk答案 (nN N*)2n n1解析 设等差数列an的公差为d,由Error!得Error!Snn1
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