高考数学一轮复习第八章立体几何8-7立体几何中的向量方法(一)__证明平行与垂直理.doc
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1、1 / 18【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章立体几何精选高考数学一轮复习第八章立体几何 8-78-7 立立体几何中的向量方法体几何中的向量方法( (一一)_)_证明平行与垂直理证明平行与垂直理1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量:在直线上任取一非零向量作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是平面 内两不共线向量,n 为平面 的法向量,则求法向量的方程组为Error!2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1l2(或 l1 与l2 重合)v1v2.(2)设直线 l 的
2、方向向量为 v,与平面 共面的两个不共线向量 v1和 v2,则 l 或 l存在两个实数 x,y,使 vxv1yv2.(3)设直线 l 的方向向量为 v,平面 的法向量为 u,则 l 或lvu.(4)设平面 和 的法向量分别为 u1,u2,则 u1 u2.3用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则l1l2v1v2v1v20.(2)设直线 l 的方向向量为 v,平面 的法向量为 u,则lvu.(3)设平面 和 的法向量分别为 u1 和 u2,则u1u2u1u20.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)2 / 18(1)直线的方
3、向向量是唯一确定的( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的( )(3)若两平面的法向量平行,则两平面平行( )(4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行( )(5)若 ab,则 a 所在直线与 b 所在直线平行( )(6)若空间向量 a 平行于平面 ,则 a 所在直线与平面 平行( )1已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面 ABC 法向量的是( )A(1,1,1) B(1,1,1)C(,) D(, ,)答案 C解析 设 n(x,y,z)为平面 ABC 的法向量,则化简得Error!xyz.故选 C.2直线 l 的方向向量 a(1,3,5),平面 的法
4、向量n(1,3,5),则有( )Al BlCl 与 斜交 Dl 或 l答案 B解析 由 an 知,na,则有 l,故选 B.3平面 的法向量为(1,2,2),平面 的法向量为(2,4,k),若 ,则 k 等于( )A2 B4 C4 D2答案 C3 / 18解析 ,两平面法向量平行,k4.4(教材改编)设 u,v 分别是平面 , 的法向量,u(2,2,5),当 v(3,2,2)时, 与 的位置关系为_;当v(4,4,10)时, 与 的位置关系为_答案 解析 当 v(3,2,2)时,uv(2,2,5)(3,2,2)0.当 v(4,4,10)时,v2u.5(教材改编)如图所示,在正方体 ABCDA1
5、B1C1D1 中,O 是底面正方形 ABCD 的中心,M 是 D1D 的中点,N 是 A1B1 的中点,则直线ON,AM 的位置关系是_答案 垂直解析 以 A 为原点,分别以, ,所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 1,则 A(0,0,0),M(0,1,),O(, ,0),N(,0,1),(0,1,)(0,1)0,ON 与 AM 垂直.题型一 利用空间向量证明平行问题例 1 (2016重庆模拟)如图所示,平面 PAD平面 ABCD,ABCD 为正方形,PAD 是直角三角形,且 PAAD2,E,F,G 分别是线段PA,PD,CD 的中点求证:PB平面 EFG.证明 平
6、面 PAD平面 ABCD,ABCD 为正方形,PAD 是直角三角形,且 PAAD,AB,AP,AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),4 / 18P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0)(2,0,2),(0,1,0),(1,1,1),设st,即(2,0,2)s(0,1,0)t(1,1,1),解得 st2,22,又与不共线,与共面PB平面 EFG,PB平面 EFG.引申探究本例中条件不变,证明平面 EFG平面 PBC.证明 (0,1,0),(0,2,0),
7、2,BCEF.又EF平面 PBC,BC平面 PBC,EF平面 PBC,同理可证 GFPC,从而得出 GF平面 PBC.又 EFGFF,EF平面 EFG,GF平面 EFG,平面 EFG平面 PBC.思维升华 (1)恰当建立空间直角坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行,只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算(2016北京区模拟)正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N
8、分别是 C1C,B1C1 的中点求证:MN平面 A1BD.证明 如图所示,以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x5 / 18轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 1,则 M(0,1,),N(,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),于是(,0,),(1,0,1),(1,1,0)设平面 A1BD 的法向量为 n(x,y,z),则 n0,且 n0,得Error!取 x1,得 y1,z1.所以 n(1,1,1)又n(,0,)(1,1,1)0,所以n.又 MN平面 A1BD,所以 MN平面 A1BD.题型二 利用空间向量证明垂直问题命题点
9、1 证线面垂直例 2 如图所示,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 的中点求证:AB1平面 A1BD.证明 方法一 设平面 A1BD 内的任意一条直线 m 的方向向量为 m.由共面向量定理,则存在实数 ,使 m.令a,b,c,显然它们不共面,并且|a|b|c|2,abac0,bc2,以它们为空间的一个基底,则ac,ab,ac,m ma abbcc,m(ac)AB1(1 2)abc4240.故m,结论得证方法二 取 BC 的中点 O,连接 AO.6 / 18因为ABC 为正三角形,所以 AOBC.因为在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,平面
10、 ABC平面 BCC1B1,所以 AO平面 BCC1B1.取 B1C1 的中点 O1,以 O 为原点,分别以, ,所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则 B(1,0,0),D(1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0)设平面 A1BD 的法向量为 n(x,y,z),(1,2,),(2,1,0)因为 n,n,故Error!令 x1,则 y2,z,故 n(1,2,)为平面 A1BD 的一个法向量,而(1,2,),所以n,所以n,故 AB1平面 A1BD.命题点 2 证面面垂直例 3 (2017武汉月考)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABC
11、D 是边长为 a 的正方形,侧面 PAD底面 ABCD,且 PAPDAD,设 E,F分别为 PC,BD 的中点(1)求证:EF平面 PAD;(2)求证:平面 PAB平面 PDC.证明 (1)如图,取 AD 的中点 O,连接 OP,OF.因为 PAPD,所以 POAD.因为侧面 PAD底面 ABCD,平面 PAD平面 ABCDAD,7 / 18所以 PO平面 ABCD.又 O,F 分别为 AD,BD 的中点,所以 OFAB.又 ABCD 是正方形,所以 OFAD.因为 PAPDAD,所以 PAPD,OPOA.以 O 为原点,OA,OF,OP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标
12、系,则 A(,0,0),F(0, ,0),D(,0,0),P(0,0,),B(,a,0),C(,a,0)因为 E 为 PC 的中点,所以 E(, ,)易知平面 PAD 的一个法向量为(0, ,0),因为(,0,),且(0, ,0)(,0,)0,所以 EF平面 PAD.(2)因为(,0,),(0,a,0),所以(,0,)(0,a,0)0,所以,所以 PACD.又 PAPD,PDCDD,所以 PA平面 PDC.又 PA平面 PAB,所以平面 PAB平面 PDC.思维升华 证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系
13、是解题的关键(2)其一证明直线与直线垂直,只需要证明两条直线的方向向量垂直;其二证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可,当然 ,也可证直线的方向向量与平面的法向量平行;8 / 18其三证明面面垂直:证明两平面的法向量互相垂直;利用面面垂直的判定定理,只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可(2016青岛模拟)如图,在多面体 ABCA1B1C1 中,四边形 A1ABB1 是正方形,ABAC,BCAB,B1C1 綊 BC,二面角A1ABC 是直二面角求证:(1)A1B1平面 AA1C;(2)AB1平面 A1C1C.证明 (1)二面角 A1ABC
14、 是直二面角,四边形 A1ABB1 为正方形,AA1平面 BAC.又ABAC,BCAB,CAB90,即 CAAB,AB,AC,AA1 两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系,点 A 为坐标原点,设 AB2,则 A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2)(0,2,0),(0,0,2),(2,0,0),A1B1设平面 AA1C 的一个法向量 n(x,y,z),则即Error!即取 y1,则 n(0,1,0)2n,即n.A1B1平面 AA1C.(2)易知(0,2,2),(1,1,0),(2,0,2),设平面 A1C1C 的一个法向量 m(x1,y
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