高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲函数模型及其应用学案.doc
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1、1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 2 2 章函数导数章函数导数及其应用第及其应用第 9 9 讲函数模型及其应用学案讲函数模型及其应用学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数型f(x)axb(a,b为常数,a0)二次函数型f(x)ax2bxc(a,b,c为常数,a0)指数函数型f(x)baxc(a,b,c为常数,a0 且a1,b0)对数函数型f(x)blogaxc(a,b,c为常数,a0 且a1,b0)幂函数型f(x)axnb(a,b为常数,a0)考点 2 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的
2、图象与性质必会结论“f(x)x(a0)”型函数模型形如 f(x)x(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型:(1)该函数在(,和,)上单调递增,在,0和(0,上单调递减(2)当 x0 时,x时取最小值 2,当 x0 时,x时取最大值2.考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ,错误的打“”)(1)函数 y2x 的函数值比 yx2 的函数值大( )(2)幂函数比一次函数增长速度快( )(3)指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较2 / 15大的实际问题中( )(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律( )(5)某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25%出
3、售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件商品仍能获利( )(6)当 x4 时,恒有 2xx2log2x.( )答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6)22018长沙模拟小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C解析 出发时距学校最远,先排除 A,中途堵塞停留,距离没变,再排除 D,堵塞停留后比原来骑得快,因此排除 B.3课本改编已知某矩形广场的面积为 4 万平方米,则其周长至少为( )B900 米 A800 米 D1200 米C1000 米 答案 A解析 设这个广场的长为 x 米,则宽为米,所以其
4、周长为l2800,当且仅当 x,即 x200 时取等号4课本改编某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%),仍可获利 10%(相对进货价),则该家具的进货价是( )B105 元 A118 元 D108 元C106 元 答案 D解析 设进货价为 a 元,由题意知 132(110%)a10%a,解得 a108.52018抚顺模拟某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 yalog3(x1),设这种动物第 2 年有 100 只,则到第 8 年它3 / 15们发展到的只数为_答案 200解析 alog33100,a100,y100log39200.6调查表明,酒后驾驶是导致
5、交通事故的主要原因,交通法规规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 0.2 mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到 0.8 mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时 50%的速度减少,则至少经过_小时他才可以驾驶机动车(精确到小时)答案 2解析 设 n 小时后才可以驾车,由题意得 0.8(150%)n2,0.5n,即 n2,即至少经过 2 小时后才可以驾驶机动车板块二 典例探究考向突破考向 利用函数图象刻画实际问题例 1 2017全国卷某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位
6、:万人)的数据,绘制了下面的折线图根据该折线图,下列结论错误的是( )A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳答案 A解析 对于选项 A,由图易知月接待游客量每年 7,8 月份明显高于 12 月份,故 A 错;对于选项 B,观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加,故 B 正确;对于选项 C,D,由图可知显然正确故选 A.触类旁通4 / 15用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调
7、性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可【变式训练 1】 2015北京高考汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是( )A消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时相同条件下, 在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析 对于 A 选项,从图中可以看出当乙车的行驶速度大于 40 km/h 时的燃油效率大于 5 km/L,故乙车消耗 1 升汽油的行
8、驶路程可大于 5 千米,所以 A 错误对于 B 选项,由图可知甲车消耗汽油最少对于 C 选项,甲车以 80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为 10 km/L,故行驶 1 小时的路程为 80 千米,消耗 8 L 汽油,所以 C 错误对于 D 选项,当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以 D 正确考向 已知函数模型解决实际问题例 2 2015四川高考某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:)满足函数关系 yekxb(e2.718为自然对数的底数,k,b 为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时,在 22
9、的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 的保鲜时间是( )B20 小时A16 小时 D28 小时C24 小时 5 / 15答案 C解析 由题意,得(0,192)和(22,48)是函数 yekxb 图象上的两个点,则解得 e11k.所以当储藏温度为 33 时,保鲜时间ye33kb(e11k)3eb19224(小时)触类旁通利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型,或可确定其函数模型的图象,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题【变式训练 2】 2014北京高考加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”
10、在特定条件下,可食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足函数关系pat2btc(a,b,c 是常数),下图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )B3.75 分钟A3.50 分钟 D4.25 分钟C4.00 分钟 答案 B解析 由已知得解得Error!p0.2t21.5t22,当 t3.75 时 p 最大,即最佳加工时间为 3.75 分钟故选B.考向 构建函数模型解决实际问题例 3 2016四川高考某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全
11、年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( )(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)B2019 年 A2018 年 6 / 15D2021 年C2020 年 答案 B解析 设第 n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元根据题意得 130(112%)n1200,则 lg 130(n1)lg 1.12lg 22,2lg 1.3(n1)lg 1.12lg 22,0.11(n1)0.050.30,解得 n,又nN*,n5,该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是 2019 年故选 B.触类旁通构建数学模型一定要过好的三关(1)事
12、理关:通过阅读、理解,明确问题讲的是什么,熟悉实际背景,为解题找出突破口(2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学符号语言,用数学式子表达数学关系(3)数理关:在构建数学模型的过程中,对已知数学知识进行检索,从而认定或构建相应的数学模型【变式训练 3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系C(x)(0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元,设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消
13、耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值解 (1)由已知条件得 C(0)8,则 k40,因此 f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x101021070(万元),当且仅当7 / 156x10,即 x5 时等号成立所以当隔热层厚度为 5 cm 时,总费用 f(x)达到最小值,最小值为 70 万元核心规律1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题的基础2.实际问题中往往涉及一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值3.解函数应用题的四个步骤:审题;建模;解模;还原满分策略
14、解答数学应用题的失误与防范(1)函数模型应用不当是常见的解题错误,所以应正确理解题意,选择适当的函数模型(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域(3)注意问题反馈,在解决函数模型后,必须验证这个数学解答对实际问题的合理性.板块三 启智培优破译高考规范答题系列 1构建分段函数模型解决实际问题2018山西模拟为了迎接世博会,某旅游区提倡低碳生活,在景区提供自行车出租,该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元根据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超出 6 元,则每超过1 元,租不出的自行车就增加 3 辆为了
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- 高考 数学 一轮 复习 函数 导数 及其 应用 模型
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