高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和教师用书文新人教A版.doc
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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 5 5 章数列第章数列第 4 4 节数节数列求和教师用书文新人教列求和教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.掌握等差、等比数列的前 n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法1公式法(1)等差数列的前 n 项和公式:Snna1d;(2)等比数列的前 n 项和公式:SnError!2分组转化法把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解3裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和(2)裂项时常用的三种变形:;.4
2、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应2 / 14项之积构成的,这个数列的前 n 项和可用错位相减法求解5倒序相加法如果一个数列an的前 n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解6并项求和法一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型,可采用两项合并求解例如,Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ,错误的打“”)(1)如果数列an为等比数列,且公比不等于 1,则其前
3、 n 项和Sn.( )(2)当 n2 时,.( )(3)求 Sna2a23a3nan 之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得( )(4)如果数列an是周期为 k(k 为大于 1 的正整数)的周期数列,那么 SkmmSk.( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)数列an的前 n 项和为 Sn,若 an,则 S5 等于( )A1 B.5 6C.D.1 30B B anan,3 / 14S5a1a2a51.3(2016广东中山华侨中学 3 月模拟)已知等比数列an中,a2a84a5,等差数列bn中,b4b6a5,则数列bn的前 9 项和 S9 等于( )A9B1
4、8C36D72B B a2a8a2a84a54a5,即,即 a a4a54a5,a5a54 4,a5b4b62b54,b52,S99b518,故选 B.4若数列an的通项公式为 an2n2n1,则数列an的前n 项和 Sn_. 【导学号:31222188】2n12n2 Sn2n12n2.5321422523(n2)2n_.4 设 S345(n2),则 S345(n2).两式相减得 S3.S3n2 2n34.分组转化求和(2016北京高考)已知an是等差数列,bn是等比数列,且 b23,b39,a1b1,a14b4.(1)求an的通项公式;(2)设 cnanbn,求数列cn的前 n 项和解 (1
5、)设等比数列bn的公比为 q,则 q3,4 / 14所以 b11,b4b3q27,所以 bn3n1(n1,2,3,).2 分设等差数列an的公差为 d.因为 a1b11,a14b427,所以 113d27,即 d2.所以 an2n1(n1,2,3,).5 分(2)由(1)知 an2n1,bn3n1.因此 cnanbn2n13n1.7 分从而数列cn的前 n 项和Sn13(2n1)133n1n2.12 分规律方法 分组转化法求和的常见类型(1)若 an bncn,且bn,cn为等差或等比数列,则可采用分组求和法求an的前 n 项和(2)通项公式为 an的数列,其中数列bn,cn是等比数列或等差数
6、列,可采用分组求和法求和易错警示:注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论变式训练 1 (2016浙江高考)设数列an的前 n 项和为Sn,已知 S24,an12Sn1,nN*.(1)求通项公式 an;(2)求数列|ann2|的前 n 项和解 (1)由题意得则 2 分又当 n2 时,由 an1an(2Sn1)(2Sn11)2an,得 an13an,所以数列an的通项公式为 an3n1,nN*.5 分5 / 14(2)设 bn|3n1n2|,nN*,则 b12,b21.当 n3 时,由于 3n1n2,故 bn3n1n2,n3.8分设数列bn的前 n 项和为 Tn,则 T12,T23,当 n3 时,
7、Tn3,所以 Tn12 分裂项相消法求和(2016重庆南开二诊)若 An 和 Bn 分别表示数列an和bn的前 n 项的和,对任意正整数 n,an2(n1),3AnBn4n.(1)求数列bn的通项公式;(2)记 cn,求cn的前 n 项和 Sn.解 (1)由于 an2(n1),an为等差数列,且 a14.2分Ann23n,Bn3An4n3(n23n)4n3n25n,当 n1 时,b1B18,当 n2 时,bnBnBn13n25n3(n1)25(n1)6n2.由于 b18 适合上式,bn6n2.5 分(2)由(1)知 cn2 4n28n,7 分SnError!1 41 4(11 21 n11 n
8、2).12 分规律方法 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两6 / 14项或多项,使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎,要注意消去了哪些项,保留了哪些项,从而达到求和的目的2消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项变式训练 2 (2017石家庄一模)已知等差数列an中,2a2a3a520,且前 10 项和 S10100.(1)求数列an的通项公式;(2)若 bn,求数列bn的前 n 项和解 (1)由已知得Error!解得 3 分所以数列an的通项公式为 an12(n1)2n1.5 分(2)bn,8 分所以 Tn1 2(11 31 31 51 2n11 2
9、n1).12 分错位相减法求和(2016山东高考)已知数列an的前 n 项和Sn3n28n,bn是等差数列,且 anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式;(2)令 cn,求数列cn的前 n 项和 Tn.解 (1)由题意知当 n2 时,anSnSn16n5.当 n1 时,a1S111,符合上式所以 an6n5.2 分设数列bn的公差为 d.由即Error!解得所以 bn3n1.5 分7 / 14(2)由(1)知 cn3(n1)2n1.7 分又 Tnc1c2cn,得 Tn3222323(n1)2n1,2Tn3223324(n1)2n2,9 分两式作差,得Tn322223242n1(n1)2n23
10、4412n 12n1 2n23n2n2,所以 Tn3n2n2.12 分规律方法 1.如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前 n 项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比,若bn的公比为参数,应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况讨论2在书写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐” ,即公比 q 的同次幂项相减,转化为等比数列求和变式训练 3 (2016广东肇庆第三次模拟)已知等差数列an的前 n 项和 Sn 满足 S36,S515.(1)求an的通项公式;(2)设 bn,求数列bn的前 n 项和 Tn.解 (1)设等差数列an
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