高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-9圆锥曲线的综合问题第3课时定点定值探索性问题试题理北师大.doc
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1、1 / 16【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-99-9 圆锥曲线的综合问题第圆锥曲线的综合问题第 3 3 课时定点定值探索性问题试题课时定点定值探索性问题试题理北师大理北师大题型一 定点问题例 1 (2016长沙模拟)已知椭圆1(a0,b0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线 l 与 x 轴正半轴和y 轴分别交于点 Q、P,与椭圆分别交于点 M、N,各点均不重合且满足1,2.(1)求椭圆的标准方程;(2)若 123,试证明:直线 l 过定点并求此定点(1)解 设椭圆的焦距为 2c,由题
2、意知 b1,且(2a)2(2b)22(2c)2,又 a2b2c2,a23.椭圆的方程为y21.(2)证明 由题意设 P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),设 l 方程为 xt(ym),由1 知(x1,y1m)1(x0x1,y1),y1my11,由题意 y10,11.同理由2 知 21.123,y1y2m(y1y2)0,2 / 16联立得(t23)y22mt2yt2m230,由题意知 4m2t44(t23)(t2m23)0,且有 y1y2,y1y2,代入得 t2m232m2t20,(mt)21,由题意 mtb0),焦点 F(c,0),因为,将点 B(c,)的坐标代入方
3、程得1.3 / 16由结合 a2b2c2,得 a,b1.故所求椭圆方程为y21.(2)由得(2t2)y22ty220.因为 l 为切线,所以 (2t)24(t22)(22)0,即 t2220.设圆与 x 轴的交点为 T(x0,0),则(x0,y1),(x0,y2)因为 MN 为圆的直径,故x2y1y20.当 t0 时,不符合题意,故 t0.因为 y1,y2,所以 y1y2,代入结合得TMx2 02t222 t2,要使上式为零,当且仅当 x1,解得 x01.所以 T 为定点,故动圆过 x 轴上的定点(1,0)与(1,0),即椭圆的两个焦点题型二 定值问题例 2 (2016广西柳州铁路一中月考)如
4、图,椭圆有两顶点 A(1,0),B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C,D 两点,并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q.(1)当|CD|时,求直线 l 的方程;4 / 16(2)当点 P 异于 A,B 两点时,求证:为定值(1)解 椭圆的焦点在 y 轴上,故设椭圆的标准方程为1(ab0),由已知得 b1,c1,a,椭圆的方程为x21.当直线 l 的斜率不存在时,|CD|2,与题意不符;当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 ykx1,C(x1,y1),D(x2,y2)联立化简得(k22)x22kx10, 则 x1x2,x1x2.|CD|1
5、k2 x1x224x1x22k k22241 k22,解得 k.直线 l 的方程为 xy10 或 xy10.(2)证明 当直线 l 的斜率不存在时,与题意不符当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 ykx1(k0,k1),C(x1,y1),D(x2,y2),点 P 的坐标为(,0)由(1)知 x1x2,x1x2,且直线 AC 的方程为 y(x1),直线 BD 的方程为 y(x1),5 / 16将两直线方程联立,消去 y,得.10)(2)弦长|TS|为定值理由如下:取曲线 C 上点 M(x0,y0),M 到 y 轴的距离为 d|x0|x0,圆的半径 r|MA|,则|TS|22,点 M 在
6、曲线 C 上,x0,|TS|22 是定值题型三 探索性问题例 3 (2015四川)如图,椭圆 E:1(ab0)的离心率是,过点 P(0,1)的动直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,当直线 l 平行于 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2.7 / 16(1)求椭圆 E 的方程;(2)在平面直角坐标系 xOy 中,是否存在与点 P 不同的定点 Q,使得恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由解 (1)由已知,点(,1)在椭圆 E 上,因此Error!解得 a2,b,所以椭圆 E 的方程为1.(2)当直线 l 与 x 轴平行时,设直线 l 与椭圆相交于 C,D 两点,
7、如果存在定点 Q 满足条件,则有1,即|QC|QD|,所以 Q 点在 y 轴上,可设 Q 点的坐标为(0,y0)当直线 l 与 x 轴垂直时,设直线 l 与椭圆相交于 M,N 两点,则 M,N的坐标分别为(0,),(0,),由,有,解得 y01 或 y02,所以,若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件,则 Q 点坐标只可能为(0,2),下面证明:对任意直线 l,均有,当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立,当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 ykx1,A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),联立得(2k21)x24kx20,其判别式 (4k)28(2k21)
8、0,8 / 16所以 x1x2,x1x2,因此2k,易知,点 B 关于 y 轴对称的点 B的坐标为(x2,y2),又 kQAk,kQBkk,所以 kQAkQB,即 Q,A,B三点共线,所以,故存在与 P 不同的定点 Q(0,2),使得恒成立思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法(2016景德镇质检)已知椭圆 C:1(ab0)的左,右焦点为
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