高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第六节离散型随机变量及其分布列教师用书理.doc
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1、- 1 -第六节第六节 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性;2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用。2016,天津卷,16,13 分(古典概型、分布列、数学期望)2015,重庆卷,18,13 分(古典概型、分布列、数学期望)2015,山东卷,18,12 分(古典概型、分布列、数学期望)2013,全国卷,19,12 分(相互独立事件概率、分布列)1.以考查离散型随机变量的分布列及分布列性质的应用为主,常与期望、方差一起考查,另外超几何分布也
2、是考查的热点;2.题型主要是解答题,解题时要求有较强的分析问题、解决问题的能力,要求会依据题设确定离散型随机变量的值及其相应概率。微知识 小题练自|主|排|查1随机变量的有关概念如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量;若变量的所有值可以一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量。2离散型随机变量的分布列(1)概念若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i1,2,3,n)的概率P(Xxi)pi,则称表Xx1x2xixnPp1p2pipn为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时也用等式P(Xxi)pi,i1,2,n表示X
3、的分布列。(2)性质pi0,i1,2,3,n;i1。n i1p- 2 -3常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布X01P1pp若随机变量X的分布列具有上表的形式,就称X服从两点分布,并称pP(X1)为成功概率。(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(Xk),k0,1,2,m,其中mminM,n,且nN,MN,n,M,NN N*。Ck MCnkNM Cn NX01mPC0MCn0NM Cn NC1MCn1NM Cn NCm MCnmNM Cn N如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布。微点提醒 1某一变量为离散型随机变量满足的条
4、件:(1)随着试验结果变化而变化;(2)所有取值可以一一列出。2离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各个值的概率。在求离散型随机变量的分布列时,可以用它的两条性质检验分布列的正误:一是pi0(i1,2,);二是p1p2pn1。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 23P68A 组 T2改编)设随机变量X的概率分布列为X1234P1 3m1 41 6则P(|X3|1)( )A. B.7 125 12C. D.1 41 6【解析】 根据概率分布的定义得出: m 1,得m ,随机变量X的概率分1 31 41 61 4布列为X1234- 3 -P1 31 41 41 6所以P(|X3
5、|1)P(X4)P(X2)。故选 B。5 12【答案】 B2(选修 23P47例 2 改编)在含有 3 件次品的 10 件产品中,任取 4 件,则取到次品数X的分布列为_。【解析】 由题意,X服从超几何分布,其中N10,M3,n4,所以分布列为P(Xk),k0,1,2,3。Ck3C4k7 C 4 10即X0123P1 61 23 101 30【答案】 X0123P1 61 23 101 30二、双基查验110 件产品中有 3 件次品,从中任取 2 件,可作为随机变量的是( )A取到产品的件数 B取到正品的概率C取到次品的件数 D取到次品的概率【解析】 对于 A 中取到产品的件数是一个常量不是变
6、量,B,D 也是一个定值,而 C 中取到次品的件数可能是 0,1,2,是随机变量。故选 C。【答案】 C2设随机变量Y的分布列为Y123P1 4m1 4则“ Y ”的概率为( )3 27 2A. B.1 41 2C. D.3 42 3【解析】 因为 m 1,所以m ,1 41 41 2- 4 -所以PP(2)P(3) 。(3 2Y7 2)3 4【答案】 C3从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数,两数之和为X,则P(X5)_。【解析】 从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数,共有 6 种选法,基本事件空间(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),X3,4,5,
7、6,7,所以P(X5) 。2 61 3【答案】 1 34从装有 3 个红球,2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有X个红球,则随机变量X的概率分布为X012P【解析】 P(X0)0.1,P(X1)0.6,P(X2)0.3。C2 2 C2 5C1 3C1 2 C2 5C2 3 C2 5【答案】 0.1 0.6 0.3微考点 大课堂考点一 随机变量的概念【典例 1】 写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所表示的意义。(1)一个袋中装有 2 个白球和 5 个黑球,从中任取 3 个,其中所含白球的个数X;(2)投掷两枚骰子,所得点数之和为X,所得点数的最大值为Y。【解析】 (1)X可取 0
8、,1,2。X0 表示所取的三个球没有白球;X1 表示所取的三个球是 1 个白球,2 个黑球;X2 表示所取的三个球是 2 个白球,1 个黑球。(2)X的可能取值有 2,3,12,Y的可能取值为 1,2,3,6。若以(i,j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点数,则X2 表示(1,1);X3 表示(1,2),(2,1);X4 表示(1,3),(2,2),(3,1);- 5 -X12 表示(6,6)。Y1 表示(1,1);Y2 表示(1,2),(2,1),(2,2);Y3 表示(1,3),(2,3),(3,3),(3,1),(3,2);Y6 表示(1,6),(2,6),(3,6),(6,6),(6,5
9、),(6,1)。反思归纳 所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系,随机变量是将试验的结果数量化,变量的取值对应随机试验的某一个随机事件。写随机变量表示的结果,要看三个特征:可用数来表示;试验之前可以判断其可能出现的所有值;在试验之前不能确定值。【变式训练】 某校为学生定做校服,规定凡身高不超过 160 cm 的学生交校服费 80 元。凡身高超过 160 cm 的学生,身高每超过 1 cm 多交 3 元钱(不足 1 cm 时按 1 cm 计)。若学生应交的校服费为,学生身高用表示,则和是否为离散型随机变量?【解析】 由于该校的每一个学生对应着唯一的身高,并且取整数值(不足 1 cm
10、按 1 cm 计),因此是一个离散型随机变量。而Error!所以也是一个离散型随机变量。【答案】 是离散型随机变量考点二 随机变量的性质【典例 2】 (1)设X是一个离散型随机变量,其分布列为:X101P1 212qq2则q等于( )A1 B122C1 D12222(2)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求|X1|的分布列。【解析】 (1)由分布列的性质知Error!所以q1。22(2)由分布列的性质,- 6 -知 0.20.10.10.3m1,m0.3。列表X01234|X1|10123P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3,P(0)P(X1)0.1
11、,P(2)P(X3)0.3,P(3)P(X4)0.3。因此|X1|的分布列为:0123P0.10.30.30.3【答案】 (1)C (2)见解析反思归纳 利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数。【变式训练】 随机变量X的分布列如下:X101Pabc其中a,b,c成等差数列,则P(|X|1)_。【解析】 由题意知Error!则 2b1b,则b ,ac ,1 32 3所以P(|X|1)P(X1)P(X1)ac 。2 3【答案】 2 3考点三 求离散型随机变量的分布列【典例 3】 (2016天津高考)某小组共 10 人,利用假期参加义工活动。已知参加义
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