高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11讲导数在研究函数中的应用学案.doc
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1、1 / 20【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 2 2 章函数导数章函数导数及其应用第及其应用第 1111 讲导数在研究函数中的应用学案讲导数在研究函数中的应用学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 函数的导数与单调性的关系函数 yf(x)在某个区间内可导:(1)若 f(x)0,则 f(x)在这个区间内单调递增;(2)若 f(x)0,则 f(x)在这个区间内单调递减;(3)若 f(x)0,则 f(x)在这个区间内是常数函数考点 2 函数的极值与导数1函数的极小值与极小值点若函数 f(x)在点 xa 处的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的
2、函数值都小,且 f(a)0,而且在 xa 附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0,则点 a 叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值;2函数的极大值与极大值点若函数 f(x)在点 xb 处的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大,且 f(b)0,而且在 xb 附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0,则点 b 叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值考点 3 函数的最值与导数1函数 f(x)在a,b上有最值的条件如果在区间a,b上函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值2求 yf(x)在a,b上的最大(小)值的步骤(1)求函数 yf(x)在
3、(a,b)内的极值(2)将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,2 / 20其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值必会结论1若函数 f(x)的图象连续不断,则 f(x)在a,b内一定有最值2若函数 f(x)在a,b内是单调函数,则 f(x)一定在区间端点处取得最值3若函数 f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ,错误的打“”)(1)函数 yx2ln x 的单调减区间为(1,1)( )(2)在函数 yf(x)中,若 f(x0)0,则 xx0 一定是函数yf(x)的极值( )(3)函数
4、的极大值不一定比极小值大( )(4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值( )答案 (1) (2) (3) (4)2课本改编函数 yx2(x3)的单调递减区间是( )B(2,)A(,0) D(2,2)C(0,2) 答案 C解析 y3x26x,由 y0,得 0x2.3课本改编设函数 f(x)ln x,则( )Ax为 f(x)的极大值点Bx为 f(x)的极小值点Cx2 为 f(x)的极大值点Dx2 为 f(x)的极小值点答案 D解析 f(x),x0,当 x2 时,f(x)0,f(x)3 / 20是增函数;当 0f(1)故选 D.52017浙江高考函数 yf(x)的导函数 yf(
5、x)的图象如图所示,则函数 yf(x)的图象可能是( )答案 D解析 观察导函数 f(x)的图象可知,f(x)的函数值从左到右依次为小于 0,大于 0,小于 0,大于 0,对应函数 f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察选项可知,排除 A,C.如图所示,f(x)有 3 个零点,从左到右依次设为x1,x2,x3,且 x1,x3 是极小值点,x2 是极大值点,且 x20,故选项 D 正确故选 D.6课本改编函数 f(x)x3x23x1 的图象与 x 轴的交点个数是_答案 3解析 f(x)x22x3(x1)(x3),函数在(,1)和(3,)上是增函数,在(1,3)上是减函数,由 f(x)极
6、小值f(3)100,f(x)极大值f(1)0,知函数 f(x)的图象与 x 轴的交点个数为 3.4 / 20板块二 典例探究考向突破考向 利用导数研究函数的单调性例 1 2018大庆模拟已知函数 f(x)aln xx2(a1)x3.(1)当 a1 时,求函数 f(x)的单调递减区间;(2)若函数 f(x)在区间(0,)上是增函数,求实数 a 的取值范围解 (1)当 a1 时,f(x)ln x3,定义域为(0,)则 f(x)x.由得 0x1.所以函数 f(x)的单调递减区间为(0,1)(2)因为函数 f(x)在(0,)上是增函数,所以 f(x)xa10 在(0,)上恒成立,所以 x2(a1)xa
7、0,即(x1)(xa)0 在(0,)上恒成立因为 x10,所以 xa0 对 x(0,)恒成立,所以a0.即实数 a 的取值范围是0,)若本例中的函数变为 f(x)ex(ax22x2)(a0)试讨论 f(x)的单调性解 由题意得 f(x)exax2(2a2)x(a0),令 f(x)0,解得 x10,x2.(1)当 0a1 时,f(x)的单调递增区间为(,0)和,单调递减区间为;(2)当 a1 时,f(x)在(,)内单调递增;(3)当 a1 时,f(x)的单调递增区间为和(0,),单调递减区间为.若本例中的函数变为 f(x)(a1)ln xax21,aR,试讨论 f(x)的单调性解 f(x)的定义
8、域为(0,),5 / 20f(x)2ax.(1)当 a1 时,f(x)0,故 f(x)在(0,)上单调递增(2)当 a0 时,f(x)0,故 f(x)在(0,)上单调递减(3)当 0a1 时,令 f(x)0,解得 x,则当 x时,f(x)0;当 x时,f(x)0,故 f(x)在上单调递减,在上单调递增触类旁通讨论函数单调性的方法(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为 0 的点和函数的间断点个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性,如 f(x)x3,f(x)3x20(f(x)0 在 x0 时取到)
9、,f(x)在 R 上是增函数【变式训练 1】 (1)若函数 f(x)x2ax在是增函数,则 a的取值范围是_答案 3,)解析 由条件知 f(x)2xa0 在上恒成立,即 a2x在上恒成立函数 y2x 在上为减函数,ymax23,a3.经检验,当 a3 时,满足题意(2)2018青岛模拟已知函数 f(x)ln xax(aR),讨论函数 f(x)的单调性解 f(x)的定义域为(0,),f(x)a(x0),当a0 时,f(x)a0,即函数 f(x)在(0,)上单调递增当 a0 时,令 f(x)a0,可得 x,当 0时,f(x)0,故函数 f(x)在上单调递增,在上单调递减由知,当 a0 时,f(x)
10、在(0,)上单调递增;当 a0 时,f(x)在上单调递增,在上单调递减考向 利用导数研究函数的极值命题角度 1 知图判断函数极值情况例 2 2018江门模拟设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f(x),且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)答案 D解析 由图可得函数 y(1x)f(x)的零点为2,1,2,则当x0,此时在(,2)上 f(x)0,在(
11、2,1)上f(x)1 时,1x0.所以 f(x)在(,2)为增函数,在(2,2)为减函数,在(2,)为增函数,因此 f(x)有极大值f(2),极小值 f(2)故选 D.命题角度 2 已知函数求极值例 3 已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)(ex1)(x1)k(k1,2),则( )A当 k1 时,f(x)在 x1 处取到极小值B当 k1 时,f(x)在 x1 处取到极大值C当 k2 时,f(x)在 x1 处取到极小值D当 k2 时,f(x)在 x1 处取到极大值答案 C解析 当 k1 时,f(x)ex(x1)ex1,此时 f(1)7 / 200,故排除 A、B 项;当 k2 时,f(x
12、)ex(x1)2(ex1)(2x2),此时 f(1)0,在 x1 附近左侧,f(x)0,所以 x1 是 f(x)的极小值点命题角度 3 已知函数的极值求参数范围例 4 (1)函数 f(x)x3ax2bxa2 在 x1 处有极值10,则 a,b 的值为( )Aa3,b3,或 a4,b11Ba4,b1,或 a4,b11Ca1,b5D以上都不正确答案 D解析 f(x)3x22axb,依题意,有即解得或Error!当 a3 且 b3 时,f(x)3x26x30,函数 f(x)无极值点,故符合题意的只有故选 D.(2)函数 f(x)x(xm)2 在 x1 处取得极小值,则m_.答案 1解析 f(1)0
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