高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的圆锥曲线问题教师用书.doc
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1、1 / 19【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破六高考精选高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的圆锥曲线问题教师用书中的圆锥曲线问题教师用书1(2015课标全国)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M在 E 上,ABM 为等腰三角形,且顶角为 120,则 E 的离心率为( )A. B2 C. D.2答案 D解析 如图,设双曲线 E 的方程为1(a0,b0),则|AB|2a,由双曲线的对称性,可设点 M(x1,y1)在第一象限内,过M 作 MNx 轴于点 N(x1,0),ABM 为等腰三角形,且ABM120,|BM|AB|2a,MBN60,y1|MN|B
2、M|sinMBN2asin 60a,x1|OB|BN|a2acos 602a.将点 M(x1,y1)的坐标代入1,可得 a2b2,e ,选 D.2设 F 为抛物线 C:y23x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30的直线交C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则OAB 的面积为( )A. B. C. D.9 4答案 D解析 由已知得焦点坐标为 F(,0),因此直线 AB 的方程为 y(x),2 / 19即 4x4y30.方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得 4y212y90,故|yAyB|6.因此 SOAB|OF|yAyB|6.方法二 联立方程得 x2x0,故 xAxB.根据抛物线的定义有|AB
3、|xAxBp3 212,同时原点到直线 AB 的距离为 h,因此 SOAB|AB|h.3(2016山西质量监测)已知 A,B 分别为椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点,直线 ykx(k0)与椭圆交于 C,D 两点,若四边形 ACBD的面积的最大值为 2c2,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.22答案 D解析 设 C(x1,y1)(x10),D(x2,y2),将 ykx 代入椭圆方程可解得 x1,x2,则|CD|x1x2|.又点 A(a,0)到直线 ykx 的距离 d1,点 B(0,b)到直线 ykx 的距离 d2,所以 S 四边形 ACBDd1|CD|d2|CD|(d1d2)|CD|2
4、ab 1k2b2a2k23 / 19ab.令 t,则 t212abk b2a2k212ab12ab2,当且仅当a2k,即 k时,tmax,所以 S 四边形 ACBD 的最大值为 ab.由条件,有 ab2c2,即 2c4a2b2a2(a2c2)a4a2c2,2c4a2c2a40,2e4e210,解得 e2或 e21(舍去),所以 e,故选 D.4(2016北京)双曲线1(a0,b0)的渐近线为正方形 OABC的边 OA,OC 所在的直线,点 B 为该双曲线的焦点,若正方形 OABC 的边长为 2,则 a_.答案 2解析 设 B 为双曲线的右焦点,如图所示四边形 OABC 为正方形且边长为 2,c
5、|OB|2,又AOB,tan1,即 ab.又 a2b2c28,a2.题型一 求圆锥曲线的标准方程例 1 已知椭圆 C:1(ab0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为,4 / 19过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点若AF1B 的周长为 4,则 C 的方程为( )A.1 B.y21C.1 D.1答案 A解析 由 e,得.又AF1B 的周长为 4,由椭圆定义,得 4a4,得 a,代入,得 c1,所以 b2a2c22,故椭圆 C 的方程为1.思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型,主要利用圆锥曲线的定义、几何性质,解得标准方程中的参数,从而求得方程(2015天津)已知双曲线1(a
6、0,b0 )的一个焦点为 F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23 相切,则双曲线的方程为( )A.1 B.1 C.y21 Dx21答案 D解析 双曲线1 的一个焦点为 F(2,0),则 a2b24,双曲线的渐近线方程为 yx,由题意得,5 / 19联立解得 b,a1,所求双曲线的方程为 x21,选 D.题型二 圆锥曲线的几何性质例 2 (1)(2015湖南)若双曲线1 的一条渐近线经过点(3,4),则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.5 3(2)(2016天津)设抛物线(t 为参数,p0)的焦点为 F,准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线,垂足为 B.设 C,
7、AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|2|AF|,且ACE 的面积为 3,则 p 的值为_答案 (1)D (2)6解析 (1)由条件知 yx 过点(3,4),4,即 3b4a,9b216a2,9c29a216a2,25a29c2,e.故选 D.(2)由(p0)消去 t 可得抛物线方程为 y22px(p0),F,|AB|AF|p,可得 A(p,p)易知AEBFEC,故 SACESACF3pp1 2p23,p26,p0,p.思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点,求离心率、准线、6 / 19双曲线渐近线,是常考题型,解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义,及相关参数间的联系掌握一些常用的
8、结论及变形技巧,有助于提高运算能力已知椭圆1(ab0)与抛物线 y22px(p0)有相同的焦点 F,P,Q 是椭圆与抛物线的交点,若 PQ 经过焦点 F,则椭圆1(ab0)的离心率为_答案 1解析 因为抛物线 y22px(p0)的焦点 F 为,设椭圆另一焦点为 E.当 x时,代入抛物线方程得 yp,又因为 PQ 经过焦点 F,所以 P 且 PFOF.所以|PE| p,|PF|p,|EF|p.故 2a pp,2cp,e1.题型三 最值、范围问题例 3 若直线 l:y过双曲线1(a0,b0)的一个焦点,且与双曲线的一条渐近线平行(1)求双曲线的方程;(2)若过点 B(0,b)且与 x 轴不平行的直
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