高考数学大一轮复习第五章数列第四节数列求和与数列的综合应用教师用书理.doc
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1、- 1 -第四节第四节 数列求和与数列的综合应用数列求和与数列的综合应用2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式及倒序相加求和、错位相减求和法;2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法;3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决与前n项和相关的问题。2016,天津卷,18,13 分(等差数列的证明、数列求和)2016,山东卷,18,12 分(数列通项与求和)2015,北京卷,20,13 分(数列与函数、不等式的综合)2015,四川卷,16,12 分(等差、等比数列的综合应用)1.本节以分组法、错位相减、倒序相加、裂项
2、相消法为主,识别出等差(比)数列,直接用公式法也是考查的热点;2.题型以解答题的形式为主,难度中等或稍难。一般第一问考查求通项,第二问考查求和,并与不等式、函数、最值等问题综合。微知识 小题练自|主|排|查1公式法与分组求和法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和。等差数列的前n项和公式:Snna1d。na1an 2nn1 2等比数列的前n项和公式:SnError!(2)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减。2倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或
3、等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。(2)并项求和法在一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和。- 2 -形如an(1)nf(n)类型,可采用两项合并求解。例如,Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050。3裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和。(2)常见的裂项技巧 。1 nn11 n1 n1。1 nn21 2(1 n1 n2)。1 2n12n11 2(1 2n11 2n1)。1nn
4、1n1n4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。微点提醒 1使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点。2在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于 1 和不等于 1两种情况求解。小|题|快|练一 、走进教材1(必修 5P47B 组 T4改编)数列an的前n项和为Sn,若an,则S5等于( )1 nn1A1 B.5 6C. D.1 61 30【解析】 an ,1 nn1n1n n
5、n11 n1 n1所以S5a1a2a3a4a51 1 21 21 31 51 6- 3 - 。故选 B。5 6【答案】 B2(必修 5P61A 组 T4(3)改编)12x3x2nxn1_(x0 且x1)。【解析】 设Sn12x3x2nxn1,则xSnx2x23x3nxn,得:(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn,1xn 1x所以Sn。1xn 1x2nxn 1x【答案】 1xn 1x2nxn 1x二、双基查验1若数列an的通项公式为an2n2n1,则数列an的前n项和为( )A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn2【解析】 Sna1a2a3an(21211)(22221)(232
6、31)(2n2n1)(2222n)2(123n)n2n212n 12nn1 22(2n1)n2nn2n1n22。故选 C。【答案】 C2若数列an的通项公式是an(1)n(3n2),则a1a2a10( )A15 B12C12 D15【解析】 an(1)n(3n2),a1a2a1014710131619222528(14)(710)(1316)(1922)(2528)3515。故选 A。【答案】 A3数列an的通项公式是an,前n项和为 9,则n( )1nn1A9 B99C10 D100- 4 -【解析】 an。1nn1n1nSna1a2a3an(1)()()1。232n1nn119,即10,n
7、99。故选 B。n1n1【答案】 B4已知数列an的前n项和为Sn且ann2n,则Sn_。【解析】 ann2n,Sn121222323n2n。2Sn122223(n1)2nn2n1。,得Sn222232nn2n1n2n12n12n2n1212n 12(1n)2n12。Sn(n1)2n12。【答案】 (n1)2n125数列an满足a11,且an1ann1(nN N*),则数列的前 10 项和为1 an_。【解析】 an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)(n2)21,nn1 2所以2,1 an2 nn1(1 n1 n1)所以的前 10 项和1 an2 1 112 2212 3
8、312 101012。(11 21 21 31 31 41 101 11)20 11【答案】 20 11微考点 大课堂考点一 分组转化法求和【典例 1】 已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3,求其前n项和Sn。【解析】 Sn2(133n1)111(1)n(ln2ln3)- 5 -123(1)nnln3,所以当n为偶数时,Sn2 ln33n ln31;13n 13n 2n 2当n为奇数时,Sn2(ln2ln3)ln313n 13(n1 2n)3nln3ln21。n1 2综上所述,SnError!【答案】 SnError!反思归纳 1.若anbncn,且bn
9、,cn为等差或等比数列,可采用分组转化法求an的前n项和。2通项公式为anError!的数列,其中数列bn,cn是等比或等差数列,可采用分组转化法求和。【变式训练】 (2016北京高考)已知an是等差数列,bn是等比数列,且b23,b39,a1b1,a14b4。(1)求an的通项公式;(2)设cnanbn,求数列cn的前n项和。【解析】 (1)等比数列bn的公比q 3,b3 b29 3所以b11,b4b3q27。b2 q设等差数列an的公差为d。因为a1b11,a14b427,所以 113d27,即d2。所以an2n1(n1,2,3,)。(2)由(1)知,an2n1,bn3n1,因此cnanb
10、n2n13n1。从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n12n1 213n 13n2。3n1 2【答案】 (1)an2n1(n1,2,3,) (2)n23n1 2- 6 -考点二 错位相减法求和【典例 2】 (2016山东高考)已知数列an的前n项和Sn3n28n,bn是等差数列,且anbnbn1。(1)求数列bn的通项公式;(2)令cn,求数列cn的前n项和Tn。an1n1 bn2n【解析】 (1)由题意知当n2 时,anSnSn16n5,当n1 时,a1S111,所以an6n5。设数列bn的公差为d,由Error!得Error!可解得b14,d3。所以bn3n1。(2)由(1)
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