高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13-2直接证明与间接证明教师用书理新人教.doc
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1、1 / 20【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第十三章推理与证明精选高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数算法复数 13-213-2 直接证明与间接证明教师用书理新人教直接证明与间接证明教师用书理新人教1直接证明(1)综合法定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法框图表示:QnQ(其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论)思维过程:由因导果(2)分析法定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一
2、个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法框图表示:得到一个明显成立的条件(其中 Q 表示要证明的结论)思维过程:执果索因2间接证明反证法:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的证明方法【思考辨析】2 / 20判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明( )(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件( )(3)用反证法证明结论“ab”时,应假设“aabb2C.a b答案 B解析 a2aba(ab),a0,a2
3、ab.又 abb2b(ab)0,abb2,由得 a2abb2.2(2016北京)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒,每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球3 / 20D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B解析 取两个球往盒子中放有 4 种情况:红红,则乙盒中红球数加 1;黑黑,则丙盒中黑球数加 1;红黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加 1;黑红(黑球放入甲盒中),则丙
4、盒中红球数加 1.因为红球和黑球个数一样,所以和的情况一样多和的情况完全随机,和对 B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响和出现的次数是一样的,所以对 B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样综上选 B.3要证 a2b21a2b20,只要证明( )A2ab1a2b20Ba2b210C.1a2b20D(a21)(b21)0答案 D解析 a2b21a2b20(a21)(b21)0.4如果 abab,则 a、b 应满足的条件是_答案 a0,b0 且 ab解析 ab(ab)(ab)(ba)()(ab)()2()4 / 20当 a0,b0 且 ab 时,()2()0.ab
5、ab 成立的条件是 a0,b0 且 ab.5(2016青岛模拟)如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内的任意 x1,x2,xn,有f(),已知函数 ysin x 在区间(0,)上是凸函数,则在ABC 中,sin Asin Bsin C 的最大值为_答案 3 32解析 f(x)sin x 在区间(0,)上是凸函数,且A、B、C(0,)f()f(),即 sin Asin Bsin C3sin ,sin Asin Bsin C 的最大值为.题型一 综合法的应用例 1 (2016重庆模拟)设 a,b,c 均为正数,且 abc1.证明:(1)abbcac;(2)1.证明 (1)由
6、a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac,得 a2b2c2abbcca,由题设得(abc)21,即 a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1,即 abbcca.(2)因为b2a,c2b,a2c,故(abc)2(abc),即abc.所以1.5 / 20思维升华 (1)综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理对于定义域为0,1的函数 f(x),如果同时满足:对任意的 x0,1,总有 f(x)
7、0;f(1)1;若 x10,x20,x1x21,都有 f(x1x2)f(x1)f(x2)成立,则称函数 f(x)为理想函数(1)若函数 f(x)为理想函数,证明:f(0)0;(2)试判断函数 f(x)2x(x0,1),f(x)x2(x0,1),f(x)(x0,1)是不是理想函数(1)证明 取 x1x20,则 x1x201,f(00)f(0)f(0),f(0)0.又对任意的 x0,1,总有 f(x)0,f(0)0.于是 f(0)0.(2)解 对于 f(x)2x,x0,1,f(1)2 不满足新定义中的条件,f(x)2x(x0,1)不是理想函数对于 f(x)x2,x0,1,显然 f(x)0,且 f(
8、1)1.对任意的 x1,x20,1,x1x21,f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2xx2x1x20,即 f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x)x2(x0,1)是理想函数6 / 20对于 f(x),x0,1,显然满足条件.对任意的 x1,x20,1,x1x21,有 f2(x1x2)f(x1)f(x2)2(x1x2)(x12x2)20,即 f2(x1x2)f(x1)f(x2)2.f(x1x2)f(x1)f(x2),不满足条件.f(x)(x0,1)不是理想函数综上,f(x)x2(x0,1)是理想函数,f(x)2x(x0,1)与 f(x)(x0,1)不是理想函数题型二 分析法的应用例
9、 2 已知函数 f(x)tan x,x,若 x1,x2,且 x1x2,求证:f(x1)f(x2)f.证明 要证f(x1)f(x2)f,即证明(tan x1tan x2)tan ,只需证明tan ,只需证明.由于 x1,x2,故 x1x2(0,)所以 cos x1cos x20,sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0,故只需证明 1cos(x1x2)2cos x1cos x2,即证 1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2,即证 cos(x1x2)f.引申探究若本例中 f(x)变为 f(x)3x2x,试证:对于任意的 x1,x2R,7 / 20均有f.证
10、明 要证明f,即证明2,12 12(32)(32) 2xxxx12 23x x因此只要证明(x1x2)(x1x2), 1233 2xx12 23x x即证明,1233 2xx12 23x x因此只要证明,1233 2xx1233xx由于 x1,x2R 时,0, 0,13x23x由基本不等式知显然成立,故原结论成立1233 2xx1233xx思维升华 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法证明这个中间结论,
11、从而使原命题得证(2017重庆月考)设 a0,b0,2cab,求证:(1)c2ab;(2)c 0,b0,2cab2,c,平方得 c2ab.(2)要证 c 2),使函数 h(x)是区间a,b上的“四维光军”函数?若存在,求出 a,b 的值;若不存在,请说明理9 / 20由解 (1)由题设得 g(x)(x1)21,其图象的对称轴为 x1,区间1,b在对称轴的右边,所以函数在区间1,b上单调递增由“四维光军”函数的定义可知,g(1)1,g(b)b,即 b2bb,解得 b1 或 b3.因为 b1,所以 b3.(2)假设函数 h(x)在区间a,b (a2)上是“四维光军”函数,因为 h(x)在区间(2,
12、)上单调递减,所以有即Error!解得 ab,这与已知矛盾故不存在命题点 3 证明唯一性命题例 5 已知 M 是由满足下述条件的函数构成的集合:对任意 f(x)M,方程 f(x)x0 有实数根;函数 f(x)的导数 f(x)满足 00)的图象与 x 轴有两个不同的交点,若 f(c)0,且 00.(1)证明:是函数 f(x)的一个零点;(2)试用反证法证明c.证明 (1)f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点,f(x)0 有两个不等实根 x1,x2,f(c)0,x1c 是 f(x)0 的根,又 x1x2,x2(c),是 f(x)0 的一个根即是函数 f(x)的一个零点(2)假设0,由 00,1
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