高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12-6离散型随机变量的均值与方差正态分布教师用书理新人教.doc
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1、1 / 21【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第十二章概率随机变精选高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布量及其分布 12-612-6 离散型随机变量的均值与方差正态分布教离散型随机变量的均值与方差正态分布教师用书理新人教师用书理新人教1离散型随机变量的均值与方差一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称 D(X) (xiE(X)2pi 为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量X 与其均值 E(X)
2、的平均偏离程度,并称其算术平方根为随机变量 X 的标准差2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a,b 为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量 X 服从两点分布,则 E(X)p,D(X)p(1p)(2)若 XB(n,p),则 E(X)np,D(X)np(1p)4正态分布(1)正态曲线:函数 ,(x),x(,),其中实数 和 为参数(0,R)我们称函数 ,(x)的图象为正2 / 21态分布密度曲线,简称正态曲线222() 1e2x u (2)正态曲线的性质曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交;曲线是单峰的,它关于直线 x 对称;曲线在
3、 x 处达到峰值;曲线与 x 轴之间的面积为 1;当 一定时,曲线的位置由 确定,曲线随着 的变化而沿 x轴平移,如图甲所示;当 一定时,曲线的形状由 确定, 越小,曲线越“瘦高” ,表示总体的分布越集中; 越大,曲线越“矮胖” ,表示总体的分布越分散,如图乙所示(3)正态分布的定义及表示一般地,如果对于任何实数 a,b (a110)0.2,该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为 0.25010.题型一 离散型随机变量的均值、方差命题点 1 求离散型随机变量的均值、方差例 1 (2016山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,
4、则“星队”得 3 分;如果只有一个人猜对,则“星队”得 1 分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0 分已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是,每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动,求:5 / 21(1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和均值 E()解 (1)记事件 A:“甲第一轮猜对” ,记事件 B:“乙第一轮猜对” ,记事件 C:“甲第二轮猜对” ,记事件 D:“乙第二轮猜对” ,记事件 E:“星队至少猜对 3 个成语” 由题意,得 EABCDBCDACDABDABC,由事件的独立性与互斥性,P(E)P(
5、ABCD)P(BCD)P(ACD)P(ABD)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(D)P()P(B)P(C)P(D)P(A)P()P(C)P(D)P(A)P(B)P()P(D)P(A)P(B)P(C)P()2Error!Error!.所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为.(2)由题意,得随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得P(X0),P(X1)2,P(X2),P(X3),P(X4)2,P(X6).可得随机变量 X 的分布列为X012346P1 1445 7225 1441 125 121 4所以均值 E(X)012346.6 / 21命题点 2
6、 已知离散型随机变量的均值与方差,求参数值例 2 设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分(1)当 a3,b2,c1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和,求 的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 为取出此球所得分数若 E(),D(),求 abc.解 (1)由题意得 2,3,4,5,6,故 P(2),P(3),P(4),P(5),P(6).所以 的分布列为23456P1 41 35 181 91 36(2)由
7、题意知 的分布列为123Pa abcb abcc abc所以 E(),D()222,化简得Error!解得 a3c,b2c,故 abc321.思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差可依题设条件求出离散型随机变量的分布列,然后利用均值、方差公式直接求解(2)由已知均值或方差求参数值可依据条件利用均值、方差公式得7 / 21出含有参数的方程(组),解方程(组)即可求出参数值(3)由已知条件,作出对两种方案的判断可依据均值、方差的意义,对实际问题作出判断(2015四川)某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了 3 名男生、2 名女
8、生,B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生,两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队(1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛,设 X 表示参赛的男生人数,求 X 的分布列和均值解 (1)由题意,参加集训的男、女生各有 6 名,参赛学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为.因此,A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为1.(2)根据题意,X 的可能取值为 1,2,3,P(X1),P(X2),P(X3),所以 X
9、 的分布列为X123P1 53 51 5因此,X 的均值为 E(X)1P(X1)2P(X2)3P(X3)1232.题型二 均值与方差在决策中的应用例 3 (2016全国乙卷)某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三8 / 21年后即被淘汰机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2
10、 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数(1)求 X 的分布列;(2)若要求 P(Xn)0.5,确定 n 的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据,在 n19 与 n20之中选其一,应选用哪个?解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2,从而P(X16)0.20.20.04,P(X17)20.20.40.16,P(X18)20.20.20.40.40.24,P(X19)20.20.220.40.20.24,P(X20)20.20.40.20
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