高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第二节排列与组合教师用书理.doc
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1、- 1 -第二节第二节 排列与组合排列与组合2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解排列的概念及排列数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题;2.理解组合的概念及组合数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题。2015,四川卷,4,5 分(排列问题)2015,广东卷,12,5 分(排列问题)2014,重庆卷,9,5 分(排列问题)2014,安徽卷,8,5 分(组合问题)1.排列、组合问题每年必考;2.以实际问题为背景,考查排列数、组合数,同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力;3.以选择、填空的形式考查,或在解答题中和概率相结合进行考查。微知识 小题练自|主|排|查1排列与组合
2、的概念名称定义排列按照一定的顺序排成一列组合从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用 A 表示。m n(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用 C 表示。m n3排列数、组合数的公式及性质公式(1)A n(n1)(n2)(nm1)m nn! nm!(2)C m nAm n Am mnn1n2nm1 m!n! m!nm!性质(1)0!1;A n!n n- 2 -(2)C C;
3、CC Cm nnmnmn1m nm1n微点提醒 1排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序” 。取出元素后交换顺序,如果与顺序有关,则是排列;如果与顺序无关,则是组合。2排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)排列、组合混合问题要先选后排;(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题倍缩法处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团”排列问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价转化。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 23P25练习 T4改编)从 3,5,7,11 这四个质数中,每次取出两个不同的数分别为a,
4、b,共可得到 lgalgb的不同值的个数是( )A6 B8C12 D16【解析】 由于 lgalgblg ,从 3,5,7,11 中取出两个不同的数分别赋值给a和b共a b有 A 12 种,所以得到不同的值有 12 个。故选 C。2 4【答案】 C2(选修 23P27A 组 T5改编)2015 年北京国际田联世界田径锦标赛,要从 6 名男生和 2名女生中选出 3 名志愿者,其中至少有 1 名女生的选法共有( )A30 种 B36 种C42 种 D60 种【解析】 分两类:第 1 类:有 1 名女生的有 C C 21530 种,1 22 6第 2 类:有 2 名女生的有 C C 6,2 21 6
5、由分类加法计数原理得共有 30636(种)。故选 B。【答案】 B二、双基查验1将 2 封不同的信投入 4 个邮箱,每个邮箱最多投一封,不同的投法有( )A4 种 B8 种C12 种 D16 种【解析】 从 4 个邮箱中任选 2 个进行排列,有 A 4312(种)。故选 C。2 4【答案】 C2有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,- 3 -则不同的选法共有( )A60 种 B70 种C75 种 D150 种【解析】 由题意,从 6 名男医生中选 2 人,5 名女医生中选 1 名组成一个医疗小组,不同的选法共有 C C 75 种。故选 C。2 6
6、 1 5【答案】 C3现有 6 人分乘两辆不同的出租车,每辆车最多乘 4 人,则不同的乘车方案数为( )A70 B60C50 D40【解析】 先将 6 人分成两组,有两种情况:(4,2),(3,3),然后再分配到两辆车上共有 C A C 50 种。故选 C。4 6 2 23 6【答案】 C4把 5 件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有_种。【解析】 设这 5 件不同的产品分别为A,B,C,D,E,先把产品A与产品B捆绑有 A种摆法,再与产品D,E全排列有 A 种摆法,最后把产品C插空有 C 种摆法,所以共有2 23 31 3A A C 36 种不同摆
7、法。2 2 3 3 1 3【答案】 365某教师上午要排 3 个班的课,每班一节,且上午只排 4 节课,若教师不能连上 3 节课,则这位教师上午的课程表不同的排法有_种(用数字作答)。【解析】 第一节和第四节必须排课,且第二、三节只能安排一节,共有A A 12(种)。2 31 2【答案】 12微考点 大课堂考点一 排列的应用【典例 1】 (1)有 4 名男生,5 名女生,全体排成一行,则甲不在中间也不在两端的排法有_种。(2)在数字 1,2,3 与符号“” “”这五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列方法共有_种。【解析】 (1)分两步进行:第一步,先排甲有 A 种,第二步,排其
8、余 8 人有 A 种,1 68 8由分步乘法计数原理,共有 A A 241 920(种)排法。1 68 8(2)本题主要考查某些元素不相邻的问题,先排符号“” “” ,有 A 种排列方法,此2 2- 4 -时两个符号中间与两端共有 3 个空位,把数字 1,2,3“插空” ,有 A 种排列方法,因此满足3 3题目要求的排列方法共有 A A 12(种)。2 2 3 3【答案】 (1)241 920 (2)12【母题变式】 1.若本典例(2)中条件“任意两个数字都不相邻”改为“1,2,3 这三个数字必须相邻” ,则这样的全排列方法有多少种?【解析】 用捆绑法,有 A A 36(种)。3 3 3 3【
9、答案】 362若本典例(2)中条件变为:符号“”与“”都不相邻,则这样的全排列有多少种?【解析】 A A 72(种)。3 3 2 4【答案】 72反思归纳 排列应用问题的分类与解法1对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时,一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法。2对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法。【拓展变式】 (2016黄冈质检)在高三某班进行的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生,2 位男生,如果 2 位男生不
10、能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场的顺序的排法种数为_。【解析】 不相邻问题插空法。2 位男生不能连续出场的排法有N1A A 72 种,女3 32 4生甲排第一个且 2 位男生不连续出场的排法共有N2A A 12 种,所以出场顺序的排法种2 22 3数为NN1N260。【答案】 60考点二 组合的应用【典例 2】 (1)若从 1,2,3,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法的种数是( )A60 种 B63 种C65 种 D66 种(2)要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动,A,B,C三人必须入选,则有_种不同选法。【解析】 (1)因为 1,2,3,
11、9 中共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数,要使和为偶数,则 4 个数全为奇数,或全为偶数,或 2 个奇数和 2 个偶数,故有 C C C C 664 54 42 5 2 4种不同的取法。故选 D。- 5 -(2)只需从A,B,C之外的 9 人中选择 2 人,即有 C 36 种选法。2 9【答案】 (1)D (2)36【母题变式】 1.本典例(2)中若将条件“A,B,C三人必须入选”改为“A,B,C三人都不能入选” ,其他条件不变,则不同的选法有多少种?【解析】 由A,B,C三人都不能入选只需从余下 9 人中选择 5 人,即有 C C 1265 94 9种选法。【答案】 126 种2本典
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