高考数学二轮复习专题检测十五立体几何中的向量方法理.doc
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1、1专题检测(十五)专题检测(十五) 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法A 卷夯基保分专练1(2017惠州三调)如图,四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,点P在圆柱OQ的底面圆周上,G是DP的中点,圆柱OQ的底面圆的半径OA2,侧面积为 8,AOP120.3(1)求证:AGBD;(2)求二面角PAGB的余弦值解:建立如图所示的空间直角坐标系,由题意可知 822AD,3解得AD2.3作PEAB,垂足为E,OPOA2,AOP120,EOP60,PE,OE1,3AEAOOE3.则A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),P(,3,0),33G是DP的中点,G.(32,32, 3)(1)
2、证明:(0,4,2),.BD3AG(32,32, 3)(0,4,2)0,AGBD(32,32, 3)3,即AGBD.AGBD(2)(,1,0),BP3AG(32,32, 3),PG(32,32, 3)BG(32,52, 3)0,0,BPPGAGBP是平面APG的法向量BP设n(x,y,1)是平面ABG的法向量,由则Error!解得n(2,0,1),则 cos,n.BP2 32 51552由图知,二面角PAGB为锐角,二面角PAGB的余弦值为.1552(2017北京高考)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD平面ABCD,点M在线段PB上,PD平面MAC,PAPD,AB4.
3、6(1)求证:M为PB的中点;(2)求二面角BPDA的大小;(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值解:(1)证明:如图,设AC,BD的交点为E,连接ME.因为PD平面MAC,平面MAC平面PDBME,所以PDME.因为底面ABCD是正方形,所以E为BD的中点所以M为PB的中点(2)取AD的中点O,连接OP,OE.因为PAPD,所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,OP平面PAD,所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD,所以OPOE.因为底面ABCD是正方形,所以OEAD.以O为原点,以,为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直ODOEOP角坐标系
4、Oxyz,则P(0,0,),D(2,0,0),B(2,4,0),2(4,4,0),(2,0,)BDPD2设平面BDP的一个法向量为n(x,y,z),则即Error!令x1,得y1,z.2于是n(1,1,)2又平面PAD的一个法向量为p(0,1,0),所以 cosn,p .np |n|p|1 23由题知二面角BPDA为锐角,所以二面角BPDA的大小为 60.(3)由题意知M,C(2,4,0),(1,2,22)则.MC(3,2,22)设直线MC与平面BDP所成角为,则sin |cosn,|.MC2 69所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.2 693(2017安徽名校阶段性测试)已知四棱锥PA
5、BCD中,底面ABCD是梯形,BCAD,ABAD,且ABBC1,AD2,顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上,PAPD.(1)求证:平面PAB平面PAD;(2)若直线AC与PD所成角为 60,求二面角APCD的余弦值解:(1)证明:PH平面ABCD,AB平面ABCD,PHAB.ABAD,ADPHH,AD平面PAD,PH平面PAD,AB平面PAD.又AB平面PAB,平面PAB平面PAD.(2)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,PH平面ABCD,z轴PH.则A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),设AHa,PHh(00)则P(0,a,h)(0,a,h),(0,a
6、2,h),(1,1,0)APDPACPAPD,a(a2)h20.APDPAC与PD所成角为 60,|cos,| ,ACDP|a2|2 a22h21 2(a2)2h2,(a2)(a1)0,00,h1,P(0,1,1)4(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,0),APACPCDC设平面APC的法向量为n(x1,y1,z1),则即Error!令x11,得y11,z11,所以平面APC的一个法向量为n(1,1,1),设平面DPC的法向量为m(x2,y2,z2)由即Error!令x21,得y21,z21,所以平面DPC的一个法向量为(1,1,1)cosm,n .mn |m|n|1 3
7、二面角APCD的平面角为钝角,二面角APCD的余弦值为 .1 34(2017成都一诊)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,BD与EF交于点H,G为BD的中点,点R在线段BH上,且(0)现将AED,BR RHCFD,DEF分别沿DE,DF,EF折起,使点A,C重合于点B(该点记为P),如图所示(1)若2,求证:GR平面PEF;(2)是否存在正实数,使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为?若存在,求2 25出的值;若不存在,请说明理由解:(1)证明:由题意,可知PE,PF,PD三条直线两两垂直PD平面PEF.在图中,E,F分别是AB,BC的中点,G为BD的中点,EFAC,G
8、DGB2GH.在图中,2,且2,PR RHBR RHDG GH在PDH中,GRPD.GR平面PEF.5(2)由题意,分别以PF,PE,PD所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz.设PD4,则P(0,0,0),F(2,0,0),E(0,2,0),D(0,0,4),H(1,1,0),(1,1,0),PH,PR RHPR 1PHR.( 1, 1,0).RF(2 1, 1,0) (2 1, 1,0)(2,2,0),(0,2,4),EFDE设平面DEF的法向量为m(x,y,z),由得Error!取z1,得y2,x2,则m(2,2,1)直线FR与平面DEF所成角的正弦值为,2 25
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- 高考 数学 二轮 复习 专题 检测 十五 立体几何 中的 向量 法理
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