高考数学二轮复习难点2-3三角变换平面向量函数解三角形问题等综合问题教学案文.doc
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1、1 / 8【2019【2019 最新最新】精选高考数学二轮复习难点精选高考数学二轮复习难点 2-32-3 三角变换平面向量函数三角变换平面向量函数解三角形问题等综合问题教学案文解三角形问题等综合问题教学案文高考数学命题注重知识的整体性和综合性,重视在知识的交汇处考察,对三角形问题的考察重点在于三角变换、向量、函数等的综合,它们之间互相联系、互相交叉,不仅考察三角变换,同时深化了向量的运算,体现了向量的工具作用,试题综合性较高,所以要求学生有综合处理问题的能力,纵观最近几年高考,试题难度不大,但是如果某一知识点掌握不到位,必会影响到整个解题过程 ,本文从以下几个方面阐述解题思路,以达到抛砖引玉的
2、目的.1.1.向量与三角形问题的结合向量与三角形问题的结合向量具有“双重身份” ,既可以像数一样满足“满足运算性质”进行代数形式的运算, ,又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换,同时向量加、减法的几何运算遵循三角形法则和平行四边形法则,这为向量和三角形问题的结合,提供了很好的几何背景.1.11.1 向量与三角形谈向量与三角形谈“心心”内心(三角形内切圆圆心):三角形三条内角平分线的交点;外心(三角形外接圆的圆心):三角形各边中垂线的交点;垂心:三角形各边上高的交点;重心:三角形各边中线的交点,用向量形式可表示为如下形式:用向量形式可表示为如下形式:2 / 8若是内的一点,是的内心;PABC
3、(),0()0ABACAP ABACBABCBPtt BABC ,PABC若两点分别是的边上的中点,且DE、ABCBCCA、是的外心;DP PBDP PCEP PCEP PA PABC若,则是的重心;0GAGBGC GABC若是面内的一点,且,则是的垂心.PABCPA PBPA PCPC PB PABC例例 1.1.已知外接圆的圆心为,且,则已知外接圆的圆心为,且,则 ABCO320OAOBOC AOC思路分析:本题主要考查两个向量数量积的概念,考查两个向量夹角公式的应思路分析:本题主要考查两个向量数量积的概念,考查两个向量夹角公式的应用,考查特殊角的三角函数值由于三角形的边长不固定,所以不妨
4、假设外接用,考查特殊角的三角函数值由于三角形的边长不固定,所以不妨假设外接圆的半径为,也可以假设为,这个数会在后面运算过程中约掉三个向量的和圆的半径为,也可以假设为,这个数会在后面运算过程中约掉三个向量的和为零向量,先将一个移动到另一边,然后两边平方,利用向量运算公式,即可为零向量,先将一个移动到另一边,然后两边平方,利用向量运算公式,即可化简出关于余弦值的表达式,由此求得角的大小化简出关于余弦值的表达式,由此求得角的大小1rAOC【答案】2 3点评:本题考查了向量的应用,综合性高,难度大,密切联系已知条件和合理构思是解题的关键.1.21.2判断三角形形状判断三角形形状三角形的边可以看做向量的
5、模长,三角形的内角可以看做向量的夹角,所以可利用向量的数量积和夹角公式或者其他线性运算,结合平面几何知识来判断三角形的形状3 / 8例例 2.2. 【吉林省实验中学吉林省实验中学 20182018 届第二次月考届第二次月考】已知已知 P P 为三角形为三角形 ABCABC 内部任一点内部任一点(不包括边界)(不包括边界) ,且满足,且满足(-)(+-2)=0(-)(+-2)=0,则,则 ABCABC 的形状一定为的形状一定为_._.思路分析:(思路分析:(1 1)利用向量的线性运算,向量的数量积找出边之间关系,从而推)利用向量的线性运算,向量的数量积找出边之间关系,从而推断出,可知是等腰的三角
6、形断出,可知是等腰的三角形CBCA ABC【答案】等腰三角形【解析】,PBPAABCBCA 2PBPAPCPBPCPAPCCBCA 又,20PBPAPBPAPC 220CBCACBCACBCA ,故.ABC 一定为等腰三角形.22CBCA CBCA 点评:此题考查了向量的线性运算,向量的数量积应用,利用向量的数量积可以很好得解决了三角形的边角问题,熟练掌握定理是解本题的关键1.31.3向量运算与三角形问题的综合运用向量运算与三角形问题的综合运用解答这类题,首先向量的基本概念和运算必须熟练,要很好的掌握正弦定理、余弦定理的应用条件,其次要注意把题目中的向量用三角中边和角表示,体现向量的工具作用.
7、例例 3.【3.【河北衡水金卷河北衡水金卷 20182018 届模拟一届模拟一】已知的内角,已知的内角, , 的对边,的对边, , 分别满足,分别满足,又点满足,又点满足ABCA BCabc22cb2 coscoscos0bAaCcAD12 33ADABAC (1)求及角的大小;aA(2)求的值AD思路分析:(思路分析:(1 1)由及正弦定理化简可得即,从而得又,所以,由余弦定理得;)由及正弦定理化简可得即,从而得又,所以,由余弦定理得;(2 2)由,得)由,得 ,所以,所以2 coscoscos0bAaCcA2sin cossinsinBAACB4 / 81cos2A 0,A2 3A7a 1
8、2 33ADABAC 2 212 33ADABAC 444142 199929 2 3AD 点评:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的. 2.2.三角函数与三角形问题的结合三角函数与三角形问题的结合三角函数的起源是三角形,所以经常会联系到三角形,这类型题是在三角形这个载体上的三角变换,第一:既然是三角形问题,就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论,及时边角转换,可以帮助发现问题解决思路;第二:它也是一种三角变换,只不过角的范围缩小了,因此常见的三角变换方法和原则都是适用的.例例 4.4. 的内
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