高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-5椭圆教师用书.doc
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1、1 / 23【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-59-5 椭圆教师用书椭圆教师用书1椭圆的概念平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合 PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中 a0,c0,且a,c 为常数:(1)若 ac,则集合 P 为椭圆;(2)若 ac,则集合 P 为线段;(3)若 ab0)x2 a2y2 b21 (ab0)y2 a2x2 b2图形范围axabybbxbaya对称性对称轴:坐标轴
2、对称中心:原点性质顶点A1(a,0),A2(a,0)B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a)B1(b,0),B2(b,0)2 / 23轴长轴A1A2的长为 2a;短轴B1B2的长为 2b焦距|F1F2|2c离心率e (0,1)c aa,b,c的关系a2b2c2【知识拓展】点 P(x0,y0)和椭圆的关系(1)点 P(x0,y0)在椭圆内1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆( )(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1,F2 构成PF1F2 的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴
3、长,c 为椭圆的半焦距)( )(3)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆( )(4)方程 mx2ny21(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆( )(5)1(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆( )(6)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等( )1(教材改编)椭圆1 的焦距为 4,则 m 等于( )A4 B8 C4 或 8 D123 / 23答案 C解析 由题意知Error!或Error!解得 m4 或 m8.2(2015广东)已知椭圆1(m0)的左焦点为 F1(4,0),则 m等于( )A2 B3 C4 D9答案 B解析 由题意知 25m216,解得 m29,又 m0,所以 m3.3(2016全国
4、乙卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.3 4答案 B解析 如图,由题意得,|BF|a,|OF|c,|OB|b,|OD|2bb.在 RtFOB 中,|OF|OB|BF|OD|,即 cbab,解得a2c,故椭圆离心率 e,故选 B.4(教材改编)已知点 P 是椭圆1 上 y 轴右侧的一点,且以点 P及焦点 F1,F2 为顶点的三角形的面积等于 1,则点 P 的坐标为_答案 或(152,1)解析 设 P(x,y),由题意知 c2a2b2541,4 / 23所以 c1,则 F1(1,0),F2(1,0),由题意
5、可得点 P 到 x 轴的距离为 1,所以 y1,把 y1 代入1,得 x,又 x0,所以x,所以 P 点坐标为或.题型一 椭圆的定义及标准方程命题点 1 利用定义求轨迹例 1 (2016济南模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是( )A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆答案 A解析 由条件知|PM|PF|.|PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|.P 点的轨迹是以 O,F 为焦点的椭圆命题点 2 利用待定系数法求椭圆方程例 2 (1)已知椭圆以坐标轴
6、为对称轴,且长轴长是短轴长的 3 倍,并且过点 P(3,0),则椭圆的方程为_(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P1(,1),P2(,),则椭圆的方程为_5 / 23_答案 (1)y21 或1(2)1 解析 (1)若焦点在 x 轴上,设方程为1(ab0),椭圆过P(3,0),1,即 a3,又 2a32b,b1,方程为y21.若焦点在 y 轴上,设方程为1(ab0)椭圆过点 P(3,0)1,即 b3.又 2a32b,a9,方程为1.所求椭圆的方程为y21 或1.(2)设椭圆方程为 mx2ny21(m0,n0 且 mn)椭圆经过点 P1,P2,点 P1,P2 的坐标适合椭圆
7、方程则Error!两式联立,解得Error!所求椭圆方程为1.命题点 3 利用定义解决“焦点三角形”问题例 3 已知 F1,F2 是椭圆 C:1(ab0)的两个焦点,P 为椭圆 C上的一点,且.若PF1F2 的面积为 9,则 b_.答案 3解析 设|PF1|r1,|PF2|r2,则Error!6 / 232r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2,又r1r2 21PF FSb29,b3.引申探究1在例 3 中增加条件“PF1F2 的周长为 18” ,其他条件不变,求该椭圆的方程解 由原题得 b2a2c29,又 2a2c18,所以 ac1,解得 a5,故椭圆方程为1.2在例 3 中条件“
8、” 、 “PF1F2 的面积为 9”分别改为“F1PF260” “3” ,结果如何? 21PF FS解 |PF1|PF2|2a,又F1PF260,所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2,即(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2,所以 3|PF1|PF2|4a24c24b2,所以|PF1|PF2|b2,又因为|PF1|PF2|sin 60 21PF FSb2b23,所以 b3.7 / 23思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数 2a|F1F2|这一条件(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,
9、具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于 a,b的方程组如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为 mx2ny21(m0,n0,mn)的形式(3)当 P 在椭圆上时,与椭圆的两焦点 F1,F2 组成的三角形通常称为“焦点三角形” ,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|;通过整体代入可求其面积等(1)(2016盐城模拟)已知两圆 C1:(x4)2y2169,C2:(x4)2y29,动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切,和圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )A.1 B.1C.1 D.1(2)
10、(2017大庆质检)设 F1、F2 分别是椭圆y21 的左、右焦点,若椭圆上存在一点 P,使()0(O 为坐标原点),则F1PF2 的面积是( )A4 B3 C2 D1答案 (1)D (2)D解析 (1)设圆 M 的半径为 r,则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|,所以 M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的椭圆,8 / 23且 2a16,2c8,故所求的轨迹方程为1.(2)()()0,PF1PF2,F1PF290.设|PF1|m,|PF2|n,则 mn4,m2n212,2mn4,mn1. 21F PFS题型二 椭圆的几何性质例 4 (1)已知点 F1,F2 是椭圆 x22y
11、22 的左,右焦点,点 P 是该椭圆上的一个动点,那么|的最小值是( )A0 B1 C2 D22(2)(2016全国丙卷)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆C:1(ab0)的左焦点,A,B 分别为椭圆 C 的左,右顶点P为 C 上一点,且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( )A. B. C. D.3 4答案 (1)C (2)A解析 (1)设 P(x0,y0),则(1x0,y0),(1x0,y0),(2x0,2y0),PF2|4x2 04y2 0222y2 0y2 02.9 / 23点 P 在椭圆上
12、,0y1,当 y1 时,|取最小值 2.故选 C.(2)设 M(c,m),则 E,OE 的中点为 D,则 D,又 B,D,M 三点共线,所以,a3c,e.思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中 x,y 的范围,离心率的范围等不等关系利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于 a,b,c的等式或不等式,
13、利用 a2b2c2 消去 b,即可求得离心率或离心率的范围(2016江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F 是椭圆1(ab0)的右焦点,直线 y与椭圆交于 B,C 两点,且BFC90,则该椭圆的离心率是_答案 63解析 联立方程组解得 B,C 两点坐标为B,C,又 F(c,0),10 / 23则,又由BFC90,可得0,代入坐标可得c2a20,又因为 b2a2c2.代入式可化简为,则椭圆离心率为 e.题型三 直线与椭圆例 5 (2016天津)设椭圆1(a)的右焦点为 F,右顶点为 A.已知,其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程;(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点
14、 B(B 不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于点 M,与 y 轴交于点 H.若 BFHF,且MOAMAO,求直线 l 的斜率解 (1)设 F(c,0),由,即,可得 a2c23c2.又 a2c2b23,所以 c21,因此 a24.所以椭圆的方程为1.(2)设直线 l 的斜率为 k(k0),则直线 l 的方程为 yk(x2)设 B(xB,yB),由方程组Error!消去 y,整理得(4k23)x216k2x16k2120.解得 x2 或 x.由题意得 xB,从而 yB.11 / 23由(1)知,F(1,0),设 H(0,yH),有(1,yH),.由 BFHF,得0,所以0,解得 yH
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