高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题6立体几何第26练完美破解立体几何的证明问题文.doc
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1、1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学考前精选高考数学考前 3 3 个月知识方法专题训练个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题第一部分知识方法篇专题 6 6 立体几何第立体几何第 2626 练完美破解立体练完美破解立体几何的证明问题文几何的证明问题文题型分析高考展望 立体几何证明题是高考必考题,证明平行、垂直关系是主要题型,特别是垂直关系尤为重要掌握判定定理、性质定理并能灵活运用是解题的根本学会分析推理的方法和证明技巧是提升推理能力的关键,在二轮复习中,通过专题训练,使解立体几何证明的能力更上一层楼,确保该类题型不失分体验高考体验高考1(2015福建)若 l,m 是两条不
2、同的直线,m 垂直于平面 ,则“lm”是“l”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 m 垂直于平面 ,当 l 时,也满足 lm,但直线 l 与平面 不平行,充分性不成立,反之,l,一定有 lm,必要性成立故选 B.2(2016山东)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 , 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( )2 / 17A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线 a 和直线 b 相交,则平面 和平面 相交;若平面 和平面 相交,那么直线 a 和直线 b 可能平行或
3、异面或相交,故选 A.3(2016课标全国甲)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AECF,EF 交 BD 于点 H,将DEF沿 EF 折到DEF 的位置(1)证明:ACHD;(2)若 AB5,AC6,AE,OD2,求五棱锥 DABCFE 的体积(1)证明 由已知得 ACBD,ADCD,又由 AECF 得,故ACEF,由此得 EFHD,折后 EF 与 HD 保持垂直关系,即EFHD,所以 ACHD.(2)解 由 EFAC 得.由 AB5,AC6 得 DOBO4,所以 OH1,DHDH3,于是 OD2OH2(2)2129DH2,故 ODO
4、H.由(1)知 ACHD,又 ACBD,BDHDH,所以 AC平面 BHD,于是 ACOD,又由 ODOH,ACOHO,所以 OD平面 ABC.3 / 17又由得 EF.五边形 ABCFE 的面积 S683.所以五棱锥 DABCFE 的体积 V2.4(2016四川)如图,在四棱锥 PABCD 中,PACD,ADBC,ADCPAB90,BCCDAD.(1)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM平面 PAB,并说明理由;(2)证明:平面 PAB平面 PBD.(1)解 取棱 AD 的中点 M(M平面 PAD),点 M 即为所求的一个点,理由如下:因为 ADBC,BCAD,所以 BCAM,且 B
5、CAM.所以四边形 AMCB 是平行四边形,所以 CMAB.又 AB平面 PAB,CM平面 PAB.所以 CM平面 PAB.(说明:取棱 PD 的中点 N,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)证明 由已知,PAAB,PACD.因为 ADBC,BCAD,所以直线 AB 与 CD 相交,所以 PA平面 ABCD,所以 PABD.因为 ADBC,BCAD,M 为 AD 的中点,连接 BM,所以 BCMD,且 BCMD.所以四边形 BCDM 是平行四边形,所以 BMCDAD,所以 BDAB.又 ABAPA,所以 BD平面 PAB.又 BD平面 PBD,4 / 17所以平面 PAB平面 PBD
6、.5(2016课标全国丙)如图,四棱锥 PABCD 中,PA底面ABCD,ADBC,ABADAC3,PABC4,M 为线段 AD 上一点,AM2MD,N 为 PC 的中点(1)证明:MN平面 PAB;(2)求四面体 NBCM 的体积(1)证明 由已知得 AMAD2.如图,取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,由 N 为 PC 中点知 TNBC,TNBC2.又 ADBC,故 TN 綊 AM,所以四边形 AMNT 为平行四边形,于是MNAT.因为 AT平面 PAB,MN平面 PAB,所以 MN平面 PAB.(2)解 因为 PA平面 ABCD,N 为 PC 的中点,所以 N 到平面 ABCD 的距
7、离为 PA.如图,取 BC 的中点 E,连接 AE.由 ABAC3 得 AEBC,AE.由 AMBC 得 M 到 BC 的距离为,故 SBCM42.所以四面体 NBCM 的体积VNBCMSBCM.高考必会题型高考必会题型题型一 空间中的平行问题例 1 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,S 是 B1D1 的中点,E、F、G 分别是 BC、DC、SC 的中点,求证:5 / 17(1)直线 EG平面 BDD1B1;(2)平面 EFG平面 BDD1B1.证明 (1)如图,连接 SB,E、G 分别是 BC、SC 的中点,EGSB.又SB平面 BDD1B1,EG平面 BDD1B1,直线 EG平
8、面 BDD1B1.(2)连接 SD,F、G 分别是 DC、SC 的中点,FGSD.又SD平面 BDD1B1,FG平面 BDD1B1,FG平面 BDD1B1,由(1)知,EG平面 BDD1B1,且 EG平面 EFG,FG平面 EFG,EGFGG,平面 EFG平面 BDD1B1.点评 证明平行关系的方法(1)证明线线平行的常用方法:利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直线平行;利用平行四边形进行转换;利用三角形中位线定理证明;利用线面平行、面面平行的性质定理证明(2)证明线面平行的常用方法:利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证明线线平行;利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证明
9、面面平6 / 17行(3)证明面面平行的方法:证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线面平行,再转化为证明线线平行变式训练 1 (2015天津改编)如图,已知 AA1平面ABC,BB1AA1,ABAC3,BC2,AA1,BB12,点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点求证:(1)EF平面 A1B1BA;(2)平面 AEA1平面 BCB1.证明 (1)如图,连接 A1B,在A1BC 中,因为 E 和 F 分别是 BC 和A1C 的中点,所以 EFBA1.又因为 EF平面 A1B1BA,BA1平面A1B1BA,所以 EF
10、平面 A1B1BA.(2)因为 ABAC,E 为 BC 中点,所以 AEBC,因为AA1平面 ABC,BB1AA1,所以 BB1平面 ABC,从而 BB1AE.又因为 BCBB1B,所以 AE平面BCB1,又因为 AE平面 AEA1,所以平面 AEA1平面 BCB1.题型二 空间中的垂直问题例 2 如图所示,已知 AB平面 ACD,DE平面 ACD,ACD 为等边三角形,ADDE2AB,F 为 CD 的中点求证:(1)AF平面 BCE;(2)平面 BCE平面 CDE.证明 (1)如图,取 CE 的中点 G,连接 FG,BG.F 为 CD 的中点,7 / 17GFDE 且 GFDE.AB平面 A
11、CD,DE平面 ACD,ABDE,GFAB.又 ABDE,GFAB.四边形 GFAB 为平行四边形,AFBG.AF平面 BCE,BG平面 BCE,AF平面 BCE.(2)ACD 为等边三角形,F 为 CD 的中点,AFCD.DE平面 ACD,AF平面 ACD,DEAF.又 CDDED,故 AF平面 CDE.BGAF,BG平面 CDE.BG平面 BCE,平面 BCE平面 CDE.点评 (1)证明线面垂直的常用方法:利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化为证明线线垂直;利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证明面面垂直;利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于
12、这个平面(2)证明面面垂直的方法:证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有8 / 17直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中点、高线或添加辅助线来解决变式训练 2 (2016北京)如图,在四棱锥 PABCD 中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.(1)求证:DC平面 PAC;(2)求证:平面 PAB平面 PAC;(3)设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 PA平面CEF?说明理由(1)证明 PC平面 ABCD,DC平面 ABCD,PCDC.又 ACDC,PCACC,PC平面 PAC,
13、AC平面PAC,DC平面 PAC.(2)证明 ABCD,CD平面 PAC,AB平面 PAC,又AB平面 PAB,平面 PAB平面 PAC.(3)解 棱 PB 上存在点 F,使得 PA平面 CEF.证明如下:取 PB 的中点 F,连接 EF,CE,CF,又E 为 AB 的中点,EF 为PAB 的中位线,EFPA.又 PA平面 CEF,EF平面 CEF,PA平面 CEF.题型三 空间中的平行、垂直综合问题例 3 (2015山东)如图,三棱台 DEFABC 中,AB2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点(1)求证:BD平面 FGH;9 / 17(2)若 CFBC,ABBC,求证:平面 BCD平面
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