高考数学一轮复习坐标系与参数方程第2讲参数方程学案.doc
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1、1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习坐标系与参数方精选高考数学一轮复习坐标系与参数方程第程第 2 2 讲参数方程学案讲参数方程学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 参数方程的概念在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数(*),如果对于 t 的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程,变数 t 叫做参数考点 2 直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ,错误的打“”)(1)参数方程(t1)表示的曲线为直线( )(2)直
2、线 yx 与曲线( 为参数)的交点个数为 1.( )(3)直线(t 为参数)的倾斜角 为 30.( )(4)参数方程表示的曲线为椭圆( )答案 (1) (2) (3) (4)2已知圆的参数方程( 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为3cos4sin90,则直线与圆的位置关系是( )B相离A相切 D相交但直线不过圆心C直线过圆心 答案 D解析 圆的普通方程为 x2y24,直线的直角坐标方程为3x4y90.圆心(0,0)到直线的距离 d0,焦点为 F,准线为 l.过抛物线上一点 M作 l 的垂线,垂足为 E.若|EF|MF|,点 M 的横坐标是 3,则p
3、_.答案 2解析 由参数方程Error!(t 为参数),p0,可得曲线方程为 y22px(p0)|EF|MF|,且|MF|ME|(抛物线定义),MEF 为等边三角形,E 的横坐标为,M 的横坐标为 3.EM 中点的横坐标为,与 F 的横坐标相同,p2.62015湖北高考在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的极坐标方程为(sin3cos)0,曲线 C 的参数方程为(t 为参数),l 与 C 相3 / 13交于 A,B 两点,则|AB|_.答案 25解析 因为 (sin3cos)0,所以sin3cos,所以 y3x.由消去 t 得 y2x24.由
4、解得或不妨令 A,B,由两点间的距离公式得|AB|2.板块二 典例探究考向突破考向 参数方程与普通方程的互化例 1 2017全国卷在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为( 为参数),直线 l 的参数方程为(t 为参数)(1)若 a1,求 C 与 l 的交点坐标;(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为,求 a.解 (1)曲线 C 的普通方程为y21.当 a1 时,直线 l 的普通方程为 x4y30.由Error!解得或Error!从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0),.(2)直线 l 的普通方程为 x4ya40,故 C 上的点(3cos,sin)到 l 的距离为 d|3cos4
5、sina4|17,当 a4 时,d 的最大值为.由题设得,所以 a8;当 a4 时,d 的最大值为.由题设得,所以 a16.综上,a8 或 a16.触类旁通将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法常见的消参方法有:代入消参法、加减消参4 / 13法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参,如 sin2cos21 等(2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解【变式训练 1】 2018湖南长郡中学模拟已知曲线 C1:(t为参数),C2:( 为参数)(1)化 C1,C2 的方程为普通方
6、程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t,Q 为 C2 上的动点,求 PQ的中点 M 到直线 C3:(t 为参数)距离的最小值解 (1)C1:(x4)2(y3)21,C2:1,C1 表示圆心是(4,3),半径是 1 的圆,C2 表示中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆(2)当 t时,P(4,4),又 Q(8cos,3sin),故 M,又 C3 的普通方程为 x2y70,则 M 到 C3 的距离d|4cos3sin13|3sin4cos13|5sin()13|,所以 d 的最小值为.考向 直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的
7、互化例 2 2018宝鸡模拟在平面直角坐标系 xOy 中,已知C1:( 为参数),将 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和 2 倍后得到曲线 C2.以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l:(cossin)4.(1)试写出曲线 C1 的极坐标方程与曲线 C2 的参数方程;(2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最小,并求此最小值解 (1)把 C1:( 为参数),消去参数化为普通方程为x2y21,故曲线 C1 的极坐标方程为 1.5 / 13再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线 C2 的普通
8、方程为221,即1.故曲线 C2 的参数方程为( 为参数)(2)直线 l:(cossin)4,即 xy40,设点P(cos,2sin),则点 P 到直线的距离为d,故当 sin1 时,d 取得最小值,此时,2k(kZ),点P(1,),故曲线 C2 上有一点 P(1,)满足到直线 l 的距离的最小值为.触类旁通参数方程和直角坐标方程及极坐标方程之间的相互转化(1)把 C1 消去参数化为普通方程为 x2y21,再化为极坐标方程根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线 C2 的普通方程,再化为参数方程(2)先求得直线 l 的直角坐标方程,设点 P(cos,2sin),求得点 P 到直线的距离为 d,故当
9、sin1 时,即2k,kZ 时,点 P 到直线 l 的距离最小,从而求得 P 的坐标以及此最小值【变式训练 2】 2018宜春模拟在直角坐标系 xOy 中,圆C1 和 C2 的参数方程分别是( 为参数)和( 为参数),以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆 C1 和 C2 的极坐标方程;(2)射线 OM: 与圆 C1 的交点为 O、P,与圆 C2 的交点为O、Q,求|OP|OQ|的最大值解 (1)圆 C1( 为参数),转化成直角坐标方程为(x2)2y24,即 x2y24x0,转化成极坐标方程为 24cos,即 4cos6 / 13圆 C2( 为参数),转化成直角坐标方程为
10、x2(y1)21,即 x2y22y0转化成极坐标方程为 22sin,即 2sin.(2)射线 OM: 与圆 C1 的交点为 O、P,与圆 C2 的交点为O、Q,设 P,Q 对应的极径分别为 1,2,则|OP|OQ|124|sin2|.(|sin2|)max1,|OP|OQ|的最大值为 4.考向 直线的参数方程例 3 2018泉州模拟已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程是(t 是参数),以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位长度,曲线 C 的极坐标方程为 4sin.(1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;(2)设
11、点 P 的直角坐标为(1,2),直线 l 与曲线 C 的交点为A,B,试求|AB|及|PA|PB|的值解 (1)直线 l 的普通方程为 xy30.4sin4sin4cos,所以24sin4cos,所以曲线 C 的直角坐标方程为x2y24x4y0(或写成(x2)2(y2)28)(2)直线 l 的参数方程可化为(t是参数),把直线 l 的参数方程代入 x2y24x4y0 得,t2t70.设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则t1t2,t1t27,点 P(1,2)显然在直线 l 上,故|AB|t1t2|,故|PA|PB|t1t2|7.触类旁通7 / 13直线的参数方程的标准形式过定点 P0(x
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