高考数学大一轮复习第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积教师用书理.doc
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1、- 1 -第二节第二节 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。2016,全国卷,6,5 分(表面积)2016,全国卷,6,5 分(表面积)2016,全国卷,10,5 分(体积最大值)2016,北京卷,6,5 分(三棱锥体积)2016,浙江卷,14,6 分(体积最大值)本节主要考查空间几何体表面积与体积的计算,同时考查空间几何体的结构特征、三视图等内容,解题要求有较强的空间想象能力和计算能力,广泛应用转化与化归思想。微知识 小题练自|主|排|查1几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是
2、各个面的面积的和。(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r,母线长l,则其表面积为S柱2r22rl,S锥r2rl。(4)若圆台的上下底面半径为r1,r2,母线长为l,则圆台的表面积为S(rr)2 12 2(r1r2)l。(5)球的表面积为 4R2(球半径是R)。2几何体的体积(1)V柱体Sh。(2)V锥体Sh。1 3(3)V台体 (SS)h,V圆台 (rr1r2r)h,V球 R3(球半径是R)。1 3SS1 32 12 24 3微点提醒 1求多面体的表面积,应找到其特征几何图形,它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁。求旋转体(除球外)的侧面
3、积时需要将曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面积之和。2求几何体的体积,要注意分割与补形。将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解。小|题|快|练- 2 -一 、走进教材1(必修 2P28A 组 T3改编)如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_。【解析】 设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截出棱锥的体积为V1 abcabc,剩下的几何体的体积V2abcabcabc,所以1 31 21 21 21 21 481 4847 48V1V2147。【答案】 1472(必修 2P36A 组 T10改编)一直角三角
4、形的三边长分别为 6 cm,8 cm,10 cm,绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为_。【解析】 旋转一周所得几何体为以 cm 为半径的两个同底面的圆锥,其表面积为24 5S68(cm2)。24 524 5336 5【答案】 cm2336 5二、双基查验1(2016全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )- 3 -A20 B24C28 D32【解析】 该几何体是圆锥与圆柱的组合体,由三视图可知圆柱底面圆的半径r2,底面圆的周长c2r4,圆锥的母线长l4,圆柱的高h4,所以该几222 32何体的表面积S表r2chcl416828。故选 C。1 2【答案】 C
5、2已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3,则这个四棱锥的外接球的表面积为( )2A12 B36C72 D108【解析】 依题意得,该正四棱锥的底面对角线长为 36,高为 223,因此底面中心到各顶点的距离均等于 3,所以该四棱锥的外接球3 22(12 6)2的球心为底面正方形的中心,其外接球的半径为 3,所以其外接球的表面积等于43236。故选 B。【答案】 B3表面积为 3 的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为_。【解析】 设圆锥的母线为l,圆锥底面半径为r,则 rlr23,l2r。解得r1,即直径为 2。【答案】 24(2016北京高考)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱
6、柱的体积为_。- 4 -【解析】 通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形,则四棱柱的底面积S ,通过侧视图可知四棱柱的高h1,所以该四棱柱的体积VSh 。12 1 23 23 2【答案】 3 25(2016赤峰模拟)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱和底面垂直,且所有棱长都相等,若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上,且球O的表面积为 7,则此三棱柱的体积为_。【解析】 如图,设三棱柱ABCA1B1C1的棱长为 2a,在ODC中,OD2DC2OC2,即a22r2,所以r2,(2 3a3)7a2 3S球表4r2a27,28 3所以a2 ,即a,3 432V三棱柱(2a)22a2a323 。3433(
7、32)9 4【答案】 9 4微考点 大课堂考点一 空间几何体的表面积【典例 1】 (1)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )- 5 -A82 B11222C142 D152(2)(2016全国卷)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。若该几何体的体积是,则它的表面积是28 3( )A17 B18C20 D28【解析】 (1)由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,如图所示。直角梯形斜腰长为,所以底面周长为 4,侧面积121222为 2(4)82,两底面的面积和为 2 1(12)3,所221 2以该几何体的表面积为 823112
8、。故选 B。22(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉 后剩下的几何体,设1 8- 6 -球的半径为r,故 r3,所以r2,表面积S 4r2 r217。故选7 84 328 37 83 4A。【答案】 (1)B (2)A反思归纳 以三视图为载体的几何体表面积的求法1恰当分析给出的三视图。2找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系。3注意组合体的表面积问题中重合部分的处理。【变式训练】 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示,则这个空间几何体的表面积是( )A. B.611 211 2C11 D.311 23【解析】 这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半。根据图中数据可知这个圆台的
9、上底面半径是 1,下底面半径是 2,高为,母线长是 2,其表面积是两个半圆、圆台3侧面积的一半和一个轴截面的面积之和,故S 12 22 (12)2 (24)1 21 21 21 23。故选 D。311 23【答案】 D考点二 空间几何体的体积多维探究角度一:以三视图为背景的体积问题【典例 2】 (2016浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是_cm2,体积是_cm3。- 7 -【解析】 将三视图还原成直观图如图所示,它由 2 个长方体组合而成,其体积V222432 cm3,表面积为 62462272 cm2。【答案】 72 32角度二:利用割补法、换底法求体积【
10、典例 3】 如图所示,多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1而截得的,已知AA1CC1,截面A1BC1D1与底面ABCD成 45的二面角,AB1,则这个多面体的体积为( )A. B.2233C. D.242【解析】 以正方形ABCD为底面,DD1为棱将题图补成一个正四棱柱ABCDA2B1C2D1,如图所示。截面A1BC1D1与底面ABCD成 45的二面角,原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一半。AA1CC1,易知D1BD为截面A1BC1D1与底面ABCD所成的二面角的平面角。D1BD45。AB1,BD,DD1。22正四棱柱ABCDA2B1C2D1的体积V11。22- 8 -所
11、求多面体的体积为。故选 A。22【答案】 A反思归纳 1.分割法:通过对不规则几何体进行分割,化为规则几何体,分别求出体积后再相加即得所求几何体体积。2.补体法:通过补体构造出一个规则几何体,然后进行计算。3.换底法:三棱锥换底法通常在高或底面积不好求时使用。4.三棱锥的体积求解具有较多的灵活性,因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为棱锥的顶点,任何一个面都可以作为棱锥的底面,常常需要对其顶点和底面进行转换,以方便求解。考点三 与球有关的“切” 、 “接”问题母题发散【典例 4】 已知A,B是球O的球面上两点,AOB90,C为该球面上的动点,若三棱锥OABC体积的最大值为 36,则球O的表面积为(
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