高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-8曲线与方程教师用书.doc
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1、1 / 20【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-89-8 曲线与方程教师用书曲线与方程教师用书1曲线与方程的定义一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程f(x,y)0 的实数解建立如下的对应关系:那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线2求动点的轨迹方程的基本步骤【知识拓展】1 “曲线 C 是方程 f(x,y)0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)0 的解”的充分不必要条件2曲线的交点与方程组的关系:(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解,即两个曲线方程
2、组成的方程组的实数解;(2)方程组有几组解,两条曲线就有几个交点;方程组无解,两条曲线就没有交点【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0,y0)0 是点 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)0 上的充要条件( )(2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线( )2 / 20(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2y2.( )(4)方程 y与 xy2 表示同一曲线( )(5)ykx 与 xy 表示同一直线( )1(教材改编)已知点 F(,0),直线 l:x,点 B 是 l 上的动点,若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于
3、点 M,则点M 的轨迹是( )A双曲线 B椭圆C圆 D抛物线答案 D解析 由已知|MF|MB|,根据抛物线的定义知,点 M 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l 为准线的抛物线2(2016广州模拟)方程(2x3y1)(1)0 表示的曲线是( )A两条直线 B两条射线C两条线段 D一条直线和一个射线答案 D解析 原方程可化为或10,即 2x3y10(x3)或 x4,故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线3(2016南昌模拟)已知 A(2,0),B(1,0)两点,动点 P 不在 x 轴上,且满足APOBPO,其中 O 为原点,则 P 点的轨迹方程是( )A(x2)2y24(y0)B(x1)2y21(
4、y0)3 / 20C(x2)2y24(y0)D(x1)2y21(y0)答案 C解析 由角的平分线性质定理得|PA|2|PB|,设 P(x,y),则2,整理得(x2)2y24(y0),故选 C.4过椭圆1(ab0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,则线段 MN 中点的轨迹方程是_答案 1解析 设 MN 的中点为 P(x,y),则点 M(x,2y)在椭圆上,1,即1(ab0).题型一 定义法求轨迹方程例 1 已知两个定圆 O1 和 O2,它们的半径分别是 1 和 2,且|O1O2|4.动圆 M 与圆 O1 内切,又与圆 O2 外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明轨
5、迹是何种曲线解 如图所示,以 O1O2 的中点 O 为原点,O1O2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系由|O1O2|4,得 O1(2,0),O2(2,0)设动圆 M 的半径为 r,则由动圆 M 与圆 O1 内切,有|MO1|r1;由动圆 M 与圆 O2 外切,有|MO2|r2.|MO2|MO1|33) D.1 (x4)答案 C解析 如图,|AD|AE|8,|BF|BE|2,|CD|CF|,所以|CA|CB|8263)题型二 直接法求轨迹方程例 2 (2016广州模拟)已知椭圆 C:1(ab0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若动点 P(x0,y0)为椭圆
6、 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程5 / 20解 (1)依题意得,c,e,因此 a3,b2a2c24,故椭圆 C 的标准方程是1.(2)若两切线的斜率均存在,设过点 P(x0,y0)的切线方程是yk(xx0)y0,则由Error!得1,即(9k24)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)240,18k(y0kx0)236(9k24)(y0kx0)240,整理得(x9)k22x0y0ky40.又所引的两条切线相互垂直,设两切线的斜率分别为 k1,k2,于是有 k1k21,即1,即 xy13(x03)若两切线中有一条斜率不存在,则易得或或Error!或
7、Error!经检验知均满足 xy13.因此,动点 P(x0,y0)的轨迹方程是 x2y213.思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略,如果6 / 20给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b)为动点,F1,F2 分别为椭圆1(ab0)的左,右焦点已知F1PF2 为等腰三角形(1)求椭圆的离心率 e;(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,M 是直线 PF2 上的点
8、,满足2,求点 M 的轨迹方程解 (1)设 F1(c,0),F2(c,0)(c0)由题意,可得|PF2|F1F2|,即2c,整理得 2210,得1(舍去)或.所以 e.(2)由(1)知 a2c,bc,可得椭圆方程为 3x24y212c2,直线PF2 的方程为 y(xc)A,B 两点的坐标满足方程组Error!消去 y 并整理,得 5x28cx0.解得 x10,x2c,得方程组的解Error!Error!不妨设 A,B(0,c)设点 M 的坐标为(x,y),则,(x,yc)由 y(xc),得 cxy.于是,(x,x),由2,7 / 20即xx2.化简得 18x216xy150.将 y代入 cxy
9、,得 c0.所以 x0.因此,点 M 的轨迹方程是 18x216xy150(x0)题型三 相关点法求轨迹方程例 3 (2016大连模拟)如图所示,抛物线C1:x24y,C2:x22py(p0)点 M(x0,y0)在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A,B(M 为原点 O 时,A,B 重合于 O)当x01时,切线 MA 的斜率为.(1)求 p 的值;(2)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为 O)解 (1)因为抛物线 C1:x24y 上任意一点(x,y)的切线斜率为y,且切线 MA 的斜率为,所以点 A 的坐标为(1,),
10、故切线 MA 的方程为 y(x1).因为点 M(1,y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上,所以 y0(2)1 4,8 / 20y0.由得 p2.(2)设 N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1x2.由 N 为线段 AB 的中点,知x,y.所以切线 MA,MB 的方程分别为y(xx1),y(xx2).由得 MA,MB 的交点 M(x0,y0)的坐标为x0,y0.因为点 M(x0,y0)在 C2 上,即 x4y0,所以 x1x2.由得 x2y,x0.当 x1x2 时,A,B 重合于原点 O,AB 的中点 N 为点 O,坐标满足 x2y.因此 AB 的中点 N 的轨迹方程是 x2y.思维升
11、华 “相关点法”的基本步骤(1)设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1);(2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式Error!(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程9 / 20设直线 xy4a 与抛物线 y24ax 交于两点 A,B(a 为定值),C 为抛物线上任意一点,求ABC 的重心的轨迹方程解 设ABC 的重心为 G(x,y),点 C 的坐标为(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)由方程组Error!消去 y 并整理得x212ax16a20.x1x212a,y1y2(x14a)(x24a)(x1x2)8a4a.G(x,y)为
12、ABC 的重心,Error!又点 C(x0,y0)在抛物线上,将点 C 的坐标代入抛物线的方程得(3y4a)24a(3x12a),即(y)2(x4a)又点 C 与 A,B 不重合,x0(62)a,ABC 的重心的轨迹方程为(y)2(x4a)(x(6)a)24分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (15 分)已知抛物线 y22px 经过点 M(2,2),椭圆1 的右焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为.(1)求抛物线与椭圆的方程;10 / 20(2)若 P 为椭圆上一个动点,Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点,(0),试求 Q 的轨迹思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时,
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