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1、- 1 -第六节第六节 双曲线双曲线2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线);2.了解双曲线的简单应用;3.理解数形结合的思想。2016,全国卷,5,5 分(双曲线标准方程)2016,全国卷,11,5 分(双曲线离心率)2016,天津卷,6,5 分(双曲线标准方程)2016,山东卷,13,5 分(双曲线离心率)2016,北京卷,13,5 分(双曲线的渐近线)1.以考查双曲线的概念及性质为主,直线与双曲线的位置关系也是考查的热点;2.题型主要以选择题、填空题为主,要求相对较低,但经常考查。微
2、知识 小题练自|主|排|查1双曲线的概念平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距。集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a、c为常数且a0,c0。(1)当ac时,M点的轨迹是双曲线;(2)当ac时,M点的轨迹是两条射线;(3)当ac时,M点不存在。2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1x2 a2y2 b2(a0,b0)1y2 a2x2 b2(a0,b0)- 2 -图形范围xa或xa,yR RxR R,ya或ya对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点对称轴:坐标轴对称中心:原点顶
3、点顶点坐标:A1(a,0),A2(a,0)顶点坐标:A1(0,a),A2(0,a)渐近线yxb ayxa b性质离心率e ,e(1,),其中cc aa2b2性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长微点提醒 1双曲线方程中c2a2b2,说明双曲线方程中c最大,解决双曲线问题时不要忽视了这个结论,不要与椭圆中的知识相混淆。2双曲线1(a0,b0)的渐近线方程是yx,1(a0,b0)的渐近x2 a2y2 b2b ay2 a2x2 b2线方程是yx。a b3渐近线与离心率1(a0
4、,b0)的一条渐近线的斜率为x2 a2y2 b2。b ae21 4若P为双曲线上一点,F为其对应焦点,则|PF|ca。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 21P61A 组 T1改编)已知双曲线x21 上一点P到它的一个焦点的距离等y2 16- 3 -于 4,那么点P到另一个焦点的距离等于_。【解析】 设双曲线的焦点为F1,F2,|PF1|4,则|PF1|PF2|2,故|PF2|6 或2,又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为ca1,故|PF2|6。17【答案】 62(选修 21P58例 3 改编)双曲线1 的渐近线方程为_。9x2 16y2 4【解析】 因为双曲线方程为1,9x2 16y2
5、 4所以其渐近线方程为 0,3x 4y 2即 3x2y0。【答案】 3x2y0 或 3x2y0二、双基查验1双曲线 2x2y28 的实轴长是( )A2 B22C4 D42【解析】 双曲线 2x2y28 的标准方程为1,所以实轴长 2a4。故选 C。x2 4y2 8【答案】 C2过双曲线x2y28 的左焦点F1有一条弦PQ在左支上,若|PQ|7,F2是双曲线的右焦点,则PF2Q的周长是( )A28 B1482C148 D822【解析】 由双曲线定义知,|PF2|PF1|4,|QF2|QF1|4,22|PF2|QF2|(|PF1|QF1|)8。2又|PF1|QF1|PQ|7,|PF2|QF2|78
6、。2PF2Q的周长为 148。故选 C。2【答案】 C3(2016天津高考)已知双曲线1(a0,b0)的焦距为 2,且双曲线的一条x2 a2y2 b25渐近线与直线 2xy0 垂直,则双曲线的方程为( )A.y21 Bx21x2 4y2 4- 4 -C.1 D.13x2 203y2 53x2 53y2 20【解析】 由题意得c, ,则a2,b1,所以双曲线的方程为y21。故5b a1 2x2 4选 A。【答案】 A4以椭圆1 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为_。x2 4y2 3【解析】 设要求的双曲线方程为1(a0,b0),由椭圆1,得焦点为x2 a2y2 b2x2 4y2 3(1,0)
7、,顶点为(2,0)。所以双曲线的顶点为(1,0),焦点为(2,0)。所以a1,c2,所以b2c2a23,所以双曲线标准方程为x21。y2 3【答案】 x21y2 35在平面直角坐标系xOy中,双曲线中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为x2y0,则它的离心率为_。【解析】 设双曲线方程为1(a0,b0),y2 a2x2 b2其中一条渐近线方程为yx,a b ,即e214。a b1 2ac2a2c2a2 a2e。5【答案】 5微考点 大课堂考点一 双曲线的定义及其应用母题发散【典例 1】 (1)已知圆C:(x3)2y24,定点A(3,0),则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为_。(
8、2)已知F1,F2为双曲线C:x2y22 的左、右焦点,点P在C上,|PF1|2|PF2|,则cosF1PF2_。【解析】 (1)设动圆M的半径为R,则|MC|2R,|MA|R,|MC|MA|2,- 5 -由双曲线的定义知,M点的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的左支,且a1,c3,b28,则动圆圆心M的轨迹方程为x21(x1)。y2 8(2)由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2,2|PF1|2|PF2|4,2则 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2| 。4 222 22422 4 2 2 23 4【答案】 (1)x21(x1) (2)y2 83
9、4【母题变式】 1.本典例(2)中将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260” ,则F1PF2的面积是多少?【解析】 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|PF2|2a2,2在F1PF2中,由余弦定理,得cosF1PF2 ,|PF1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2|1 2所以|PF1|PF2|8,所以SF1PF2 |PF1|PF2|sin602。1 23【答案】 232本典例(2)中将条件“|PF1|2|PF2|”改为“0” ,则F1PF2的面积是多PF1PF2少?【解析】 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|PF2|2a2,2由于0,PF1PF2所以。PF1
10、PF2所以在F1PF2中,有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,即|PF1|2|PF2|216,所以|PF1|PF2|4,所以SF1PF2 |PF1|PF2|2。1 2【答案】 2反思归纳 双曲线定义的应用主要有两个方面:(1)判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|PF2|2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF2|的联系。- 6 -【拓展变式】 已知F是双曲线1 的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动x2 4y2 12点,则|PF|PA|的最小值为_。【解析】 如图所示,设双曲线的右焦点
11、为E,则E(4,0)。由双曲线的定义及标准方程得|PF|PE|4,则|PF|PA|4|PE|PA|。由图可得,当A,P,E三点共线时,(|PE|PA|)min|AE|5,从而|PF|PA|的最小值为 9。【答案】 9考点二 双曲线的标准方程【典例 2】 (2016天津高考)已知双曲线1(b0),以原点为圆心,双曲线的x2 4y2 b2实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为 2b,则双曲线的方程为( )A.1 B.1x2 43y2 4x2 44y2 3C.1 D.1x2 4y2 4x2 4y2 12【解析】 根据圆和双曲线的对称性,可知四边形AB
12、CD为矩形。双曲线的渐近线方程为yx,圆的方程为x2y24,不妨设交点A在第一象限,由yx,x2y24 得xAb 2b 2,yA,故四边形ABCD的面积为 4xAyA2b,解得b212,故所求的双44b22b4b232b 4b2曲线方程为1。故选 D。x2 4y2 12【答案】 D反思归纳 1.求双曲线的标准方程一般用待定系数法;2.当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax2By21(AB0,b0)的焦距为x2 a2y2 b210,点P(2,1)在C的一条渐近线上,则C的方程为( )A.1 B.1x2 20y2 5x2 5y2 20C.1 D.1x2 80y2
13、20x2 20y2 80- 7 -(2)已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点x2 a2y2 b23在抛物线y24x的准线上,则双曲线的方程为( )7A.1 B.1x2 21y2 28x2 28y2 21C.1 D.1x2 3y2 4x2 4y2 3【解析】 (1)依题意Error!,解得Error!双曲线C的方程为1。故选 A。x2 20y2 5(2)由题意可得 ,c,又c27a2b2,解得a24,b23,故双曲线的方程b a327为1。故选 D。x2 4y2 3【答案】 (1)A (2)D考点三 双曲线的几何性质多维探究角度一:双曲线的渐近线【典例 3】 (
14、2016北京高考)已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线为x2 a2y2 b22xy0,一个焦点为(,0),则a_;b_。5【解析】 由题意知,渐近线方程为y2x,由双曲线的标准方程以及性质可知2,由c,c2a2b2,可得b2,a1。b a5【答案】 1 2角度二:双曲线的离心率【典例 4】 (1)(2016全国卷)已知F1,F2是双曲线E:1 的左,右焦点,x2 a2y2 b2点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1 ,则E的离心率为( )1 3A. B.23 2C. D23(2)(2016湖南十校联考)设双曲线1 的两条渐近线与直线x分别交于x2 a2y2 b2a2 cA,B两点,F
15、为该双曲线的右焦点。若 600,b0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k 满足关系式e21k2。x2 a2y2 b2b a2求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用b2c2a2和e 转化为关于e的方程或不等式,通过解方c a程或不等式求得离心率的值或取值范围。微考场 新提升1若双曲线1 的离心率为,则其渐近线方程为( )x2 a2y2 b23Ay2x Byx2Cyx Dyx1 222解析 由离心率为,可知ca,ba。渐近线方程为yxx。故332b a2选 B。答案 B2(2016江南十校 3 月联考)已知l是双曲线C:1 的一条渐近线,
16、P是l上x2 2y2 4的一点,F1,F2是C的两个焦点,若0,则P到x轴的距离为( )PF1PF2A. B.2 332C2 D.2 63解析 F1(,0),F2(,0),不妨设l的方程为yx,则可设P(x0,x0),由6622(x0,x0)(x0,x0)3x60,得x0,故P到x轴PF1PF262622 02的距离为|x0|2。故选 C。2答案 C3(2016河南中原名校 3 月联考)过双曲线1(a0,b0)的右焦点与对称轴垂x2 a2y2 b2直的直线与渐近线交于A,B两点,若OAB的面积为,则双曲线的离心率为( )13bc3A. B.5253C. D.132133解析 由题意可求得|AB
17、|,所以SOAB c,整理得 ,即2bc a1 22bc a13bc3c a133- 10 -e。故选 D。133答案 D4设双曲线C经过点(2,2),且与x21 具有相同渐近线,则C的方程为y2 4_;渐近线方程为_。解析 设双曲线C的方程为x2,将点(2,2)代入上式,得3,C的方程y2 4为1,其渐近线方程为y2x。x2 3y2 12答案 1 y2xx2 3y2 125(2016北京高考)双曲线1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OCx2 a2y2 b2所在的直线,点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为 2,则a_。解析 双曲线1 的渐近线方程为yx,由已知可得两条
18、渐近线方程互相垂x2 a2y2 b2b a直,由双曲线的对称性可得 1。又正方形OABC的边长为 2,所以c2,所以b a2a2b2c2(2)2,解得a2。2答案 2微专题 巧突破忽视双曲线的范围致误【典例】 是否存在同时满足下列条件的双曲线?若存在,求出双曲线标准方程;若不存在,说明理由。(1)焦点在x轴上;(2)渐近线方程为x2y0;(3)点A(5,0)到双曲线上动点P的最小距离为。6【易错分析】 双曲线的范围是|x|a,而不是xR R,这正是该题易错的根源所在。【解析】 由条件(1)设双曲线的标准方程为1(a0,b0)。x2 a2y2 b2由条件(2)知 ,即a2b,于是双曲线方程可化简
19、为x24y24b2。b a1 2设P(x0,y0),则|PA|2(x05)2yx10x025b2 (x04)25b2(|x0|a),2 05 4 2 05 4当x0a4 时,则x0a时,|PA|2取得最小值,由条件(3)得a210a25b26,即5 4- 11 -4b220b190,解得b (5);当a4 时,则x04 时,|PA|2最小,即1 264210425b26,解得b21(舍去)。5 4综上可知,存在满足条件的双曲线,且该双曲线的方程为x24y2(5)2,即61。x25 62y25 624【易错提示】 解决与双曲线有关的最值或范围问题时,常常通过构建目标函数求之,但目标函数的变量范围往往会受到双曲线范围的影响,解题中务必要注意这一点。【变式训练】 若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点,点x2 a2P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为_。OPFP【解析】 由条件知a21224,a23,双曲线方程为y21,x2 3设P点坐标为(x,y),则(x,y),(x2,y),OPFPy21,x22xy2x22x1x2 3OPFPx2 3x22x12 。4 34 3(x3 4)7 4又x(P为右支上任意一点),332。OPFP3【答案】 32,)3
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