高考数学二轮复习难点2-1利用导数探求参数的范围问题教学案理.doc
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1、1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学二轮复习难点精选高考数学二轮复习难点 2-12-1 利用导数探求参数的范利用导数探求参数的范围问题教学案理围问题教学案理利用导数探求参数的取值范围是高考考查的重点和热点,由于导数是高等数学的基础,对于中学生来说运算量大、思维密度强、解题方法灵活、综合性高等特点,成为每年高考的压轴题,因此也是学生感到头疼和茫然的一类型题,究其原因,其一,基础知识掌握不够到位(导数的几何意义、导数的应用) ,其二,没有形成具体的解题格式和套路,从而导致学生产生恐惧心理,成为考试一大障碍,本文就高中阶段该类题型和相应的对策加以总结.1.1. 与函数零点有关的参
2、数范围问题与函数零点有关的参数范围问题函数的零点,即的根,亦即函数的图象与轴交点横坐标,与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数交点问题) ,进而确定参数的取值范围( )f x( )0f x ( )f xx x例例 1【20181【2018 安徽阜阳一中二模安徽阜阳一中二模】已知函数已知函数 为常数,为常数, . .(1)当 在 处取得极值时,若关于的方程 在 上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围.(2)若对任意的 ,总存在 ,使不等式 成立,求实数 的取值范围.思路分析:
3、(思路分析:(1 1)对函数,令,可得的值,利用导数研究的单调性,然后求得的)对函数,令,可得的值,利用导数研究的单调性,然后求得的2 / 13最值,即可得到的取值范围;(最值,即可得到的取值范围;(2 2)利用导数求出在上的最大值,则问题等价于)利用导数求出在上的最大值,则问题等价于对对任意,不等式成立,然后构造新函数,再对求导,然后讨论,得出的单调对对任意,不等式成立,然后构造新函数,再对求导,然后讨论,得出的单调性,即可求出的取值范围性,即可求出的取值范围. .点评:本题主要考查函数的单调性及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度较大,属于难题.在处理导数大题时,注意分层得分的
4、原则,一般涉及求函数单调性时,比较容易入手,求导后含参数的问题注意分类讨论,对于恒成立的问题,一般要构造新函数,再利用导数求出函数单调性及最值,涉及到的技巧较多,需多加体会. 2.2. 与曲线的切线有关的参数取值范围问题与曲线的切线有关的参数取值范围问题3 / 13函数在点处的导数就是相应曲线在点处切线的斜率,即,此类试题能与切斜角的范围,切线斜率范围,以及与其他知识综合,往往先求导数,然后转化为关于自变量的函数,通过求值域,从而得到切线斜率的取值范围,或者切斜角范围问题( )yf x0xx 0()fx00(,()xf x 0()kfx0xk例例 2.2.已知函数已知函数. . 2xf xea
5、xbx(1)当时,求的单调区间;0 1ab , f x(2)设函数在点处的切线为,直线与轴相交于点,若点的纵坐标恒小于 1,求实数的取值范围. f x 01P tf tt ,l lyQ Qa思路分析:(思路分析:()先明确函数定义域,再求函数导数,根据导函数零点进行分)先明确函数定义域,再求函数导数,根据导函数零点进行分类讨论:当时,类讨论:当时, ,因此减区间为,当时,递增区间为,递减区间为(,因此减区间为,当时,递增区间为,递减区间为()根据导)根据导数几何意义得切线的斜率,再根据点斜式写出切线方程,得点的纵坐标,即不数几何意义得切线的斜率,再根据点斜式写出切线方程,得点的纵坐标,即不等式
6、恒成立,而不等式恒成立问题,一般转化为对应函数最值问题:的最大等式恒成立,而不等式恒成立问题,一般转化为对应函数最值问题:的最大值,利用导数研究函数单调性,为单调递减,再利用洛必达法则得,因此,也值,利用导数研究函数单调性,为单调递减,再利用洛必达法则得,因此,也可直接构造差函数,分类讨论最值进行求解可直接构造差函数,分类讨论最值进行求解 1xfxe 0x , 0fx 0 ,0 x , 0fx 0 , 2tkfteatb 22ttyeatbteatbxtQ2101tyt eatt 211tt eat2(1)1, 01tt eatt 2(1)1, 01tt eytt 2(1)110,22ttt
7、eexyt 1 2a4 / 13即时, ,所以,当时, ,即在上单调递减,所以,所以不满足题意.若,即时,2ea 20tea0 1t, 0gt g t0 1, 00g tg2ea 21ea 1 22ea 0ln21a则、 、的关系如下表:t gt g tt0 ln2a,ln2aln2 1a, gt0 g t递减极小值递增所以,所以不满足题意,结合,可得,当时,时,此时点的纵坐标恒小于 1. ln200gag1 22ea 1 2a 0 01g tt Q点评:该题考查导数的几何意义、斜率的定义等基础知识,考察学生基本运算能力、灵活运用导数知识处理问题的能力,需要注意的是解决问题的途径是将存在问题转
8、化为方程有解问题.利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题5 / 133.3.与不等式恒成立问题有关的参数范围问题与不等式恒成立问题有关的参数范围问题含参数的不等式恒成立的处理方法:含参数的不等式恒成立的处理方法:的图象永远落在图象的上方;的图象永远落在图象的上方;构造构造函数法,一般构造,函数法,一般构造, ;参变分离法,将不等式等价变形为,或,进而转化为求参变分离法,将不等式等价变形为,或,进而转化为求函数的最值函数的最值. .( )(
9、)f xg x( )yf x( )yg x( )( )( )F xf xg xmin( )0F x( )ah x( )ah x( )h x3.13.1 参变分离法参变分离法将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开,转化为一个已知函将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开,转化为一个已知函数的最值问题处理,关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数,一般遵循数的最值问题处理,关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数,一般遵循“知道谁知道谁的范围,谁是变量;求谁的范围,谁是参数的范围,谁是变量;求谁的范围,谁是参数”的原则的原则例例 3 3 【安徽省安徽省市市 20182018 届第四次联考届第四次
10、联考】已知函数(为自然对数的底数)已知函数(为自然对数的底数) 336xf xeaxxaRe()若函数的图像在处的切线与直线垂直,求的值; f x1x 0xya()对总有0 成立,求实数的取值范围0,4x f xa思路分析:(思路分析:(I I)求出函数的导数,由函数的图像在处的切线与直线垂直可得,)求出函数的导数,由函数的图像在处的切线与直线垂直可得,从而求出的值;(从而求出的值;(IIII)对总有)对总有00 成立,等价于对上恒成立,设,只需即可,利成立,等价于对上恒成立,设,只需即可,利用导数研究函数的单调性可得时,用导数研究函数的单调性可得时, 为增函数,为增函数, 时,时, 为减函数
11、,从而,进而可为减函数,从而,进而可求出的范围求出的范围. . f x1x 0xy 11fa0,4x f x3360,4 xxax 336xg xx minag x0,3x g x3,4x g x 3g xga6 / 13综合性较高,需要具备良好的数学素质,第二问中参变分离时,要考虑符号利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的最值,根据要求得所求范围.一般地,f(x)a 恒成立,只需 f(x)mina 即可;f(x)a 恒成立,只需 f(x)maxa 即可.(2)函数思想法:将不等式转化为某含待求参数
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