高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8-5空间向量及其运算教师用书理苏教.doc
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1、1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第八章立体几何与空精选高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量间向量 8-58-5 空间向量及其运算教师用书理苏教空间向量及其运算教师用书理苏教1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为 0 的向量0 0单位向量长度(模)为 1 的向量相等向量方向相同且模相等的向量a ab b相反向量方向相反且模相等的向量a a的相反向量为a a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a ab b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量 a,b(a0),b 与 a 共线的
2、充要条件是存在实数 使 ba.(2)共面向量定理如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在有序实数(x,y),使 pxayb.(3)空间向量基本定理如果三个向量 e1,e2,e3 不共面,那么对空间任一向量 p,存在惟一的有序实数组(x,y,z),使得 pxe1ye2ze3.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作a,b,则AOB2 / 17叫做向量 a,b 的夹角,记作a,b ,其范围是 0a,b,若a,b,则称 a 与 b 互相垂直,记作 ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量 a
3、,b,则|a|b|cosa,b叫做向量 a,b的数量积,记作 ab,即 ab|a|b|cosa,b.(2)空间向量数量积的运算律结合律:(a)b(ab);交换律:abba;分配律:a(bc)abac.4.空间向量的坐标表示及其应用设 a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3).向量表示坐标表示数量积ababa1b1a2b2a3b3共线b ba a(a a0 0,R R)b1a1,b2a2,b3a3垂直a ab b0(a a0 0,b b0 0)a1b1a2b2a3b30模|a a|a2 1a2 2a2 3夹角a a,b b(a a0 0,b b0 0)cosa a,b ba1b1a2b2a
4、3b3a2 1a2 2a2 3 b2 1b2 2b2 3【知识拓展】1.向量三点共线定理:在平面中 A、B、C 三点共线的充要条件是:xy(其中 xy1),O 为平面内任意一点.2.向量四点共面定理:在空间中 P、A、B、C 四点共面的充要条件是:xyz(其中 xyz1),O 为空间中任意一点.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)3 / 17(1)空间中任意两非零向量 a,b 共面.( )(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc).( )(3)对于非零向量 b,由 abbc,则 ac.( )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( )(5)若 A、B、C
5、、D 是空间任意四点,则有0.( )1.已知正四面体 ABCD 的棱长为 a,点 E,F 分别是 BC,AD 的中点,则的值为_.答案 a2解析 如图,设a,b,c,则|a|b|c|a,且 a,b,c三向量两两夹角为 60.(ab),c,(ab)c(acbc)(a2cos 60a2cos 60)a2.2.(2016苏州模拟)向量 a(2,3,1),b(2,0,4),c(4,6,2),下列结论正确的是_.ab,ac; ab,ac;ac,ab.答案 解析 因为 c(4,6,2)2(2,3,1)2a,所以 ac.又 ab(2)2(3)0140,所以 ab.3.(教材改编)已知 a(2,4,x),b(
6、2,y,2),若|a|6,且ab,则 xy 的值为_.答案 1 或3解析 依题意得Error!解得或Error!4 / 17xy1 或 xy3.4.如图,在四面体 OABC 中,a,b,c,D 为 BC 的中点,E为 AD 的中点,则_.(用 a,b,c 表示)答案 abc解析 1 4OCabc.5.(教材改编)正四面体 ABCD 的棱长为 2,E,F 分别为 BC,AD 中点,则 EF 的长为_.答案 2解析 |2()22()1222122(12cos 120021cos 120)2,|,EF 的长为.题型一 空间向量的线性运算例 1 (1)如图所示,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,
7、O 为 AC 的中点.用, ,表示,则_.答案 AA1解析 (),()AA1.(2)三棱锥 OABC 中,M,N 分别是 OA,BC 的中点,G 是ABC 的重心,用基向量, ,表示,.解 2 3AN5 / 17()().OG1 3OC.思维升华 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.(2016盐城模拟)如图所示,在空间几何体ABCDA1B1C1D1 中,各面为平行四边形,设
8、a,b,c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用a,b,c 表示以下各向量:(1);(2).解 (1)因为 P 是 C1D1 的中点,所以D1Pa1 2D1C1acacb.(2)因为 M 是 AA1 的中点,所以APa(acb)abc.6 / 17又AA1ca,所以(abc)(ac)abc.题型二 共线定理、共面定理的应用例 2 (2016南京模拟)已知 E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 的中点.(1)求证:E,F,G,H 四点共面;(2)求证:BD平面 EFGH;(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求证:对空间任一点 O,有(
9、).证明 (1)连结 BG,则BG()EH,由共面向量定理的推论知 E,F,G,H 四点共面.(2)因为AE1 2AB(),所以 EHBD.又 EH平面 EFGH,BD平面 EFGH,所以 BD平面 EFGH.(3)找一点 O,并连结 OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG.由(2)知,7 / 17同理,所以,即 EH 綊 FG,所以四边形 EFGH 是平行四边形,所以 EG,FH 交于一点 M 且被 M 平分.故()1 2OG()()().思维升华 (1)证明空间三点 P,A,B 共线的方法(R);对空间任一点 O,t(tR);对空间任一点 O,xy(xy1).(2)证明空间四点 P,M,
10、A,B 共面的方法xy;对空间任一点 O,xy;对空间任一点 O,xyz(xyz1);(或或).已知 A,B,C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,若点 M 满足().(1)判断, ,三个向量是否共面;(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.解 (1)由题意知3,()()即, ,共面.8 / 17(2)由(1)知, ,共面且基线过同一点 M,M,A,B,C 四点共面.从而点 M 在平面 ABC 内.题型三 空间向量数量积的应用例 3 (2016盐城模拟)如图,已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,AA12,A1ABA1AD120.(1
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