高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13-3数学归纳法教师用书理新人教.doc
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1、1 / 21【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第十三章推理与证明精选高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数算法复数 13-313-3 数学归纳法教师用书理新人教数学归纳法教师用书理新人教数学归纳法一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设 nk(kn0,kN*)时命题成立,证明当nk1 时命题也成立只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n都成立【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时,第一
2、步是验证当 n1 时结论成立( )(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明( )(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用( )(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由 nk 到nk1 时,项数都增加了一项( )(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31” ,验证 n1 时,左边式子应为 122223.( )(6)用数学归纳法证明凸 n 边形的内角和公式时,n03.( )1用数学归纳法证明 1aa2an1 (a1,nN*),在验证 n1 时,等式左边的项是( )A1 B1a2 / 21C1aa2 D1aa2a3答案 C解析 当 n1 时,n12,左边1a1a
3、21aa2.2(2016黄山模拟)已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明12()时,若已假设 nk(k2 且 k 为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( )Ank1 时等式成立Bnk2 时等式成立Cn2k2 时等式成立Dn2(k2)时等式成立答案 B解析 因为 n 为正偶数,nk 时等式成立,即 n 为第 k 个偶数时命题成立,所以需假设 n 为下一个偶数,即 nk2 时等式成立3在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n3)条时,第一步检验 n 等于( )A1 B2C3 D0答案 C解析 凸 n 边形边数最小时是三角形,故第一步检验 n3.4用数学归纳法证明 123n2,则当 n
4、k1 时左端应在 nk 的基础上加上( )Ak213 / 21B(k1)2C.k14k12 2D(k21)(k22)(k23)(k1)2答案 D解析 等式左边是从 1 开始的连续自然数的和,直到 n2.故 nk1 时,最后一项是(k1)2,而 nk 时,最后一项是 k2,应加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.5(教材改编)已知an满足 an1anan1,nN*,且 a12,则 a2_,a3_,a4_,猜想an_.答案 3 4 5 n1题型一 用数学归纳法证明等式例 1 设 f(n)1(nN*)求证:f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2,nN*)证明 当 n2 时,左边f(1)
5、1,右边2(11)1,左边右边,等式成立假设 nk(k2,kN*)时,结论成立,即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1,那么,当 nk1 时,f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)f(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1,当 nk1 时结论成立4 / 21由可知当 nN*时,f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2,nN*)思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值 n0 的取值并验证 nn0 时等式成立(2)由 nk 证明 nk1 时,弄清左边增加的项,且明确变形目标(3)掌握恒等变形常用的方法:因式分解;添拆项;
6、配方法用数学归纳法证明:(nN*)12 1 3证明 当 n1 时,左边,右边,左边右边,等式成立假设 nk(k1,kN*)时,等式成立即,当 nk1 时,左边k12 2k12k3k12 2k12k3kk12k32k12 22k12k3k12k25k2 22k12k3,右边k1k11 22k11,左边右边,等式成立即对所有 nN*,原式都成立5 / 21题型二 用数学归纳法证明不等式例 2 (2016烟台模拟)等比数列an的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 nN*,点(n,Sn)均在函数 ybxr(b0 且 b1,b,r 均为常数)的图象上(1)求 r 的值;(2)当 b2 时,记 bn2(l
7、og2an1)(nN*),证明:对任意的nN*,不等式成立(1)解 由题意,Snbnr,当 n2 时,Sn1bn1r.所以 anSnSn1bn1(b1)由于 b0 且 b1,所以 n2 时,an是以 b 为公比的等比数列又 a1br,a2b(b1),所以b,即b,解得 r1.(2)证明 由(1)及 b2 知 an2n1.因此 bn2n(nN*),所证不等式为.当 n1 时,左式,右式,左式右式,所以结论成立假设 nk(k1,kN*)时结论成立,即,则当 nk1 时,21 2要证当 nk1 时结论成立,只需证,6 / 21即证,由基本不等式得成立,故成立,所以当 nk1 时,结论成立由可知,当
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