高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算教师用书理.doc
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1、- 1 -第一节第一节 平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解向量的实际背景;2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。2015,全国卷,7,5 分(平面向量的线性运算)2015,全国卷,13,5 分(平面向量的线性运算)2014,北京卷,10,5 分(平面向量的线性运算)2014,浙江卷,8,5 分(平面向量的概念)高考对本讲内容的考查以向量的线性运
2、算为主;以向量的概念和线性运算知识为载体,与三角函数等知识综合考查的可能性较大,复习时应予以关注。试题多为客观题,难度不大,分值约为 5 分。微知识 小题练自|主|排|查1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量,其方向是任意的记作 0单位向量长度等于 1 个单位的向量非零向量a a的单位向量为a a |a a|平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量,又叫做共线向量0 与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量
3、0 的相反向量为 02向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律- 2 -加法求两个向量和运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a ab bb ba a。(2)结合律:(a ab b)c ca a(b bc c)。减法求a a与b b的相反向量b b的和的运算叫做a a与b b的差三角形法则a ab ba a(b b)数乘求实数与向量a a的积的运算(1)|a a|a a|;(2)当0 时,a a的方向与a a的方向相同;当0 时,a a的方向与a a的方向相反;当0 时,a a0(a a)()a a;()a aa aa a;(a ab b)a ab b3.共线向量定理向量a a(
4、a a0)与b b共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得b ba a。微点提醒 1三个常用的结论:(1)零向量与任何向量共线。(2)平行向量与起点无关。(3)若存在非零实数,使得或或,则A,B,C三点共线。ABACABBCACBC2三个注意点:(1)向量共线与线段共线不同,前者可以不在同一直线上,而后者必须在同一直线上。同样,两个平行向量与两条平行直线也是不同的,因为两个平行向量可以移到同一直线上。(2)作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点。(3)在向量共线的充要条件中易忽视“a a0” ,否则可能不存在,也可能有无数个。小|题|快|练- 3 -一 、走进教材1(必修 4P7
5、8A 组 T5改编)已知三角形ABC,用与表示BC边上的中线向量,则ABACAD_。AD【解析】 ADABBDAB1 2BC ()。AB1 2ACAB1 2AB1 2AC【答案】 1 2AB1 2AC2(必修 4P92A 组 T11改编)在四边形ABCD中,a a2b b,4a ab b,5a a3b b,其中a a,b b不共线,则四边形ABCD为( )ABBCCDA平行四边形 B矩形C梯形 D菱形【解析】 因为8a a2b b2,所以,且|,所以ADABBCCDBCADBCADBC四边形ABCD为梯形。故选 C。【答案】 C二、双基查验1若向量a a与b b不相等,则a a与b b一定(
6、)A有不相等的模B不共线C不可能都是零向量D不可能都是单位向量【解析】 因为所有的零向量都是相等的向量,故选 C。【答案】 C2若m mn n,n nk k,则向量m m与向量k k( )A共线 B不共线C共线且同向 D不一定共线【解析】 若m m0,0k k,则k k与m m不一定共线,故选 D。【答案】 D3若向量a a,b b满足|a a|3,|b b|8,则|a ab b|的最小值为( )A11 B2C4 D5【解析】 当a a与b b共线且反向时,|a ab b|的最小值为 5。故选 D。- 4 -【答案】 D4已知a a,b b是非零向量,若|a ab b|a ab b|,则以a
7、a,b b为邻边构成的四边形的形状为_。【解析】 如图,在以a a与b b为邻边的四边形中,|a ab b|与|a ab b|分别为四边形的两条对角线,故由对角线长相等的平行四边形是矩形可知,以a a,b b为邻边的四边形是矩形。【答案】 矩形5已知a a与b b是两个不共线向量,且向量a ab b与(b b3a a)共线,则_。【解析】 由已知得a ab bk(b b3a a),Error!解得Error!【答案】 1 3微考点 大课堂考点一 平面向量的有关概念【典例 1】 给出下列四个命题:若|a a|b b|,则a ab b或a ab b;若,则四边形ABCD为平行四边形;ABDC若a
8、a与b b同向,且|a a|b b|,则a ab b;,为实数,若a ab b,则a a与b b共线。其中假命题的个数为( )A1 B2 C3 D4【解析】 不正确。|a a|b b|但a a,b b的方向不确定,故a a,b b不一定相等;不正确。因为,A,B,C,D可能在同一直线上,所以ABCD不一定是四边形;不正确。两向ABDC量不能比较大小;不正确。当0 时,a a与b b可以为任意向量,满足a ab b,但a a与b b不一定共线。故选 D。【答案】 D反思归纳 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键。(2)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性。(3)共线向量即平
9、行向量,它们均与起点无关。- 5 -(4)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量。解题时,不要把它与函数图象平移混为一谈。(5)非零向量a a与的关系:是a a方向上的单位向量。a a |a a|a a |a a|【变式训练】 下列命题中正确的是( )Aa a与b b共线,b b与c c共线,则a a与c c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量a a与b b不共线,则a a与b b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行【解析】 由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,
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