2019九年级数学上册 专题突破讲练 圆中辅助线添加技巧试题 (新版)青岛版.doc
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1、1圆中辅助线添加技巧圆中辅助线添加技巧1.1. 辅助线方法:辅助线方法:连半径、作垂直、构造直角三角形。说明:说明:此方法多用于求半径或弦长,利用勾股定理求长度。 方法依据:方法依据:(垂径定理) 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 2.2. 辅助线方法:辅助线方法:连中点说明:说明:在圆中如果出现弦的中点或弧的中点,连接圆心和中点的线段。 方法依据:方法依据:(垂径定理推论) 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 3 3. . 与切线有关的辅助线作法:与切线有关的辅助线作法: (1)点已知,连半
2、径,证垂直 说明:说明:当直线和圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径,然后 证明直线垂直于这条半径。 (2)点未知,作垂直,证半径 说明:说明:当直线和圆的公共点没有明确时,过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距 离(d)等于半径(r)。 (3)见切线,连半径,得垂直 说明:说明:有圆的切线时,常常连接圆心和切点得切线垂直半径。 方法依据:方法依据:切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。例题例题 1 1 O的弦AB、CD相交于点P,且AC=BD。求证:PO平分APD。 解析:解析:由等弦AC=BD可得出弧AC等于弧BD,进一步得出弧AB等于弧CD,从而可证等2弦AB=
3、CD,由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦,因此可作辅助线 OEAB,OFCD,易证OPEOPF,得出PO平分APD。 答案:答案:证明:作OEAB于E,OFCD于FAC=BD AAACBDAAABCDAB=CDOEOF OEPOFP OPOP OPE=OPF PO平分APD. 点拨:点拨:在解决与弦、弧有关的问题时,常常需要作出弦心距、半径等辅助线,以便应 用于垂径定理和勾股定理解决问题。例题例题 2 2(鞍山一模)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以AC为直径作圆O,与BC 交于点E,过点E作EDAB,垂足为点D。 求证:DE为O的切线。解析:解析:连接OE,根据等边
4、对等角,由AB=AC得到B=C,再由半径OC与OE相等得到 C=CEO,利用等量代换得到B=CEO,由同位角相等两直线平行,得到AB与EO平行, 再根据两直线平行内错角相等,由角BDE为直角得到角DEO为直角,又OE为圆O的半径, 根据切线的判断方法得到DE为O的切线。 答案:答案:证明:连接OE,AB=AC,B=C3OC=OE,C=CEO, B=CEO,ABEO, DEAB,EODE, EO是圆O的半径, D为O的切线。 点拨:点拨:证明切线的方法有两种:有连接圆心与这点,证明夹角为直角;无点作垂线, 证明垂线段长等于半径。此题属于前一种情况。【思路点拨思路点拨】 几何证明中添加辅助线,其作
5、用主要在于沟通“条件”和“结论” 。具体来说,就是把 分散的条件集中。使隐蔽的条件显露。将复杂的问题化简,为推证创造条件,促成问题的 最终解决。 圆中的辅助线的画法比较多,具体的题应该选用怎样的辅助线,关键还是要充分地顺 推已知和逆推求证,配合恰当的辅助线找到已知和求证的衔接点。 例题例题 (合山市模拟)如图,大半圆O与小半圆O1相切于点C,大半圆的弦AB与小半 圆相切于点F,且ABCD,AB=6cm,CD=12cm,则图中阴影部分的面积是( )cm2A. B. C. D. 39 3299 3239 329 2解析:解析:将O1移动到O1与O重合,则F和F重合,连接OB,得出阴影部分的面积是:
6、S=(OB2OF2)(S扇形AOBS三角形AOB) ,求出OFAB,由垂径定理求出1 2 AF=BF=3cm,代入即可得出答案。 答案:答案: 解:将O1移动到O1与O重合,则F和F重合,连接OB,AO, ABCD,AB=6cm,CD=12cm,AB切O1于F, O1FAB, OFAB, 由垂径定理得:AF=BF=3cm,在RtBOF中,BF=3cm,BO=CD=6cm,1 2即BF=OB,1 2BOF=30,由勾股定理得:OF= cm,3 3同理AOF=30, AOB=60,阴影部分的面积是S=(OB2OF2)(S扇形AOBSAOB)1 24=(OB2OF2) +61 22606 3601
7、23 3=BF26+91 23=96+9 1 23=(9)cm2。33 2 故选A。点拨:点拨:本题考查了勾股定理,垂径定理,切线性质等知识点,解此题关键是得出阴影部分的面积S=(OB2OF2)(S扇形AOBS三角形AOB)=BF2(S扇形1 21 2AOBS三角形AOB) ,题目的综合性较强。(答题时间:(答题时间:3030 分钟)分钟) 一、选择题一、选择题 1. (毕节地区)如图,已知O的半径为 13,弦AB长为 24,则点O到AB的距离是( )A. 6 B. 5C. 4 D. 3 2. (娄底)如图,O1、O2相交于A、B两点,两圆半径分别为 6cm和 8cm,两圆的 连心线O1O2的
8、长为 10cm,则弦AB的长为( )A. 4.8cm B. 9.6cmC. 5.6cm D. 9.4cm 3. (内江)如图,半圆O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,AD平分BAC,则AD的长为( )5A. cm B. cmC. cmD. 4cm4 53 55 5*4. 如图,在RtABC中,ACB=90,O为ABC的外接圆,AC=6cm,BC=8cm,P 为BC的中点。动点Q从点P出发,沿射线PC方向以 2cm/s的速度运动,以P为圆心,PQ 长为半径作圆。设点Q运动的时间为t s。若P与O相切,则t的值是( )A. t=1 B. t=3C. t=2 或t=3D. t=1 或t=4 *5
9、.(日照三模)如图,AB是半圆的直径,点C是弧AB的中点,点E是弧AC的中点,连接EB,CA交于点F,则= =( )EF BFA. B. C. D. 1 31 421221 2二、填空题二、填空题 6. (南京)如图,在O中,CD是直径,弦ABCD,垂足为E,连接BC,若AB=2cm,BCD=2230,则O的半径为 cm。27. (自贡)一个边长为 4cm的等边三角形ABC与O等高,如图放置,O与BC相切于 点C,O与AC相交于点E,则CE的长为 cm。6*8. (高淳县一模)如图,半径为 2 的两个等圆O1与O2外切于点P,过O1作O2的 两条切线,切点分别为A、B,与O1分别交于C、D,则
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