2019高考数学一轮复习 突破140必备 专题01 函数的切线问题学案.doc
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1、1专题专题 0101 函数的切线问题函数的切线问题由导数的几何意义可知函数)(xfy 在0xx 处的导数即是函数在)(,(00xfx处的切线的斜率。故函数)(xfy 在)(,(00xfx处的切线方程是)( )(000xxxfxfy,)(,(00xfx是切点坐标,既在函数)(xfy 上也在切线方程)( )(000xxxfxfy上;与切线有关的考题一般分为以下三类:过)(xfy 上的点)(,(00xfx的切线方程为)( )(000xxxfxfy过)(xfy 外一点),(nm向其作切线,先设切点为)(,(00xfx,写出切线方程)( )(000xxxfxfy,又),(nm在切线上,代入得)( )(0
2、00xmxfxfn函数)(xfy 与)(xgy 的公切线。若切点是同一点,这按照的解题方法。若切点不同,先假设)(xfy 上的切点)(,(11xfxA,得到切线方程)( )(111xxxfxfy;)(xgy 上的切点)(,(22xgxB,得到切线方程)( )(222xxxgxgy,因为切线是同一条直线,故得到两个等式)( )( 21xgxf、)( )()( )(222111xgxxgxfxxf下面通过具体与切线有关的例题来看看实际应用。例例 1 1、 (20152015 江苏高考江苏高考 1717)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区
3、边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为21,ll2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,NM,为C的两个端点,测得点M到21,ll的距离分别为5千米和40千米,点N到21,ll的距离分别为20千米和5 . 2千米,以21,ll所在的直线分别为XY,轴,建立平面直角坐标系xoy,假设曲线C符合函数bxay2(其中ba,为常数)模型(1)求ba,的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t请写出公路l长度的函数解析式)(tf,并写出其定义域;当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度2解:解:(1)由题意可得:)40, 5(M,)5 . 2 ,20(N代入函数bxay25
4、 . 24004025baba解得 01000 ba答:当210t时,公路l的长度最短,最短长度为315千米。 例例 2 2、 (20152015 无锡高三期末无锡高三期末 2020)设函数( )22ln+f xxxaxb=-在点00(,()xf x处的切线方程为yxb .3(1)求实数a及0x的值;解:解:(1) 2 ln2fxxxxax 所以在点 0,0x f x处的切线方程为22 0000lnyxxxxaxb 其中22 0000lnxxxaxbb,00002ln21xxxax 解得01,1xa 例例 3 3、 (20182018 高三上百校联考高三上百校联考 2121)已知函数baxxx
5、xf23 25)((ba、为常数) ,其图像是曲线C(3)已知A为曲线C上的动点,在点A处作曲线C的切线1l与曲线C交于另一点B,在点B处作曲线C的切线2l,设切线21,ll的斜率分别为21,kk.问:是否存在常数,使得12kk?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.例例 4 4、 (20182018 苏锡常镇高三二模苏锡常镇高三二模 1919)已知函数),( , 1)(23Rbabxaxxxf(2)函数)(xf图象上点A处的切线1l与( )f x的图象相交于另一点B,在点B处的切线为2l,直线21,ll的斜率分别为12kk,且124kk ,求ba、满足的关系式4解:解:设)(,(00xfxA
6、,则)(xf在点A的切线方程为:)( )(000xxxfxfy即)(23() 1(002 002 03 0xxbaxxbxaxxy与1)(23bxaxxxf联立方程组得:)(23() 1() 1(002 002 03 023xxbaxxbxaxxbxaxx分组因式分解化简:0)2()(02 0axxxx所以B点的横坐标)2(0Baxxbaxxk02 0123,baaxxbaxaaxk2 02 002 02812)2(2)2(3由题意)23(481202 02 02 0baxxbaaxx即ba32例例 5 5、 (20182018 苏北四市高三上期末苏北四市高三上期末 1919)已知函数1)(2
7、axxxf,)( ,ln)(Raaxxg若存在与函数)(xf,)(xg的图象都相切的直线,求实数a的取值范围解:解:(2)设函数)(xf上点11( ,()xf x与函数)(xg上点22(, ()x g x处切线相同,axxf112)( ,)(xf的切线方程:)(2() 1(1112 1xxaxaxxy221)( xxg,)(xg的切线方程:)(1)(ln2 22xxxaxy所以2112xax ;1ln122 1axx 由解得22121a xx代入中得:222 221ln20(*)424aaxaxx设221( )ln2424aaF xxaxx,则23231121( )222axaxF xxxxx
8、 不妨设2 000210(0)xaxx 则当00xx时,( )0F x,当0xx时,( )0F x所以( )F x在区间0(0,)x上单调递减,在区间0(,)x 上单调递增5代入2 0 0 00121=2xaxxx可得:2 min0000 01( )()2ln2F xF xxxxx设21( )2ln2G xxxxx,则211( )220G xxxx对0x 恒成立,所以( )G x在区间(0,)上单调递增,又(1)=0G所以当01x时( )0G x ,即当001x时0()0F x 又当2axe时2 2 2421( )ln2424a aaaaF xeaee 2 211()04aae 因此当001x
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