2014年湖南省高考数学试卷(理科).doc
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1、第 1 页(共 28 页)2014 年湖南省高考数学试卷(理科)年湖南省高考数学试卷(理科)一、选择题(共一、选择题(共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 50 分)分)1 (5 分)满足=i(i 为虚数单位)的复数 z=( )A+iBiC+iDi2 (5 分)对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 P1,P2,P3,则( )AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P33 (5 分)已知 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且
2、f(x)g(x)=x3+x2+1,则 f(1)+g(1)=( )A3B1C1D34 (5 分) (x2y)5的展开式中 x2y3的系数是( )A20 B5C5D205 (5 分)已知命题 p:若 xy,则xy;命题 q:若 xy,则 x2y2,在命题pq;pq;p(q) ;(p)q 中,真命题是( )ABCD6 (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t2,2,则输出的 S 属于( )第 2 页(共 28 页)A6,2 B5,1 C4,5 D3,67 (5 分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A1B2C3D48 (5 分
3、)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p,第二年的增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )ABCpqD19 (5 分)已知函数 f(x)=sin(x) ,且f(x)dx=0,则函数 f(x)的图象的一条对称轴是( )Ax=Bx=Cx=Dx=10 (5 分)若函数 f(x)=x2+ex(x0)与 g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在第 3 页(共 28 页)关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是( )A () B ()C ()D ()二、填空题(共二、填空题(共 3 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 10 分)分) (一)选做题(请考生在第(一)
4、选做题(请考生在第11,12,13 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)11 (5 分)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线 l 与曲线C:, ( 为参数)交于 A,B 两点,且|AB|=2,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 l 的极坐标方程是 12 (5 分)如图所示,已知 AB,BC 是O 的两条弦,AOBC,AB=,BC=2,则O 的半径等于 13若关于 x 的不等式|ax2|3 的解集为x|x,则 a= (二)必做题(二)必做题(14-16 题)题)14 (5 分)若变量 x,y 满足约束条件,且 z=
5、2x+y 的最小值为6,则 k= 15 (5 分)如图所示,正方形 ABCD 与正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(ab) ,原点 O 为 AD 的中点,抛物线 y2=2px(p0)经过 C,F 两点,则= 第 4 页(共 28 页)16 (5 分)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(1,0) ,B(0,) ,C(3,0) ,动点 D 满足|=1,则|+|的最大值是 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 75 分分17 (12 分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和现安排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B,设甲、乙两组的研发相互独立(
6、)求至少有一种新产品研发成功的概率;()若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业可获利润 100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望18 (12 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=()求 cosCAD 的值;()若 cosBAD=,sinCBA=,求 BC 的长19 (12 分)如图,四棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等,ACBD=O,A1C1B1D1=O1,四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形()证明:O1O底面 ABCD;第 5 页(共 28 页)()若CBA=60,求二面角 C1
7、OB1D 的余弦值20 (13 分)已知数列an满足 a1=1,|an+1an|=pn,nN*()若an是递增数列,且 a1,2a2,3a3成等差数列,求 p 的值;()若 p=,且a2n1是递增数列,a2n是递减数列,求数列an的通项公式21 (13 分)如图,O 为坐标原点,椭圆 C1:+=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2:=1 的左、右焦点分别为F3,F4,离心率为 e2,已知 e1e2=,且|F2F4|=1()求 C1、C2的方程;()过 F1作 C1的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点,当直线 OM 与 C2交于 P,Q 两点时,
8、求四边形 APBQ 面积的最小值22 (13 分)已知常数 a0,函数 f(x)=ln(1+ax)()讨论 f(x)在区间(0,+)上的单调性;()若 f(x)存在两个极值点 x1,x2,且 f(x1)+f(x2)0,求 a 的取值范第 6 页(共 28 页)围第 7 页(共 28 页)2014 年湖南省高考数学试卷(理科)年湖南省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题(共一、选择题(共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 50 分)分)1 (5 分)满足=i(i 为虚数单位)的复数 z=( )A+iBiC+iDi【分析】根据复数的基本运算即可得到
9、结论【解答】解:=i,z+i=zi,即 z=i,故选:B【点评】本题主要考查复数的计算,比较基础2 (5 分)对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 P1,P2,P3,则( )AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P3【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论【解答】解:根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知,无论哪种抽样,每个个体被抽中的概率都是相等的,即 P1=P2=P3故选:D【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质
10、,比较基础3 (5 分)已知 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)g(x)=x3+x2+1,则 f(1)+g(1)=( )第 8 页(共 28 页)A3B1C1D3【分析】将原代数式中的 x 替换成x,再结合着 f(x)和 g(x)的奇偶性可得f(x)+g(x) ,再令 x=1 即可【解答】解:由 f(x)g(x)=x3+x2+1,将所有 x 替换成x,得f(x)g(x)=x3+x2+1,根据 f(x)=f(x) ,g(x)=g(x) ,得f(x)+g(x)=x3+x2+1,再令 x=1,计算得,f(1)+g(1)=1故选:C【点评】本题属于容易题,是对函数奇
11、偶性的考查,在高考中,函数奇偶性的考查一般相对比较基础,学生在掌握好基础知识的前提下,做题应该没有什么障碍本题中也可以将原代数式中的 x 直接令其等于1 也可以得到计算结果4 (5 分) (x2y)5的展开式中 x2y3的系数是( )A20 B5C5D20【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式,求解所求项的系数即可【解答】解:由二项式定理可知:Tr+1=,要求解(x2y)5的展开式中 x2y3的系数,所以 r=3,所求系数为:=20故选:A【点评】本题考查二项式定理的通项公式的应用,基本知识的考查5 (5 分)已知命题 p:若 xy,则xy;命题 q:若 xy,则 x2y2,在命题pq;pq
12、;p(q) ;(p)q 中,真命题是( )第 9 页(共 28 页)ABCD【分析】根据不等式的性质分别判定命题 p,q 的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结论【解答】解:根据不等式的性质可知,若若 xy,则xy 成立,即 p 为真命题,当 x=1,y=1 时,满足 xy,但 x2y2不成立,即命题 q 为假命题,则pq 为假命题;pq 为真命题;p(q)为真命题;(p)q 为假命题,故选:C【点评】本题主要考查复合命题之间的关系,根据不等式的性质分别判定命题p,q 的真假是解决本题的关键,比较基础6 (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t2,2,则输出的 S 属于( )A6,2
13、 B5,1 C4,5 D3,6【分析】根据程序框图,结合条件,利用函数的性质即可得到结论【解答】解:若 0t2,则不满足条件输出 S=t33,1,第 10 页(共 28 页)若2t0,则满足条件,此时 t=2t2+1(1,9,此时不满足条件,输出S=t3(2,6,综上:S=t33,6,故选:D【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,利用函数的取值范围是解决本题的关键,比较基础7 (5 分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A1B2C3D4【分析】由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r【解答
14、】解:由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r,则8r+6r=,r=2故选:B第 11 页(共 28 页)【点评】本题考查三视图,考查几何体的内切圆,考查学生的计算能力,属于基础题8 (5 分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p,第二年的增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )ABCpqD1【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为 x,可得(1+p) (1+q)=(1+x)2,解出即可【解答】解:设该市这两年生产总值的年平均增长率为 x,则(1+p) (1+q)=(1+x)2,解得 x=1,故选:D【点评】本题考查了指数的
15、运算性质、乘法公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题9 (5 分)已知函数 f(x)=sin(x) ,且f(x)dx=0,则函数 f(x)的图象的一条对称轴是( )Ax=Bx=Cx=Dx=【分析】由f(x)dx=0 求得cos(+)=0,故有 +=k+,kz可取 =,则 f(x)=sin(x) 令 x=k+,求得 x 的值,可得函数 f(x)的图象的一条对称轴方程【解答】解:函数 f(x)=sin(x) ,f(x)dx=cos(x)=cos()cos()=cossin=cos(+)=0,第 12 页(共 28 页)+=k+,kz,即 =k+,kz,故可取 =,f(x)=sin(x) 令 x
16、=k+,求得 x=k+,kZ,则函数 f(x)的图象的一条对称轴为 x=,故选:A【点评】本题主要考查定积分,函数 y=Asin(x+)的图象的对称性,两角和差的三角公式的应用,属于中档题10 (5 分)若函数 f(x)=x2+ex(x0)与 g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是( )A () B ()C ()D ()【分析】由题意可得 ex0ln(x0+a)=0 有负根,函数 h(x)=exln(x+a)为增函数,由此能求出 a 的取值范围【解答】解:由题意可得:存在 x0(,0) ,满足 x02+ex0=(x0)2+ln(x0+a) ,即 ex
17、0ln(x0+a)=0 有负根,当 x 趋近于负无穷大时,ex0ln(x0+a)也趋近于负无穷大,且函数 h(x)=exln(x+a)为增函数,h(0)=e0lna0,lnaln,a,a 的取值范围是(,) ,故选:A【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质,函数的零点,函数单调性的第 13 页(共 28 页)性质,函数的极限,是函数图象和性质较为综合的应用二、填空题(共二、填空题(共 3 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 10 分)分) (一)选做题(请考生在第(一)选做题(请考生在第11,12,13 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)三题中任选两题作答,如果全做
18、,则按前两题记分)11 (5 分)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线 l 与曲线C:, ( 为参数)交于 A,B 两点,且|AB|=2,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 l 的极坐标方程是 (cossin)=1 【分析】由题意可得直线 l 的方程为 y=x+b,曲线方程化为直角坐标,表示一个圆,由于弦长正好等于直径,可得圆心(2,1)在直线 l 上,由此求得 b 的值,可得直线的方程【解答】解:设倾斜角为的直线 l 的方程为 y=x+b,曲线 C:( 为参数) ,即 (x2)2+(y1)2=1,表示以(2,1)为圆心、半径等于 1 的圆由于弦长|AB|=2,正好等
19、于直径,故圆心(2,1)在直线 l 上,故有 1=2+b,解得 b=1,故直线 l 的方程为 y=x1,即 xy1=0再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得 cossin1=0,即 (cossin)=1故答案为:(cossin)=1【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程,直线和圆的位置关系,属于基础题12 (5 分)如图所示,已知 AB,BC 是O 的两条弦,AOBC,AB=,BC=2,则O 的半径等于 1.5 第 14 页(共 28 页)【分析】设垂足为 D,O 的半径等于 R,先计算 AD,再计算 R 即可【解答】解:设垂足为 D,O 的半径等于 R,则AB,BC 是O 的两条弦,A
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