2013年广东省高考数学试卷(文科).doc
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1、第 1 页(共 23 页)2013 年广东省高考数学试卷(文科)年广东省高考数学试卷(文科)一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 50 分,在每小题给出的四分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)设集合 S=x|x2+2x=0,xR,T=x|x22x=0,xR,则 ST=( )A0 B0,2 C2,0 D2,0,22 (5 分)函数 f(x)=的定义域为( )A (1,+) B1,+) C (1,1)(1,+)D1,1)(1,+)3 (5 分)若 i(x+yi)=3+4i,x
2、,yR,则复数 x+yi 的模是( )A2B3C4D54 (5 分)已知 sin(+)=,cos=( )ABCD5 (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是( )A1B2C4D7第 2 页(共 23 页)6 (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )ABCD17 (5 分)垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=1 相切于第一象限的直线方程是( )ABx+y+1=0 Cx+y1=0 D8 (5 分)设 l 为直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A若 l,l,则 B若 l,l,则 C若 l,l,则 D若 ,l,则 l9 (5
3、 分)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0) ,离心率等于,则C 的方程是( )ABCD10 (5 分)设 是已知的平面向量且,关于向量 的分解,有如下四个命题:给定向量 ,总存在向量 ,使;给定向量 和 ,总存在实数 和 ,使;给定单位向量 和正数 ,总存在单位向量 和实数 ,使;给定正数 和 ,总存在单位向量 和单位向量 ,使;上述命题中的向量 , 和 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )第 3 页(共 23 页)A1B2C3D4二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 3 小题每小题小题每小题 5 分,满分分,满分 15 分分 (一)必做题(一)必做题(1113
4、题)题)11 (5 分)设数列an是首项为 1,公比为2 的等比数列,则 a1+|a2|+a3+|a4|= 12 (5 分)若曲线 y=ax2lnx 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a= 13 (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件,则 z=x+y 的最大值是 选做题(选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)题,考生只能从中选做一题)14 (5 分) (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程为 =2cos以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为 15 (几何证明选讲选做题)如图,在矩形 ABCD 中,BC=3,BEAC,垂足为
5、E,则 ED= 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 小题,满分小题,满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤演算步骤16 (12 分)已知函数(1)求的值;(2)若,求第 4 页(共 23 页)17 (13 分)从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:分组(重量)80,85)85,90)90,95)95,100)频数(个)5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在90,95)的频率;(2)用分层抽样的方法从重量在80,85)和95,100)的苹果中共抽取 4 个,其中重量在80,85)的有几个?(3)在
6、(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在80,85)和95,100)中各有 1 个的概率18 (13 分)如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC边上的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将ABF 沿 AF 折起,得到如图 2 所示的三棱锥 ABCF,其中 BC=(1)证明:DE平面 BCF;(2)证明:CF平面 ABF;(3)当 AD=时,求三棱锥 FDEG 的体积 VFDEG19 (14 分)设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn,满足4Sn=an+124n1,nN*,且 a2,a5,a14构成等比数列(
7、1)证明:a2=;(2)求数列an的通项公式;第 5 页(共 23 页)(3)证明:对一切正整数 n,有20 (14 分)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c) (c0)到直线l:xy2=0 的距离为,设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线PA,PB,其中 A,B 为切点(1)求抛物线 C 的方程;(2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程;(3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|BF|的最小值21 (14 分)设函数 f(x)=x3kx2+x(kR) (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间;(2)当 k0 时
8、,求函数 f(x)在k,k上的最小值 m 和最大值 M第 6 页(共 23 页)2013 年广东省高考数学试卷(文科)年广东省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 50 分,在每小题给出的四分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)设集合 S=x|x2+2x=0,xR,T=x|x22x=0,xR,则 ST=( )A0 B0,2 C2,0 D2,0,2【分析】根据题意,分析可得,S、T 分别表示二次方程的解集,化简 S、T,
9、进而求其交集可得答案【解答】解:分析可得,S 为方程 x2+2x=0 的解集,则 S=x|x2+2x=0=0,2,T 为方程 x22x=0 的解集,则 T=x|x22x=0=0,2,故集合 ST=0,故选:A【点评】本题考查集合的交集运算,首先分析集合的元素,可得集合的意义,再求集合的交集2 (5 分)函数 f(x)=的定义域为( )A (1,+) B1,+) C (1,1)(1,+)D1,1)(1,+)【分析】依题意可知要使函数有意义需要 x+10 且 x10,进而可求得 x 的范围【解答】解:要使函数有意义需,解得 x1 且 x1函数的定义域是(1,1)(1,+) 第 7 页(共 23 页
10、)故选:C【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法,熟练解不等式组是基础,属于基础题3 (5 分)若 i(x+yi)=3+4i,x,yR,则复数 x+yi 的模是( )A2B3C4D5【分析】利用复数的运算法则把 i(x+yi)可化为 3+4i,利用复数相等即可得出x=4,y=3再利用模的计算公式可得|x+yi|=|43i|=5【解答】解:i(x+yi)=xiy=3+4i,x,yR,x=4,y=3,即 x=4,y=3|x+yi|=|43i|=5故选:D【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键4 (5 分)已知 sin(+)=,cos=( )ABCD【分析】已知等式中的角变形
11、后,利用诱导公式化简,即可求出 cos 的值【解答】解:sin(+)=sin(2+)=sin(+)=cos=故选:C【点评】此题考查了诱导公式的作用,熟练掌握诱导公式是解本题的关键5 (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是( )第 8 页(共 23 页)A1B2C4D7【分析】由已知中的程序框图及已知中输入 3,可得:进入循环的条件为i3,即 i=1,2,3模拟程序的运行结果,即可得到输出的 S 值【解答】解:当 i=1 时,S=1+11=1;当 i=2 时,S=1+21=2;当 i=3 时,S=2+31=4;当 i=4 时,退出循环,输出 S=4;故选:
12、C【点评】本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理6 (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )第 9 页(共 23 页)ABCD1【分析】由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,其中 PA底面ABC,PA=2,ABBC,AB=BC=1据此即可得到体积【解答】解:由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,其中 PA底面ABC,PA=2,ABBC,AB=BC=1因此 V=故选:B【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键7 (5 分)垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=1 相切于第一象限的
13、直线方程是( )ABx+y+1=0 Cx+y1=0 D【分析】设所求的直线为 l,根据直线 l 垂直于 y=x+1,设 l 方程为 y=x+b,即x+y+b=0根据直线 l 与圆 x2+y2=1 相切,得圆心 0 到直线 l 的距离等于 1,由点第 10 页(共 23 页)到直线的距离公式建立关于 b 的方程,解之可得 b=,最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程【解答】解:设所求的直线为 l,直线 l 垂直于直线 y=x+1,可得直线 l 的斜率为 k=1设直线 l 方程为 y=x+b,即 x+yb=0直线 l 与圆 x2+y2=1 相切,圆心到直线的距离 d=,解之得 b=当 b
14、=时,可得切点坐标(,) ,切点在第三象限;当 b=时,可得切点坐标(,) ,切点在第一象限;直线 l 与圆 x2+y2=1 的切点在第一象限,b=不符合题意,可得 b=,直线方程为 x+y=0故选:A【点评】本题给出直线 l 垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限,求直线 l的方程着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识,属于基础题8 (5 分)设 l 为直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A若 l,l,则 B若 l,l,则 C若 l,l,则 D若 ,l,则 l【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法,可判断 A;根据面面平行的判定方法及线面
15、垂直的几何特征,可判断 B;根据线面平行的性质定理,线面垂直及面面垂直的判定定理,可判断 C;根据面面垂直及线面平行的几何特征,可判断 D【解答】解:若 l,l,则平面 , 可能相交,此时交线与 l 平行,故 A错误;若 l,l,根据垂直于同一直线的两个平面平行,可得 B 正确;第 11 页(共 23 页)若 l,l,则存在直线 m,使 lm,则 m,故此时 ,故 C 错误;若 ,l,则 l 与 可能相交,可能平行,也可能线在面内,故 D 错误;故选:B【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系,熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法
16、是解答的关键9 (5 分)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0) ,离心率等于,则C 的方程是( )ABCD【分析】由已知可知椭圆的焦点在 x 轴上,由焦点坐标得到 c,再由离心率求出a,由 b2=a2c2求出 b2,则椭圆的方程可求【解答】解:由题意设椭圆的方程为因为椭圆 C 的右焦点为 F(1,0) ,所以 c=1,又离心率等于,即,所以 a=2,则 b2=a2c2=3所以椭圆的方程为故选:D【点评】本题考查了椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单性质,属中档题10 (5 分)设 是已知的平面向量且,关于向量 的分解,有如下四个命题:给定向量 ,总存在向量 ,使;给定向量 和 ,总存
17、在实数 和 ,使;给定单位向量 和正数 ,总存在单位向量 和实数 ,使;第 12 页(共 23 页)给定正数 和 ,总存在单位向量 和单位向量 ,使;上述命题中的向量 , 和 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )A1B2C3D4【分析】选项由向量加减的几何意义可得;选项均可由平面向量基本定理判断其正确性;选项 和 为正数,这就使得向量 不一定能用两个单位向量的组合表示出来【解答】解:选项,给定向量 和 ,只需求得其向量差即为所求的向量,故总存在向量 ,使,故正确;选项,当向量 , 和 在同一平面内且两两不共线时,向量 , 可作基底,由平面向量基本定理可知结论成立,故可知正确;选项,
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