2013年天津市高考数学试卷(理科).doc
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1、第 1 页(共 24 页)2013 年天津市高考数学试卷(理科)年天津市高考数学试卷(理科)一选择题:一选择题:( (每题每题 5 分,共分,共 40 分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1 (5 分)已知集合 A=xR|x|2,B=xR|x1,则 AB=( )A (,2B1,2 C2,2 D2,12 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件,则目标函数 z=y2x 的最小值为( )A7B4C1D23 (5 分)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为 1,则输出S 的值为( )A64B73C512 D585
2、4 (5 分)已知下列三个命题:若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;第 2 页(共 24 页)直线 x+y+1=0 与圆相切其中真命题的序号是( )A BCD5 (5 分)已知双曲线=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点若双曲线的离心率为 2,AOB 的面积为,则 p=( )A1BC2D36 (5 分)在ABC 中,ABC=,AB=,BC=3,则 sinBAC=( )ABCD7 (5 分)函数 f(x)=2x|log0.5x|1 的零点个数为( )A1B2C3D48 (5
3、 分)已知函数 f(x)=x(1+a|x|) 设关于 x 的不等式 f(x+a)f(x)的解集为 A,若,则实数 a 的取值范围是( )ABCD二填空题:本大题共二填空题:本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分分.9 (5 分)已知 a,bR,i 是虚数单位若(a+i) (1+i)=bi,则 a+bi= 10 (5 分)的二项展开式中的常数项为 11 (5 分)已知圆的极坐标方程为 =4cos,圆心为 C,点 P 的极坐标为,则|CP|= 12 (5 分)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,BAD=60,E 为 CD 的中点若,则 AB 的长为 13 (5 分)如
4、图,ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BDAC过点第 3 页(共 24 页)A 做圆的切线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段 CF 的长为 14 (5 分)设 a+b=2,b0,则当 a= 时,取得最小值三解答题:本大题共三解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明,证明过程或演解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤算步骤.15 (13 分)已知函数 f(x)=sin(2x+)+6sinxcosx2cos2x+1,xR()求 f(x)的最小正周期;()求 f(x)在区间上的最大值和最小值16
5、(13 分)一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为1,2,3,4; 白色卡片 3 张,编号分别为 2,3,4从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同) ()求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率()在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期望17 (13 分)如图,四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,侧棱 A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1的中点()证明 B1C1CE;()求二面角 B1CEC1的正弦值()设点 M 在线段 C1E 上,且
6、直线 AM 与平面 ADD1A1所成角的正弦值为,求线段 AM 的长第 4 页(共 24 页)18 (13 分)设椭圆=1(ab0)的左焦点为 F,离心率为,过点F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为()求椭圆的方程;()设 A,B 分别为椭圆的左,右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于C,D 两点若=8,求 k 的值19 (14 分)已知首项为的等比数列an不是递减数列,其前 n 项和为Sn(nN*) ,且 S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列()求数列an的通项公式;()设 Tn=Sn(nN*) ,求数列Tn的最大项的值与最小项的值20 (14 分)已知函数 f(
7、x)=x2lnx()求函数 f(x)的单调区间;()证明:对任意的 t0,存在唯一的 s,使 t=f(s) ()设()中所确定的 s 关于 t 的函数为 s=g(t) ,证明:当 te2时,有第 5 页(共 24 页)2013 年天津市高考数学试卷(理科)年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题:一选择题:( (每题每题 5 分,共分,共 40 分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1 (5 分)已知集合 A=xR|x|2,B=xR|x1,则 AB=( )A (,2B1,2 C2,2 D2,
8、1【分析】先化简集合 A,解绝对值不等式可求出集合 A,然后根据交集的定义求出 AB 即可【解答】解:A=x|x|2=x|2x2AB=x|2x2x|x1,xR=x|2x1故选:D【点评】本题主要考查了绝对值不等式,以及交集及其运算,同时考查了运算求解的能力,属于基础题2 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件,则目标函数 z=y2x 的最小值为( )A7B4C1D2【分析】先根据条件画出可行域,设 z=y2x,再利用几何意义求最值,将最小值转化为 y 轴上的截距最小,只需求出直线 z=y2x,过可行域内的点 B(5,3)时的最小值,从而得到 z 最小值即可【解答】解:设变量 x、y 满足约束条
9、件 ,在坐标系中画出可行域三角形,平移直线 y2x=0 经过点 A(5,3)时,y2x 最小,最小值为:7,第 6 页(共 24 页)则目标函数 z=y2x 的最小值为7故选:A【点评】借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定3 (5 分)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为 1,则输出S 的值为( )A64B73C512 D585【分析】结合流程图写出前几次循环的结果,经过每一次循环判断是否满足判第 7 页(共 24 页)断框中的条件,直到满足条件输出 S,结束循环,得到所求【解答】解:经过第一次循
10、环得到 S=0+13,不满足 S50,x=2,执行第二次循环得到 S=13+23,不满足 S50,x=4,执行第三次循环得到 S=13+23+43=73,满足判断框的条件,退出循环,执行“是”,输出 S=73故选:B【点评】本题主要考查了循环结构,先执行后判定是直到型循环,解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环的结果,找规律4 (5 分)已知下列三个命题:若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;直线 x+y+1=0 与圆相切其中真命题的序号是( )A BCD【分析】对于由球的体积公式 V=可知正确;对于通过举反例,如第 8 页(
11、共 24 页)2,2,2 和 1,2,3;这两组数据的平均数相等,它们的标准差不相等,故错;对于利用圆的圆心到直线 x+y+1=0 的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可【解答】解:由球的体积公式 V=可知,若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;故正确;若两组数据的平均数相等,则它们的标准差不一定相等,如 2,2,2 和1,2,3;这两组数据的平均数相等,它们的标准差不相等,故错;圆的圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d=半径 r,故直线x+y+1=0 与圆相切,正确故选:C【点评】本题主要考查了命题的真假判断与应用,主要考查了球的体积公式、平均数和方差、直线与圆的位置关系等,属
12、于基础题5 (5 分)已知双曲线=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点若双曲线的离心率为 2,AOB 的面积为,则 p=( )A1BC2D3【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线 y2=2px(p0)的准线方程,进而求出 A,B 两点的坐标,再由双曲线的离心率为 2,AOB 的面积为,列出方程,由此方程求出 p 的值【解答】解:双曲线,双曲线的渐近线方程是 y=x又抛物线 y2=2px(p0)的准线方程是 x=,第 9 页(共 24 页)故 A,B 两点的纵坐标分别是 y=,双曲线的离心率为 2,所以,则,A,B 两点的纵坐标分别
13、是 y=,又,AOB 的面积为,x 轴是角 AOB 的角平分线,得 p=2故选:C【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征,解题的关键是求出双曲线的渐近线方程,解出 A,B 两点的坐标,列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键,有一定的运算量,做题时要严谨,防运算出错6 (5 分)在ABC 中,ABC=,AB=,BC=3,则 sinBAC=( )ABCD【分析】由 AB,BC 及 cosABC 的值,利用余弦定理求出 AC 的长,再由正弦定理即可求出 sinBAC 的值【解答】解:ABC=,AB=,BC=3,由余弦定理得:AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=2+96=5,AC=,则
14、由正弦定理=得:sinBAC=故选:C【点评】此题考查了正弦、余弦定理,熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键7 (5 分)函数 f(x)=2x|log0.5x|1 的零点个数为( )A1B2C3D4第 10 页(共 24 页)【分析】通过令 f(x)=0,将方程的解转化为函数图象的交点问题,从而判断函数的零点个数【解答】解:函数 f(x)=2x|log0.5x|1,令 f(x)=0,在同一坐标系中作出 y=()x与 y=|log0.5x|,如图,由图可得零点的个数为 2故选:B【点评】本题考查函数的零点,函数的图象的作法,考查数形结合与转化思想8 (5 分)已知函数 f(x)=x(1+a|x|
15、) 设关于 x 的不等式 f(x+a)f(x)的解集为 A,若,则实数 a 的取值范围是( )ABCD【分析】排除法:取 a=,由 f(x+a)f(x) ,得(x)|x|+1x|x|,分x0,0x,x讨论,可得 A,检验是否符合题意,可排除 B、D;取a=1,由 f(x+a)f(x) ,得(x+1)|x+1|+1x|x|,分x1,1x0,x0 进行讨论,检验是否符合题意,排除 C【解答】解:取 a=时,f(x)=x|x|+x,f(x+a)f(x) ,(x)|x|+1x|x|,(1)x0 时,解得x0;第 11 页(共 24 页)(2)0x时,解得 0;(3)x时,解得,综上知,a=时,A=(,
16、) ,符合题意,排除 B、D;取 a=1 时,f(x)=x|x|+x,f(x+a)f(x) ,(x+1)|x+1|+1x|x|,(1)x1 时,解得 x0,矛盾;(2)1x0,解得 x0,矛盾;(3)x0 时,解得 x1,矛盾;综上,a=1,A=,不合题意,排除 C,故选:A【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识,考查数形结合思想、分类讨论思想,考查学生分析解决问题的能力,注意排除法在解决选择题中的应用二填空题:本大题共二填空题:本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分分.9 (5 分)已知 a,bR,i 是虚数单位若(a+i) (1+i)=bi,
17、则 a+bi= 1+2i 【分析】利用复数的乘法展开等式的左边,通过复数的相等,求出 a,b 的值即可得到结果【解答】解:因为(a+i) (1+i)=bi,所以 a1+(a+1)i=bi,所以,解得 a=1,b=2,所以 a+bi=1+2i故答案为:1+2i【点评】本题考查复数代数形式的混合运算,复数相等条件的应用,考查计算能力第 12 页(共 24 页)10 (5 分)的二项展开式中的常数项为 15 【分析】利用二项展开式的通项公式 Tr+1=(1)r中 x 的幂指数为 0即可求得答案【解答】解;设的二项展开式中的通项为 Tr+1,则 Tr+1=(1)r,由 6r=0 得:r=4的二项展开式
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- 2013 天津市 高考 数学试卷 理科
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