2014年湖北省高考数学试卷(理科).doc
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1、第 1 页(共 28 页)2014 年湖北省高考数学试卷(理科)年湖北省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 50 分,在每小题给出的四个分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)i 为虚数单位, ()2=( )A1B1CiDi2 (5 分)若二项式(2x+)7的展开式中的系数是 84,则实数 a=( )A2BC1D3 (5 分)设 U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C 使得 AC,BUC”是“AB=”的( )A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要
2、条件D既不充分也不必要条件4 (5 分)根据如下样本数据,得到回归方程 =bx+a,则( )x3 45678y4.02.50.50.52.03.0Aa0,b0 Ba0,b0 Ca0,b0 Da0,b05 (5 分)在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出的编号为,的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )第 2 页(共 28 页)A和 B和 C和 D和6 (5 分)若函数 f(x) ,g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则 f(x) ,g(x)为区间1,1上的一组正交函数,给出
3、三组函数:f(x)=sinx,g(x)=cosx;f(x)=x+1,g(x)=x1;f(x)=x,g(x)=x2,其中为区间1,1上的正交函数的组数是( )A0B1C2D37 (5 分)由不等式组确定的平面区域记为 1,不等式组确定的平面区域记为 2,在 1中随机取一点,则该点恰好在 2内的概率为( )ABCD8 (5 分) 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 VL2h,它实际上是将圆锥体积公式中的
4、圆周率 近似取为 3,那么,近似公式 VL2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为( )ABCD9 (5 分)已知 F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点且F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )ABC3D210 (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)=(|xa2|+|x2a2|3a2) ,若xR,f(x1)f(x) ,则实数 a 的取值范围为( 第 3 页(共 28 页)A,B, C,D,二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 3 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 15 分分11 (5 分)设向量 =
5、(3,3) , =(1,1) ,若( + )( ) ,则实数 = 12 (5 分)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等的四段弧,则 a2+b2= 13 (5 分)设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字三位数,将组成 a 的3 个数字按从小到大排成的三位数记为 I(a) ,按从大到小排成的三位数记为D(a) (例如 a=815,则 I(a)=158,D(a)=851) ,阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个 a,输出的结果 b= 三、解答题三、解答题14设 f(x)是定义在(0,+)上的函数,且 f(x)0,对任意a0
6、,b0,若经过点(a,f(a) ) , (b,f(b) )的直线与 x 轴的交点为(c,0) ,则称 c 为关于函数 f(x)的平均数,记为 Mf(a,b) ,例如,当f(x)=1(x0)时,可得 Mf(a,b)=c=,即 Mf(a,b)为 a,b 的算术平均数第 4 页(共 28 页)(1)当 f(x)= (x0)时,Mf(a,b)为 a,b 的几何平均数;(2)当 f(x)= (x0)时,Mf(a,b)为 a,b 的调和平均数;(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)15如图,P 为O 外一点,过 P 点作O 的两条切线,切点分别为 A,B,过PA 的中点 Q 作割线交O 于 C,D
7、两点,若 QC=1,CD=3,则 PB= 16已知曲线 C1的参数方程是(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程是 =2,则 C1与 C2交点的直角坐标为 17 (11 分)某实验室一天的温度(单位:)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10,t0,24)()求实验室这一天的最大温差;()若要求实验室温度不高于 11,则在哪段时间实验室需要降温?18 (12 分)已知等差数列an满足:a1=2,且 a1,a2,a5成等比数列()求数列an的通项公式;()记 Sn为数列an的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn60n
8、+800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由19 (12 分)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N 分别是棱 AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点 P,Q 分别在棱 DD1,BB1上移动,且DP=BQ=(02)()当 =1 时,证明:直线 BC1平面 EFPQ;()是否存在 ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由第 5 页(共 28 页)20 (12 分)计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水年入流量 X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和
9、,单位:亿立方米)都在 40 以上,其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系:年入流量 X40X8080X120X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行,则该台年利润为 1000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 160 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,
10、应安装发电机多少台?21 (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y轴的距离多 1,记点 M 的轨迹为 C()求轨迹 C 的方程;()设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(2,1) ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围22 (14 分) 为圆周率,e=2.71828为自然对数的底数()求函数 f(x)=的单调区间;()求 e3,3e,e,e,3,3这 6 个数中的最大数和最小数;第 6 页(共 28 页)()将 e3,3e,e,e,3,3这 6 个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论第 7 页(共
11、28 页)2014 年湖北省高考数学试卷(理科)年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 50 分,在每小题给出的四个分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)i 为虚数单位, ()2=( )A1B1CiDi【分析】可先计算出的值,再计算平方的值【解答】解:由于,所以, ()2=(i)2=1故选:A【点评】本题考查复数代数形式的计算,属于容易题2 (5 分)若二项式(2x+)7的展开式中的系数是 84,则实数 a=( )A2
12、BC1D【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式,通过 x 幂指数为3,求出 a 即可【解答】解:二项式(2x+)7的展开式即(+2x)7的展开式中 x3项的系数为 84,所以 Tr+1=,令7+2r=3,解得 r=2,代入得:,解得 a=1,故选:C【点评】本题考查二项式定理的应用,特定项的求法,基本知识的考查第 8 页(共 28 页)3 (5 分)设 U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C 使得 AC,BUC”是“AB=”的( )A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】通过集合的包含关系,以及充分条件和必要条件的判断,推出结果【解答】解:由题意
13、 AC,则UCUA,当 BUC,可得“AB=”;若“AB=”能推出存在集合 C 使得 AC,BUC,U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C 使得 AC,BUC”是“AB=”的充分必要的条件故选:C【点评】本题考查集合与集合的关系,充分条件与必要条件的判断,是基础题4 (5 分)根据如下样本数据,得到回归方程 =bx+a,则( )x3 45678y4.02.50.50.52.03.0Aa0,b0 Ba0,b0 Ca0,b0 Da0,b0【分析】通过样本数据表,容易判断回归方程中,b、a 的符号【解答】解:由题意可知:回归方程经过的样本数据对应的点附近,是减函数,所以 b0,且回归方程经过(
14、3,4)与(4,2.5)附近,所以 a0故选:B【点评】本题考查回归方程的应用,基本知识的考查5 (5 分)在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出的编号为,的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )第 9 页(共 28 页)A和 B和 C和 D和【分析】在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得结论【解答】解:在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得三棱锥的正视图和俯视图分别为,故选:D【点评】本题考查三视图的画法,做到心中有图形,考查空间想象能力
15、,是基础题6 (5 分)若函数 f(x) ,g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则 f(x) ,g(x)为区间1,1上的一组正交函数,给出三组函数:f(x)=sinx,g(x)=cosx;f(x)=x+1,g(x)=x1;f(x)=x,g(x)=x2,其中为区间1,1上的正交函数的组数是( )第 10 页(共 28 页)A0B1C2D3【分析】利用新定义,对每组函数求积分,即可得出结论【解答】解:对于:sinxcosxdx=(sinx)dx=cosx=0,f(x) ,g(x)为区间1,1上的一组正交函数;对于:(x+1) (x1)dx=(x21)dx=()0,f(x) ,g(x)不是区间1,
16、1上的一组正交函数;对于:x3dx=()=0,f(x) ,g(x)为区间1,1上的一组正交函数,正交函数有 2 组,故选:C【点评】本题考查新定义,考查微积分基本定理的运用,属于基础题7 (5 分)由不等式组确定的平面区域记为 1,不等式组确定的平面区域记为 2,在 1中随机取一点,则该点恰好在 2内的概率为( )ABCD【分析】作出不等式组对应的平面区域,求出对应的面积,利用几何槪型的概率公式即可得到结论【解答】解:平面区域 1,为三角形 AOB,面积为,平面区域 2,为AOB 内的四边形 BDCO,其中 C(0,1) ,由,解得,即 D(,) ,则三角形 ACD 的面积 S=,第 11 页
17、(共 28 页)则四边形 BDCO 的面积 S=,则在 1中随机取一点,则该点恰好在 2内的概率为,故选:D【点评】本题主要考查几何槪型的概率计算,利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键8 (5 分) 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 VL2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3,那么,近似公式 VL2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为( )ABCD【分析】根据近
18、似公式 VL2h,建立方程,即可求得结论【解答】解:设圆锥底面圆的半径为 r,高为 h,则 L=2r,=(2r)2h,=第 12 页(共 28 页)故选:B【点评】本题考查圆锥体积公式,考查学生的阅读理解能力,属于基础题9 (5 分)已知 F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点且F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )ABC3D2【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系,结合余弦定理即可得到结论【解答】解:设椭圆的长半轴为 a,双曲线的实半轴为 a1, (aa1) ,半焦距为c,由椭圆和双曲线的定义可知,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=
19、2c,椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2F1PF2=,由余弦定理可得 4c2=(r1)2+(r2)22r1r2cos,在椭圆中,化简为即 4c2=4a23r1r2,即,在双曲线中,化简为即 4c2=4a12+r1r2,即,联立得,=4,由柯西不等式得(1+) ()(1+)2,即()=即,d 当且仅当时取等号,第 13 页(共 28 页)法 2:设椭圆的长半轴为 a1,双曲线的实半轴为 a2, (a1a2) ,半焦距为 c,由椭圆和双曲线的定义可知,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c,椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2F1PF2=,由余弦定理可得 4c2=(r1)2
20、+(r2)22r1r2cos=(r1)2+(r2)2r1r2,由,得,=,令 m=,当时,m,即的最大值为,法 3:设|PF1|=m,|PF2|=n,则,则 a1+a2=m,则=,由正弦定理得=,即=sin(120)=故选:A【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质,利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键难度较大第 14 页(共 28 页)10 (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)=(|xa2|+|x2a2|3a2) ,若xR,f(x1)f(x) ,则实数 a 的取值范围为( )A,B, C,D,【分析】把 x0 时的 f(x)改写成分段函数,求出
21、其最小值,由函数的奇偶性可得 x0 时的函数的最大值,由对xR,都有 f(x1)f(x) ,可得2a2(4a2)1,求解该不等式得答案【解答】解:当 x0 时,f(x)=,由 f(x)=x3a2,x2a2,得 f(x)a2;当 a2x2a2时,f(x)=a2;由 f(x)=x,0xa2,得 f(x)a2当 x0 时,函数 f(x)为奇函数,当 x0 时,对xR,都有 f(x1)f(x) ,2a2(4a2)1,解得:故实数 a 的取值范围是故选:B第 15 页(共 28 页)【点评】本题考查了恒成立问题,考查了函数奇偶性的性质,运用了数学转化思想方法,解答此题的关键是由对xR,都有 f(x1)f
22、(x)得到不等式2a2(4a2)1,是中档题二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 3 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 15 分分11 (5 分)设向量 =(3,3) , =(1,1) ,若( + )( ) ,则实数 = 3 【分析】根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系,即可得到结论【解答】解:向量 =(3,3) , =(1,1) ,向量| |=3,| |=,向量 =33=0,若( + )( ) ,则( + )( )=,即 1822=0,则 2=9,解得 =3,故答案为:3,【点评】本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用,比较基础12 (5 分)直线 l1:y=x+a 和
23、l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等的四段弧,则 a2+b2= 2 【分析】由题意可得,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧长都是圆周的,即=cos45,由此求得 a2+b2的值【解答】解:由题意可得,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧长都是圆周的,=cos45=,a2+b2=2,第 16 页(共 28 页)故答案为:2【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,得到=cos45是解题的关键,属于基础题13 (5 分)设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字三位数,将组成 a 的3 个数字按从小到大排成的三位数记为 I(a
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