2014年上海市高考数学试卷(理科).doc
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1、第 1 页(共 21 页)2014 年上海市高考数学试卷(理科)年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(共一、填空题(共 14 题,满分题,满分 56 分)分)1 (4 分)函数 y=12cos2(2x)的最小正周期是 2 (4 分)若复数 z=1+2i,其中 i 是虚数单位,则(z+) = 3 (4 分)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程 4 (4 分)设 f(x)=,若 f(2)=4,则 a 的取值范围为 5 (4 分)若实数 x,y 满足 xy=1,则 x2+2y2的最小值为 6 (4 分)若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底面角的大小为 (
2、结果用反三角函数值表示) 7 (4 分)已知曲线 C 的极坐标方程为 (3cos4sin)=1,则 C 与极轴的交点到极点的距离是 8 (4 分)设无穷等比数列an的公比为 q,若 a1=(a3+a4+an) ,则 q= 9 (4 分)若 f(x)=,则满足 f(x)0 的 x 的取值范围是 10 (4 分)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练,则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 (结果用最简分数表示) 11 (4 分)已知互异的复数 a,b 满足 ab0,集合a,b=a2,b2,则 a+b= 12 (4 分)设常数 a 使方程 sinx+c
3、osx=a 在闭区间0,2上恰有三个解x1,x2,x3,则 x1+x2+x3= 13 (4 分)某游戏的得分为 1,2,3,4,5,随机变量 表示小白玩该游戏的第 2 页(共 21 页)得分,若 E()=4.2,则小白得 5 分的概率至少为 14 (4 分)已知曲线 C:x=,直线 l:x=6,若对于点 A(m,0) ,存在C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得+= ,则 m 的取值范围为 二、选择题(共二、选择题(共 4 题,满分题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,选对得分)每题有且只有一个正确答案,选对得 5 分,分,否则一律得零分否则一律得零分15 (5 分)设 a,bR,则“
4、a+b4”是“a2 且 b2”的( )A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件16 (5 分)如图,四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,Pi(i=1,2,8)是上底面上其余的八个点,则(i=1,2,8)的不同值的个数为( )A1B2C3D417 (5 分)已知 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则关于 x 和 y 的方程组的解的情况是( )A无论 k,P1,P2如何,总是无解B无论 k,P1,P2如何,总有唯一解C存在 k,P1,P2,使之恰有两解D存在 k,P1,P2,使之有无穷多解18
5、(5 分)设 f(x)=,若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围为( )A1,2 B1,0 C1,2 D0,2第 3 页(共 21 页)三、解答题(共三、解答题(共 5 题,满分题,满分 72 分)分)19 (12 分)底面边长为 2 的正三棱锥 PABC,其表面展开图是三角形 P1P2P3,如图,求P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积 V20 (14 分)设常数 a0,函数 f(x)=(1)若 a=4,求函数 y=f(x)的反函数 y=f1(x) ;(2)根据 a 的不同取值,讨论函数 y=f(x)的奇偶性,并说明理由21 (14 分)如图,某公司要在 A、B 两地连线上的定点
6、 C 处建造广告牌 CD,其中 D 为顶端,AC 长 35 米,CB 长 80 米,设点 A、B 在同一水平面上,从 A和 B 看 D 的仰角分别为 和 (1)设计中 CD 是铅垂方向,若要求 2,问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)?(2)施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得 =38.12,=18.45,求CD 的长(结果精确到 0.01 米) 22 (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,对于直线 l:ax+by+c=0 和点P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,记 =(ax1+by1+c) (ax2+by2+c) ,若 0,则称点P1,P2被直线 l 分
7、隔,若曲线 C 与直线 l 没有公共点,且曲线 C 上存在点 P1、P2被直线 l 分隔,则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线(1)求证:点 A(1,2) ,B(1,0)被直线 x+y1=0 分隔;(2)若直线 y=kx 是曲线 x24y2=1 的分隔线,求实数 k 的取值范围;(3)动点 M 到点 Q(0,2)的距离与到 y 轴的距离之积为 1,设点 M 的轨迹为曲线 E,求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是 E 的分隔线第 4 页(共 21 页)23 (16 分)已知数列an满足anan+13an,nN*,a1=1(1)若 a2=2,a3=x,a4=9,求 x 的取值范围;(2)设
8、an是公比为 q 的等比数列,Sn=a1+a2+an,若SnSn+13Sn,nN*,求 q 的取值范围(3)若 a1,a2,ak成等差数列,且 a1+a2+ak=1000,求正整数 k 的最大值,以及 k 取最大值时相应数列 a1,a2,ak的公差第 5 页(共 21 页)2014 年上海市高考数学试卷(理科)年上海市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题(共一、填空题(共 14 题,满分题,满分 56 分)分)1 (4 分)函数 y=12cos2(2x)的最小正周期是 【分析】由二倍角的余弦公式化简,可得其周期【解答】解:y=12cos2(2x)=2cos2(2x
9、)1=cos4x,函数的最小正周期为 T=故答案为:【点评】本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题2 (4 分)若复数 z=1+2i,其中 i 是虚数单位,则(z+) = 6 【分析】把复数代入表达式,利用复数代数形式的混合运算化简求解即可【解答】解:复数 z=1+2i,其中 i 是虚数单位,则(z+) =(1+2i) (12i)+1=14i2+1=2+4=6故答案为:6【点评】本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查3 (4 分)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线第 6 页(共 21 页)的准线方程 x=2 【分析】由题设中的条件 y2=2px
10、(p0)的焦点与椭圆的右焦点重合,故可以先求出椭圆的右焦点坐标,根据两曲线的关系求出 p,再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解:由题意椭圆,故它的右焦点坐标是(2,0) ,又 y2=2px(p0)的焦点与椭圆右焦点重合,故=2 得 p=4,抛物线的准线方程为 x=2故答案为:x=2【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征,解答此类题,关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征,熟练运用这些性质与几何特征解答问题4 (4 分)设 f(x)=,若 f(2)=4,则 a 的取值范围为 (,2 【分析】可对 a 进行讨论,当 a2 时,当 a=2 时,当 a2 时,将 a 代入相对应的函数解析式,从而求出
11、 a 的范围【解答】解:当 a2 时,f(2)=24,不合题意;当 a=2 时,f(2)=22=4,符合题意;当 a2 时,f(2)=22=4,符合题意;a2,故答案为:(,2【点评】本题考察了分段函数的应用,渗透了分类讨论思想,本题是一道基础题第 7 页(共 21 页)5 (4 分)若实数 x,y 满足 xy=1,则 x2+2y2的最小值为 2 【分析】由已知可得 y=,代入要求的式子,由基本不等式可得【解答】解:xy=1,y=x2+2y2=x2+2=2,当且仅当 x2=,即 x=时取等号,故答案为:2【点评】本题考查基本不等式,属基础题6 (4 分)若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母
12、线与底面角的大小为 arccos (结果用反三角函数值表示) 【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,可得圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍,在轴截面中,求出母线与底面所成角的余弦值,进而可得母线与轴所成角【解答】解:设圆锥母线与轴所成角为 ,圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,=3,即圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍,故圆锥的轴截面如下图所示:则 cos=,第 8 页(共 21 页)=arccos,故答案为:arccos【点评】本题考查的知识点是旋转体,其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍,是解答的关键7 (4 分)已知曲线 C 的极坐标方程为 (3cos4sin)=1,
13、则 C 与极轴的交点到极点的距离是 【分析】由题意,=0,可得 C 与极轴的交点到极点的距离【解答】解:由题意,=0,可得 (3cos04sin0)=1,C 与极轴的交点到极点的距离是 =故答案为:【点评】正确理解 C 与极轴的交点到极点的距离是解题的关键8 (4 分)设无穷等比数列an的公比为 q,若 a1=(a3+a4+an) ,则 q= 【分析】由已知条件推导出 a1=,由此能求出 q 的值【解答】解:无穷等比数列an的公比为 q,a1=(a3+a4+an)=(a1a1q)=,q2+q1=0,解得 q=或 q=(舍) 第 9 页(共 21 页)故答案为:【点评】本题考查等比数列的公比的求
14、法,是中档题,解题时要认真审题,注意极限知识的合理运用9 (4 分)若 f(x)=,则满足 f(x)0 的 x 的取值范围是 (0,1) 【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可【解答】解:f(x)=,若满足 f(x)0,即,y=是增函数,的解集为:(0,1) 故答案为:(0,1) 【点评】本题考查指数不等式的解法,指数函数的单调性的应用,考查计算能力10 (4 分)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练,则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 (结果用最简分数表示) 【分析】要求在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练,选择的
15、3天恰好为连续 3 天的概率,须先求在 10 天中随机选择 3 天的情况,再求选择的 3 天恰好为连续 3 天的情况,即可得到答案【解答】解:在未来的连续 10 天中随机选择 3 天共有种情况,其中选择的 3 天恰好为连续 3 天的情况有 8 种,分别是(1,2,3) , (2,3,4) ,(3,4,5) , (4,5,6) ,(5,6,7) , (6,7,8) , (7,8,9) , (8,9,10) ,第 10 页(共 21 页)选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是,故答案为:【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式,属基础题11 (4 分)已知互异的复数 a,b 满足 ab0,集合a
16、,b=a2,b2,则 a+b= 1 【分析】根据集合相等的条件,得到元素关系,即可得到结论【解答】解:根据集合相等的条件可知,若a,b=a2,b2,则或,由得,ab0,a0 且 b0,即 a=1,b=1,此时集合1,1不满足条件若 b=a2,a=b2,则两式相减得 a2b2=ba,互异的复数 a,b,ba0,即 a+b=1,故答案为:1【点评】本题主要考查集合相等的应用,根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键,注意要进行分类讨论12 (4 分)设常数 a 使方程 sinx+cosx=a 在闭区间0,2上恰有三个解x1,x2,x3,则 x1+x2+x3= 【分析】先利用两角和公式对函数解析式化
17、简,画出函数 y=2sin(x+)的图象,方程的解即为直线与三角函数图象的交点,在0,2上,当 a=时,直线与三角函数图象恰有三个交点,进而求得此时 x1,x2,x3最后相加即可【解答】解:sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2sin(x+)=a,第 11 页(共 21 页)如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点,在0,2上,当 a=时,直线与三角函数图象恰有三个交点,令 sin(x+)=,x+=2k+,即 x=2k,或 x+=2k+,即 x=2k+,此时 x1=0,x2=,x3=2,x1+x2+x3=0+2=故答案为:【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质运用了数形结合的思想,
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