2013年湖北省高考数学试卷(理科).doc
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1、第 1 页(共 31 页)2013 年湖北省高考数学试卷(理科)年湖北省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 50 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)在复平面内,复数 z=(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2 (5 分)已知全集为 R,集合 A=x|()x1,B=x|x26x+80,则A(RB)=( )Ax|x0Bx|2x4Cx|0x2 或 x4Dx|0x2 或 x43 (5 分)在一次
2、跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A (p)(q)Bp(q) C (p)(q)Dpq4 (5 分)将函数 y=cosx+sinx(xR)的图象向左平移 m(m0)个单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( )ABCD5 (5 分)已知 0,则双曲线与 C2:=1 的( )A实轴长相等 B虚轴长相等 C焦距相等D离心率相等6 (5 分)已知点 A(1,1) ,B(1,2) ,C(2,1) ,D(3,4) ,则向量在方向上的投影为( )ABCD7 (5 分
3、)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继第 2 页(共 31 页)续行驶的距离(单位:m)是( )A1+25ln5 B8+25lnC4+25ln5 D4+50ln28 (5 分)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为 V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有( )AV1V2V4V3BV1V3V2V4CV2V1V3V4DV2V3V1V49 (5 分)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过搅拌后
4、,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则X 的均值 E(X)=( )ABCD10 (5 分)已知 a 为常数,函数 f(x)=x(lnxax)有两个极值点x1,x2(x1x2) ( )ABCD第 3 页(共 31 页)二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答小题,考生共需作答 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置,书写不清,模棱两可分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置,书写不清,模棱两可均不得分均不得分 (一)必考题(一)必考题(11-14 题)题) (二)选考题(请考生在第(二)选考题(请考
5、生在第 15、16 两题中两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔铅笔涂黑如果全选,则按第涂黑如果全选,则按第 15 题作答结果计分题作答结果计分 )11 (5 分)从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50至 350 度之间,频率分布直方图如图所示:()直方图中 x 的值为 ;()在这些用户中,用电量落在区间100,250)内的户数为 12 (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i= 13 (5 分)设 x,y,zR,且满足:,则 x+y+z
6、= 第 4 页(共 31 页)14 (5 分)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,第 n 个三角形数为记第 n 个 k 边形数为N(n,k) (k3) ,以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式:三角形数,正方形数 N(n,4)=n2,五边形数,六边形数 N(n,6)=2n2n,可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)= 15 (5 分) (选修 41:几何证明选讲)如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,点 D 在半径 OC 上的射影为E若 AB=3AD,则的值为 16 (选修 44:坐标系与参数方程)在直角坐
7、标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为为参数,ab0) 在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为为非零常数)与 =b若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤第 5 页(共 31 页)17 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c,已知cos2A3cos(B+C)=1()求角 A 的大
8、小;()若ABC 的面积 S=5,b=5,求 sinBsinC 的值18 (12 分)已知等比数列an满足:|a2a3|=10,a1a2a3=125()求数列an的通项公式;()是否存在正整数 m,使得?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说明理由19 (12 分)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,直线PC平面 ABC,E,F 分别是 PA,PC 的中点()记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以证明;()设()中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D,且点 Q 满足记直线 PQ 与平面 ABC 所成
9、的角为 ,异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 ,二面角 ElC 的大小为 求证:sin=sinsin20 (12 分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布N(800,502)的随机变量记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0()求 p0的值;(参考数据:若 XN(,2) ,有 P(X+)=0.6826,P(2X+2)=0.9544,P(3X+3)=0.9974 )()某客运公司用 A,B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A,B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙第 6 页(共 31 页)地的营运成本分别为
10、 1600 元/辆和 2400 元/辆公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆若每天要以不小于 p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?21 (13 分)如图,已知椭圆 C1与 C2的中心在坐标原点 O,长轴均为 MN 且在x 轴上,短轴长分别为 2m,2n(mn) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D,记,BDM 和ABN 的面积分别为 S1和 S2()当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1=S2,求 的值;()当 变化
11、时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=S2?并说明理由22 (14 分)设 n 是正整数,r 为正有理数()求函数 f(x)=(1+x)r+1(r+1)x1(x1)的最小值;()证明:;()设 xR,记x为不小于 x 的最小整数,例如令的值(参考数据:第 7 页(共 31 页)2013 年湖北省高考数学试卷(理科)年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 50 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的选项中,只有一项是符合题目要求的1 (
12、5 分)在复平面内,复数 z=(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】将复数 z=的分母实数化,求得 z=1+i,即可求得 ,从而可知答案【解答】解:z=1+i, =1i 对应的点(1,1)位于第四象限,故选:D【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,将复数 z=的分母实数化是关键,属于基础题2 (5 分)已知全集为 R,集合 A=x|()x1,B=x|x26x+80,则A(RB)=( )Ax|x0Bx|2x4Cx|0x2 或 x4Dx|0x2 或 x4【分析】利用指数函数的性质可求得集合 A,通过解一元二次不等式可求得集合 B,从而
13、可求得 ACRB【解答】解:1=,x0,A=x|x0;第 8 页(共 31 页)又 x26x+80(x2) (x4)0,2x4B=x|2x4,RB=x|x2 或 x4,ARB=x|0x2 或 x4,故选:C【点评】本题考查指数函数的性质与元二次不等式,考查交、并、补集的混合运算,属于中档题3 (5 分)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A (p)(q)Bp(q) C (p)(q)Dpq【分析】由命题 P 和命题 q 写出对应的p 和q,则命题“至少有一位学员没有降落在
14、指定范围”即可得到表示【解答】解:命题 p 是“甲降落在指定范围”,则p 是“甲没降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则q 是“乙没降落在指定范围”,命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围,乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围,乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围,乙没降落在指定范围”三种情况所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(p)V(q) 故选:A【点评】本题考查了复合命题的真假,解答的关键是熟记复合命题的真值表,是基础题4 (5 分)将函数 y=cosx+sinx(xR)的图象向左平移 m(m0)个单位长度后,所得到的图象关于
15、y 轴对称,则 m 的最小值是( )第 9 页(共 31 页)ABCD【分析】函数解析式提取 2 变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用平移规律得到平移后的解析式,根据所得的图象关于 y 轴对称,即可求出 m 的最小值【解答】解:y=cosx+sinx=2(cosx+sinx)=2sin(x+) ,图象向左平移 m(m0)个单位长度得到 y=2sin(x+m)+=2sin(x+m+) ,所得的图象关于 y 轴对称,m+=k+(kZ) ,则 m 的最小值为故选:B【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及函数 y=Asin(x+)的图象变换,熟练掌握公式是解本题的关
16、键5 (5 分)已知 0,则双曲线与 C2:=1 的( )A实轴长相等 B虚轴长相等 C焦距相等D离心率相等【分析】根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同,即可得出正确答案【解答】解:双曲线的实轴长为 2cos,虚轴长2sin,焦距 2,离心率,双曲线的实轴长为 2sin,虚轴长 2sintan,焦距 2tan,离心率,第 10 页(共 31 页)故它们的离心率相同故选:D【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等,属于基础题6 (5 分)已知点 A(1,1) ,B(1,2) ,C(2,1) ,D(3,4) ,则向量在方向上的投影为( )ABCD【分析】先求出向量、,根据投
17、影定义即可求得答案【解答】解:,则向量方向上的投影为:cos=,故选:A【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义,考查向量投影定义,属基础题,正确理解相关概念是解决问题的关键7 (5 分)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )A1+25ln5 B8+25lnC4+25ln5 D4+50ln2【分析】令 v(t)=0,解得 t=4,则所求的距离 S=,解出即可【解答】解:令 v(t)=73t+,化为 3t24t32=0,又 t0,解得 t=4由刹车行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距
18、离 s=4+25ln5第 11 页(共 31 页)故选:C【点评】熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键8 (5 分)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为 V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有( )AV1V2V4V3BV1V3V2V4CV2V1V3V4DV2V3V1V4【分析】利用三视图与已知条件判断组合体的形状,分别求出几何体的体积,即可判断出正确选项【解答】解:由题意以及三视图可知,该几何体从上到下由:圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成,体积分别记为 V1=V2=122=2,V3=
19、222=8V4=;,V2V1V3V4故选:C【点评】本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法,正确判断几何第 12 页(共 31 页)体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键9 (5 分)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则X 的均值 E(X)=( )ABCD【分析】由题意可知:X 所有可能取值为 0,1,2,38 个顶点处的 8 个小正方体涂有 3 面,每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下 3 个,一共有 312=36 个小正方体涂有 2 面,每个表面去掉四条棱上的 16 个小正方
20、形,还剩下 9 个小正方形,因此一共有96=54 个小正方体涂有一面,由以上可知:还剩下 125(8+36+54)=27 个内部的小正方体的 6 个面都没有涂油漆,根据上面的分析即可得出其概率及 X的分布列,利用数学期望的计算公式即可得出【解答】解:由题意可知:X 所有可能取值为 0,1,2,38 个顶点处的 8 个小正方体涂有 3 面,P(X=3)=;每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下 3 个,一共有 312=36 个小正方体涂有 2 面,P(X=2)=;每个表面去掉四条棱上的 16 个小正方形,还剩下 9 个小正方形,因此一共有96=54 个小正方体涂有一面,P(X=1)=由以上可
21、知:还剩下 125(8+36+54)=27 个内部的小正方体的 6 个面都没有涂油漆,P(X=0)=第 13 页(共 31 页)故 X 的分布列为 X0123P 因此 E(X)=故选:B【点评】正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键10 (5 分)已知 a 为常数,函数 f(x)=x(lnxax)有两个极值点x1,x2(x1x2) ( )ABCD【分析】先求出 f(x) ,令 f(x)=0,由题意可得 lnx=2ax1 有两个解 x1,x2函数 g(x)=lnx+12ax 有且只有两个零点g(x)在(0,+)上的唯一的极值不等于 0利用导数与
22、函数极值的关系即可得出【解答】解:f(x)=lnx+12ax, (x0)令 f(x)=0,由题意可得 lnx=2ax1 有两个解 x1,x2函数 g(x)=lnx+12ax 有且只有两个零点g(x)在(0,+)上的唯一的极值不等于 0当 a0 时,g(x)0,f(x)单调递增,因此 g(x)=f(x)至多有一个零点,不符合题意,应舍去当 a0 时,令 g(x)=0,解得 x=,x,g(x)0,函数 g(x)单调递增;时,g(x)0,函数 g(x)单调递减第 14 页(共 31 页)x=是函数 g(x)的极大值点,则0,即0,ln(2a)0,02a1,即故当 0a时,g(x)=0 有两个根 x1
23、,x2,且 x1x2,又 g(1)=12a0,x11x2,从而可知函数 f(x)在区间(0,x1)上递减,在区间(x1,x2)上递增,在区间(x2,+)上递减 f(x1)f(1)=a0,f(x2)f(1)=a故选:D【点评】本题考查了利用导数研究函数极值的方法,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答小题,考生共需作答 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置,书写不清,模棱两可分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置,书写不清,模棱两可均不得分均不得
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