北京邮电大学出版社线性代数习题答案(习题1-6).doc
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1、线线性代数性代数习题习题及答案及答案(北京邮电大学出版社(北京邮电大学出版社 戴斌祥主)编戴斌祥主)编习题习题一一( (A 类类) )1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659; (2) 987654321; (3) n(n 1)321; (4) 13(2n 1)(2n)(2n 2)2. 【解】 (1) (341782659)=11; (2) (987654321)=36;(3) (n(n 1)321)= 0+1+2 +(n 1)=;(1) 2n n(4) (13(2n 1)(2n)(2n 2)2)=0+1+(n 1)+(n 1)+(n 2)+1+0=n(n 1). 2. 求出
2、j,k 使 9 级排列 24j157k98 为偶排列。 解:由排列为 9 级排列,所以 j,k 只能为 3、6.由 2 排首位,逆序为 0,4 的逆序数为 0,1 的逆序 数为 3,7 的逆序数为 0,9 的为 0,8 的为 1.由 0+0+3+0+1=4,为偶数.若 j=3,k=6,则 j 的逆序 为 1,5 的逆序数为 0,k 的为 1,符合题意;若 j=6,k=3,则 j 的逆序为 0,5 的逆序数为 1,k 的为 4,不符合题意.所以 j=3、k=6.3. 写出 4 阶行列式中含有因子的项。2234a a解:D4=1 2 3 4() 1 12 23 34 4( 1)j j j j jj
3、jja aaa由题意有:232,4.jj故1234141243243241j j j jjj D4中含的项为:2234a a(1243)(3241) 1122344313223441( 1)( 1)a a a aa a a a 即为:1122344313223441a a a aa a a a4. 在 6 阶行列式中,下列各项应带什么符号?(1);233142561465a a a a a a解:233142561465142331425665a a a a a aa a a a a a因为,(431265)6(431265)6( 1)( 1)1 所以该项带正号。(2)324314516625
4、a a a a a a解:324314516625142532435166a a a a a aa a a a a a因为,(452316)8(452316)8( 1)( 1)1 所以该项带正号。5. 用定义计算下列各行列式.(1); (2). (3)020000103000000412300020304500010100 00200001 000n n 【解】(1) D=( 1)(2314)4!=24; (2) D=12.(3)由题意知:12231,11 210nnnija aan an a 其余所以1 2() 1 12 23 3(2341) 1223341,111( 1)( 1)( 1)1
5、 2 3(1)(231)1( 1)!nj jj njjjnjnn nnnnnDa aaaa a aaannnnn 6. 计算下列各行列式.(1); (2) ;2141 3121 1232 5062 abacae bdcdde bfcfef (3); (4) .100 110 011 001a b c d 1234234134124123【解】(1) ;1250623121012325062rrD(2) ;111 4111111Dabcdefabcdef 210110111(3)( 1)111011001011;bcDaa bcdccddddabcdabadcd 321221133142 144
6、121023410234102341034101130113(4)160.10412022200441012301110004rrccrrccrrrr ccrrD 7. 证明下列各式.(1) ;22322()111aabbaabbab(2) ;2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)aaaabbbbccccdddd(3) 232232232111()111aaaabbabbccabbcccc(4) ;20000()0000n nababDadbccdcd(5) .1211111 11111111nni iiina aaa a 【
7、证明】(1) 1323223()()() 2()2 001()()()()()2()21ccccab abb abb ababbab abb ababbabababab 且且且且.(2) 32213142 412222-2-223222144692126 214469212602144692126 2144692126cccccccc ccaaaaaa bbbbbb cccccc dddddd 且且且且.(3) 首先考虑 4 阶范德蒙行列式:232323231 1( )()()()()()()(*)1 1xxx aaaf xxa xb xc ab ac bcbbb ccc从上面的 4 阶范德蒙
8、行列式知,多项式 f(x)的 x 的系数为2221 ()()()()(),11aa abbcac ab ac bcabbcacbbcc但对(*)式右端行列式按第一行展开知 x 的系数为两者应相等,故231 123231 ( 1),11aa bb cc(4) 对 D2n按第一行展开,得22(1)2(1)2(1)00000000(),nnnnabababab Dabcdcdcdcddcad Dbc Dadbc D据此递推下去,可得2 22(1)2(2)11 2()()()()()()nnnnnnDadbc DadbcDadbcDadbcadbcadbc2() .n nDadbc(5) 对行列式的阶
9、数 n 用数学归纳法. 当 n=2 时,可直接验算结论成立,假定对这样的 n 1 阶行列式结论成立,进而证明阶数 为 n 时结论也成立. 按 Dn的最后一列,把 Dn拆成两个 n 阶行列式相加:1 1 2 211211111011111110111111101111111.nnnnnnaaaaDaaa aaa D 但由归纳假设11121 111,nnn iiDa aaa 从而有1121121 1121 111111111.nnnnn iinnnnni iiiiiDa aaa a aaaa aaaaaa 8. 计算下列 n 阶行列式.(1) (2) ;11 1111nx xDx 12222222
10、2232222nDn (3). (4).000 000000 000nxy xy Dxy yx 2100012100012000002100012nD 【解】(1) 各行都加到第一行,再从第一行提出 x+(n 1),得11111(1),11nxDxnx将第一行乘( 1)后分别加到其余各行,得1111110(1)(1)(1).001n nxDxnxnxx(2) 按第二行展开2131112222 10000 10100 1002010002nrrnrrrrDn 2222 0100 2(2)!.00200002nn (3) 行列式按第一列展开后,得1(1)(1)(1)10000000000000 (
11、 1)000000000000( 1)( 1).n nnnnnnnxyyxyxy Dxyxyxyyxxyx xyyxy (4) 210002000001000121001210012100012000120001200000210002100021000120001200012nD .122nnDD即有 112211nnnnDDDDDD由 得 112211nnnnDDDDDDn.11,121nnDDn Dnn 9. 计算 n 阶行列式.1212121 11nn nnaaa aaaDaaa 【解】各列都加到第一列,再从第一列提出,得11ni ia232323 12311 1111,11nnnni
12、n inaaaaaaDaaaaaaa将第一行乘( 1)后加到其余各行,得23111 0100 11.00100001nnnnii iiaaaDaa 10. 计算阶行列式(其中).n0,1,2,iain.1111 123 2222 1122332222 1 1223 3 1111 123nnnn n nnnn nnn nnnn nn nnnn naaaaabababab Daba ba ba bbbbb【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.1(1,2, )n jajn3121232222 3121 12 1231111 3121231 12 11111()().nnnn nn nnn
13、nn nnjin n j i nijbbbb aaaabbbbDa aaaaaabbbb aaaabba aaaa 11. 已知 4 阶行列式 D 中第 3 列元素依次为-1,2,0,1,它们的余子式依次为 8,7,2,10,求 行列式 D 的值。解:D=,1112142122243132344142441 2 0 1aaa aaa aaa aaa132333438,7,2,10MMMM4 3 33 11 32 33 34 3 13132323333343434567( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1) 8( 1)2 7( 1)0 2( 1)1 10 8 14 1032.i
14、 ii iDa Ma Ma Ma Ma M 12. 用克拉默法则解方程组.(1) (2)1212450, 372.xx xx 12312132, 21, 4.xxx xx xx (3) (4) 123123412342345,2 1,2 2,233.xxxxxxxxxxxxxx 121232343454556 1,56 0,56 0,560,51.xx xxx xxx xxx xx 【解】(1)因为1212450 372xx xx D=;D1=;D2=454337 051027 40832所以12 12108,.4343DDxxDD (2)因为12312132214xxxxxxx D=1( 1
15、)2,3111111 1200315 101012r ii D1=211001121201201361401611 D2=12112111110011422141022D3=112112 1210317 104012 所以312 1231347,.555DDDxxxDDD (3)方程组的系数行列式为1110111013113121110131180;1210521211012112301401230123D123451101510 1111211118;36;22111211 3123032311501115 2111211136;18.12211212 01330123DDDD 故原方程组有
16、惟一解,为3124 12341,2,2,1.DDDDxxxxDDDD 1234512345(4)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212,.66513335133665DDDDDDxxxxx 13. 满足什么条件时,线性方程组有唯一解?12312312321, 2, 4553xxx xxx xxx 解:D=32(1)2121 1110 455450c =1(1)(1) (54)45要使方程组有唯一解,必须 D,于是:0(1) (54)0解得:1241,5 当不等于 1,时,方程组有唯一解。4 514. 和 为何值时,齐次方程组1231231230, 0,
17、 20xxx xxx xxx 有非零解? 【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式11 0,11121 即(1)0.故或时,方程组有非零解. 0115. 求三次多项式,使得23 0123( )f xaa xa xa x( 1)0,(1)4,(2)3,(3)16.ffff【解】根据题意,得0123012301230123( 1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.faaaafaaaafaaaafaaaa这是关于四个未知数的一个线性方程组,由于0123,a a a a012348,336,0,240,96.DDDDD 故得01237,0,5,2aaaa 于是所求的多项式为23(
18、 )752f xxx( (B 类类) )1. 已知 n 阶行列式 D 的每一列元素之和均为零,则 D= 。解: 令 D=111211121112222121(1)21222212222,3,1212nnnnnnnrinninnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa =21222120000nnnnnaaaaaa 2.D3. 写出行列式 D4=的展开式中包含和的项。5123 12 123 122x xx x xx3x4x解:令 D4=5123 12 123 122x xx x xx11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaa
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- 北京邮电 大学出版社 线性代数 习题 答案
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