高考理科数学一轮不等式.doc
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1、第六篇 不等式A第 1 讲 不等关系与不等式最新考纲1了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景3掌握不等式的性质及应用. 知 识 梳 理1两个实数比较大小的方法(1)作差法Error!(2)作商法Error!2不等式的性质(1)对称性:abba;(2)传递性:ab,bcac;(3)可加性:abacbc,ab,cdacbd;(4)可乘性:ab,c0acbc;ab0,cd0acbd;(5)可乘方:ab0anbn(nN,n1);(6)可开方:ab0(nN,n2)nanb辨 析 感 悟1对两个实数大小的比较的认识(1)两个实数 a,b 之间,有且只有 ab,ab,ab 三种关系中
2、的一种()(2)若 1.则 ab.()ab2对不等式性质的理解(3)在一个不等式的两边同乘以一个非零实数,不等式仍然成立()(4)同向不等式具有可加性和可乘性()(5)(2014丽水模拟改编)设 a,b 为实数,则“0ab1”是“b ”成立的既1a不充分也不必要条件()(6)(2013北京卷改编)若 ab,则 .()1a1b若 ab,则 a2b2.()若 ab,则 a3b3.()感悟提升两个防范 一是在使用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件,不可强化或弱化成立的条件,如“同向不等式”才可相加、 “同向且两边同正的不等式”才可相乘;“可乘性中的”c 的符号等都需注意,如(2)、(3)、(4)
3、二是利用特值法判断两个式子大小时,错误的关系式,只需取特值举反例即可,而正确的关系式,则需推理论证如(6)中当 a1,b2 时, 不成立;1a1b当 a1,b2 时,a2b2不成立.学生用书第 94 页考点一 用不等式(组)表示不等关系【例 1】 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元销售,每天可销售100 件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润已知这种商品的单价每提高 1 元,销售量就相应减少 10 件若把提价后商品的单价设为 x 元,怎样用不等式表示每天的利润不低于 300 元?解 若提价后商品的单价为 x 元,则销售量减少10 件,因此,每天的x101利润为(x8
4、)10010(x10)元,则“每天的利润不低于 300 元”可以表示为不等式(x8)10010(x10)300.规律方法 对于不等式的表示问题,关键是理解题意,分清变化前后的各种量,得出相应的代数式,然后用不等式表示而对于涉及条件较多的实际问题,则往往需列不等式组解决【训练 1】 某化工厂制定明年某产品的生产计划,受下面条件的制约:生产此产品的工人不超过 200 人;每个工人的年工作时间约为 2 100 h;预计此产品明年的销售量至少为 80 000 袋;生产每袋产品需用 4 h;生产每袋产品需用原料20 kg;年底库存原料 600 t,明年可补充 1 200 t试根据这些数据预测明年的产量解
5、 设明年的产量为 x 袋,则Error!解得 80 000x90 000.预计明年的产量在 80 000 袋到 90 000 袋之间考点二 比较大小【例 2】 (1)若 a,b,c,则( )ln 22ln 33ln 55Aabc BcbaCcab Dbac(2)已知 a1 且 aR,试比较与 1a 的大小11a(1)解析 易知 a,b,c 都是正数, log891,所以ba2ln 33ln 2ba; log25321,所以 ac.即 cab.故选 C.ac5ln 22ln 5答案 C(2)解 (1a),11aa21a当 a0 时,0,1a;a21a11a当 a1,且 a0 时,0,a21a1a
6、;11a当 a1 时,0,1a.a21a11a规律方法 (1)比较大小时,要把各种可能的情况都考虑进去,对不确定的因素需进行分类讨论,每一步运算都要准确,每一步推理都要有充分的依据(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与 1 比较大小【训练 2】 (2012四川卷)设 a,b 为正实数现有下列命题:若 a2b21,则 ab1;若 1,则 ab1;若|1,则1b1aab|ab|1;若|a3b3|1,则|ab|1.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)解析 中,a2b2(ab)(ab)1,a,b 为正实数,若 ab1,则必有ab
7、1,又 ab,不合题意,故正确1ab中, 1,只需 abab 即可如取 a2,b 满足上式,但1b1aabab23ab 1,故错43中,a,b 为正实数,所以|1,abab且|ab|()()|1,故错ababab中,|a3b3|(ab)(a2abb2)|ab|(a2abb2)1.若|ab|1,不妨取 ab1,则必有 a2abb21,不合题意,故正确答案 考点三 不等式的性质及其应用【例 3】 (1)(2014泉州模拟)若 xy,ab,则在axby,axby,axby,xbya, 这五个式子中,aybx恒成立的所有不等式的序号是_(2)(2012湖南卷)设 ab1,c ;acloga(bc)ca
8、cb其中所有的正确结论的序号是( )A. B C D审题路线 解析 (1)令 x2,y3,a3,b2,符合题设条件 xy,ab,ax3(2)5,by2(3)5,axby,因此不成立又ax6,by6,axby,因此也不成立又 1, 1,ay33bx22 ,因此不成立aybx由不等式的性质可推出成立(2)由不等式性质及 ab1 知 ,正确;构造函数1a1bcacbyxc,c0,yxc在(0,)上是减函数,又 ab1,acbc,知正确;ab1,ac0,acbc1,ab1,logb(ac)loga(ac)loga(bc),知正确答案 (1) (2)D规律方法 (1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理
9、判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质(2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数函数,指数函数的性质等【训练 3】 若 0,则下列不等式:1a1b;|a|b0;a b ;ln a2ln b2中,正确的不等式是1ab1ab1a1b( )A B C D解析 法一 由 0,可知 ba0.中,因为 ab0,ab0,所以1a1b0,0.故有,即正确;中,因为 ba0,所以1ab1ab1ab1abba0.故b|a|,即|a|b0,故错误;中,因为 ba0,又 0,所以 a
10、 b ,故正确;中,因为 ba0,根据 yx2在1a1b1a1b(,0)上为减函数,可得 b2a20,而 yln x 在定义域(0,)上为增函数,所以 ln b2ln a2,故错误由以上分析,知正确法二 因为 0,故可取 a1,b2.1a1b显然|a|b1210,所以错误;因为 ln a2ln(1)20,ln b2ln(2)2ln 40,所以错误综上所述,可排除.答案 C1判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简便2倒数关系在不等式中的作用:Error! ;Error! .1a1b1a1b3比较法是不等式性质证明的理
11、论依据,是不等式证明的主要方法之一,作差法的主要步骤为:作差变形判断正负在所给不等式是积、商、幂的形式时,可考虑比商 易错辨析 6多次使用同向不等式的可加性而致误【典例】 设 f(x)ax2bx,若 1f(1)2,2f(1)4,则 f(2)的取值范围是_错解 由Error!得Error!得 a3.得 b1.3212由此得 4f(2)4a2b11.所以 f(2)的取值范围是4,11答案 4,11错因 本题错解的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了 f(2)的范围扩大正解 法一 设 f(2)mf(1)nf(1)(m,n 为待定系数),则4a2bm(ab)n(ab),即 4a2b(mn)a(
12、nm)b.于是得Error!解得Error!f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4,53f(1)f(1)10,故 5f(2)10.法二 由Error!得Error!f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4,53f(1)f(1)10,故 5f(2)10.法三 由Error!确定的平面区域如图阴影部分,当 f(2)4a2b 过点A时,(32,12)取得最小值 4 2 5,3212当 f(2)4a2b 过点 B(3,1)时,取得最大值 432110,5f(2)10.答案 5,10防范措施 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时有可能扩大变
13、量的取值范围解决此类问题一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围,是避免错误的有效途径【自主体验】如果1ab3,3ab5,那么 2a3b 的取值范围是( )A(2,8) B(5,14) C(6,13) D(7,13)解析 设 abx,aby,1x3,3y5,a,b,xy2xy22a3bxy (xy) x y.321252又 x , y,321212152522526 x y13,12522a3b 的取值范围是(6,13)答案 C对应学生用书 P297基础巩固题组(建议用时:40 分钟)一、选择题1(2014深圳一模)设 x,yR,则“x1 且 y2”是“xy3”的(
14、)A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 由不等式性质知当 x1 且 y2 时,xy3;而当 x2,y 时满足32xy3,但不满足 x1 且 y2,故“x1 且 y2”是“xy3”的充分而不必要条件答案 A2(2014保定模拟)已知 ab,则下列不等式成立的是( )Aa2b20 BacbcC|a|b| D2a2b解析 A 中,若 a1,b2,则 a2b20 不成立;当 c0 时,B 不成立;当0ab 时,C 不成立;由 ab 知 2a2b成立,故选 D.答案 D3(2014河南三市三模)已知 0a1,xlogaloga ,y loga5,zloga 2312l
15、oga ,则( )213Axyz BzyxCzxy Dyxz解析 由题意得 xloga,yloga,zloga,而 0a1,函数 yloga x657在(0,)上单调递减,yxz.答案 D4已知 a0,1b0,那么下列不等式成立的是( )Aaabab2 Bab2abaCabaab2 Dabab2a解析 由1b0,可得 bb21,又 a0,abab2a.答案 D5(2014晋城模拟)已知下列四个条件:b0a,0ab,a0b,ab0,能推出 b,ab0 可得 0,b0 且 ab 时,aabb与 abba.解 (1)3x2x12x2x1x22x2(x1)210,3x2x12x2x1.(2)aabbb
16、aaababab.aabbabba(1b)(ab)当 ab,即 ab0, 1 时,ab1,aabbabba.ab(ab)当 a1,ab(ab)aabbabba.当 a0,b0 且 ab 时,aabbabba.10甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,试判断谁先到教室?解 设从寝室到教室的路程为 s,甲、乙两人的步行速度为 v1,跑步速度为v2,且 v1v2.甲所用的时间 t甲,s2v1s2v2sv1v22v1v2乙所用的时间 t乙,2sv1v2t甲t乙sv1v22v1v2v1v22sv1v224v1v21.v2
17、 1v2 22v1v24v1v24v1v24v1v2t甲0,t乙0,t甲t乙,即乙先到教室能力提升题组(建议用时:25 分钟)一、选择题1下面四个条件中,使 ab 成立的充分不必要条件是( )Aab1 Bab1 Ca2b2 Da3b3解析 由 ab1,得 ab1b,即 ab,而由 ab 不能得出 ab1,因此,使 ab 成立的充分不必要条件是 ab1.答案 A2已知实数 a,b,c 满足 bc64a3a2,cb44aa2,则 a,b,c的大小关系是( )Acba BacbCcba Dacb解析 cb44aa2(2a)20,cb,将已知两式作差得 2b22a2,即 b1a2,1a2a2 0,1a
18、2a,(a12)34b1a2a,cba.答案 A二、填空题3(2014三门峡二模)给出下列条件:1ab;0ab1;0a1b.其中,能推出 logblogalogab 成1b1b立的条件的序号是_解析 若 1ab,则 1b,logaloga1logb,故条件不成立;1b1a1b1a1b若 0ab1,则 b1 ,1b1alogablogaloga1logb,故条件成立;1b1a1b若 0a1b,则 0 1,loga0,logab0,故条件不成立1b1b答案 三、解答题4设 00 且 a1,比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小解 法一 作差比较当 a1 时,由 00,|loga(1x
19、)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2),00,故|loga(1x)|loga(1x)|.当 0|loga(1x)|.法二 平方作差|loga(1x)|2|loga(1x)|2loga(1x)2loga(1x)2loga(1x2)loga1x1xloga(1x2)loga0.(12x1x)|loga(1x)|2|loga(1x)|2,故|loga(1x)|loga(1x)|.法三 作商比较|log(1x)(1x)|,|loga1x|loga1x|loga1xloga1x|01 及1,11x2log(1x)0,故1,11x2|loga1x|loga1x|loga(
20、1x)|loga(1x)|.学生用书第 96 页第 2 讲 一元二次不等式及其解法最新考纲1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系3会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 知 识 梳 理1一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2bxc0(a0)或 ax2bxc0(a0)(2)计算相应的判别式(3)当 0 时,求出相应的一元二次方程的根(4)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集2三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax
21、2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根x1x2b2a没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx2或 xx1x|x b2aRax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2辨 析 感 悟1对一元二次不等式的解法的理解(1)(2013广东卷改编)不等式 x2x20 的解集为2x1.()(2)若不等式 ax2bxc0 的解集为(x1,x2),则必有 a0.()(3)若不等式 ax2bxc0 的解集是(,x1)(x2,),则方程ax2bxc0 的两个根是 x1和 x2.()(4)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根,则不等式
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