高考理科数学一轮矩阵与变换.doc
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1、选修 42 矩阵与变换A最新考纲1了解二阶矩阵的概念,了解线性变换与二阶矩阵之间的关系2了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示3理解变换的复合与矩阵的乘法;理解二阶矩阵的乘法和简单性质4理解逆矩阵的意义,会求出简单二阶逆矩阵5理解矩阵的特征值与特征向量,会求二阶矩阵的特征值与特征向量.知 识 梳 理1矩阵的乘法规则(1)行矩阵a11 a12与列矩阵的乘法规则:b11b21a11 a12a11b11a12b21b11b21(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则:a11a21 a12a22x0y0.a11a21 a12a22x0y0 a11 x0a12 y0a21
2、 x0a22 y0设 A 是一个二阶矩阵,、 是平面上的任意两个向量,、1、2是任意三个实数,则A()A;A()AA;A(12)1A2A.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵,其乘法法则如下:a11a21 a12a22b11b21 b12b22 a11 b11a12 b21a21 b11a22 b21 a11 b12a12 b22a21 b12a22 b22性质:一般情况下,ABBA,即矩阵的乘法不满足交换律;矩阵的乘法满足结合律,即(AB)CA(BC);矩阵的乘法不满足消去律2矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念:对于二阶矩阵 A,B,若有 ABBAE,则称 A 是可逆的,B 称为 A
3、的逆矩阵若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B,则逆矩阵是唯一的,通常记 A 的逆矩阵为 A1,A1B.(2)逆矩阵的求法:一般地,对于二阶可逆矩阵 A(detAadbc0),它a b c d的逆矩阵为A1.dadbc badbc cadbc aadbc(3)逆矩阵与二元一次方程组:如果关于变量 x,y 的二元一次方程组Error!的系数矩阵 A可逆,那么该方程组有唯一解1,a b c dx y a b c d m n其中 A1.dadbc badbc cadbc aadbc3二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设 A 是一个二阶矩阵,如果对于实数 ,存在一个非零向量 ,使得 A,那
4、么 称为 A 的一个特征值,而 称为 A 的一个属于特征值 的一个特征向量(2)特征多项式与特征方程设 是二阶矩阵 A的一个特征值,它的一个特征向量为 ,则a b c dx yA,x yx y即满足二元一次方程组Error!x y故Error!(*)a b c dx y 0 0则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式0.记 f()为矩阵 A的特征多项式;方程|a b c d|a b c d|a b c d0,即 f()0 称为矩阵 A的特征方程|a b c d|a b c d(3)特征值与特征向量的计算如果 是二阶矩阵 A 的特征值,则 是特征方程 f()2(ad)|a b c d|
5、adbc0 的一个根解这个关于 的二元一次方程,得 1、2,将 1、2分别代入方程组(*),分别求出它们的一个非零解Error!Error!记 1,2.x1 y1x2 y2则 A111、A222,因此 1、2是矩阵 A的特征值,a b c d1,2为矩阵 A 的分别属于特征值 1、2的一个特征向量x1 y1x2 y2诊 断 自 测1. _.1 0 0 1 5 7解析 .1 0 0 15 71 50 7 0 51 75 7答案 5 72若 A,B,则 AB_.12 12 12 1212 1212 12解析 AB12 12 12 1212 1212 12121212(12) 12(12)1212
6、121212(12) 12(12)1212.0 0 0 0答案 0 0 0 03设 A,B,则 AB 的逆矩阵为_1 0 0 10 1 1 0解析 A1,B11 0 0 10 1 1 0(AB)1B1A1 .0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0答案 0 1 1 04函数 yx2在矩阵 M变换作用下的结果为_1 00 14解析 xx,y4y,1 00 14x yx 14yx y代入 yx2,得 y x2,即 y x2.1414答案 y x2145若 A,则 A 的特征值为_1 5 6 2解析 A 的特征多项式 f()|1 5 6 2|(1)(2)302328(7)(4),A 的特征值为
7、 17,24.答案 7 和4考点一 矩阵与变换【例 1】 (2014苏州市自主学习调查)已知 a,b 是实数,如果矩阵 M所2 a b 1对应的变换将直线 xy1 变换成 x2y1,求 a,b 的值解 设点(x,y)是直线 xy1 上任意一点,在矩阵 M 的作用下变成点(x,y),则 ,2 a b 1 x y x y所以Error!因为点(x,y),在直线 x2y1 上,所以(22b)x(a2)y1,即Error!所以Error!规律方法 理解变换的意义,掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键,利用待定系数法,构建方程是解决此类题的关键【训练 1】 已知变换 S 把平面上的点 A(3,0),B(2
8、,1)分别变换为点 A(0,3),B(1,1),试求变换 S 对应的矩阵 T.解 设 T,则 T: ,解得Error!a c b d3 0 x y a c b d 3 0 3a 3b 0 3T: ,2 1 x y a c b d 2 1 2ac 2bd 1 1解得Error!综上可知 T.0 1 1 3考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组【例 2】 已知矩阵 M所对应的线性变换把点 A(x,y)变成点 A(13,5),2 3 1 1试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标解 依题意得由 M,得|M|1,2 3 1 1故 M1.1 3 1 2从而由得,故2 3 1 1x y135x y11 321351
9、 133 5 1 132 5 2 3Error!A(2,3)为所求规律方法 求逆矩阵时,可用定义法解方程处理,也可以用公式法直接代入求解在求逆矩阵时要重视(AB)1B1A1性质的应用【训练 2】 已知矩阵 A,21 32(1)求矩阵 A 的逆矩阵;(2)利用逆矩阵知识解方程组Error!解 (1)法一 设逆矩阵为 A1,ac bd则由,得Error!21 32ac bd 10 01解得 Error!A1.21 32法二 由公式知若 A,ac bd 21 32(2)已知方程组Error!可转化为Error!即 AXB,其中 A,X,B,且由(1),21 32xy13得 A1.21 32因此,由
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- 高考 理科 数学 一轮 矩阵 变换
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