BG第三十一讲 直线的方程.doc
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1、 高考数学一轮第三十一讲 第 1 页共 11 页 第三十一讲 直线的方程考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、直线的倾斜角和斜率及直线方程1直线的倾斜角与斜率(1)定义:当直线 与轴相交时,取轴作为基准,轴正向与直线 向上方向之间所lxxxl成的角叫做直线 的倾斜角当直线 与轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0.llx(2)范围:直线 倾斜角的取值范围是l0, )2斜率公式(1)直线 的倾斜角为,则斜率l90tank(2),在直线 上,且,则 的斜率111( ,)P x y222(,)P xyl12xxl2121yykxx3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式00()yyk
2、xx不含直线0xx斜截式ykxb不含垂直于轴的直线x两点式112121yyxx yyxx不含直线()和1xx12xx直线()1yy12yy截距式1xy ab不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式,0AxByC220AB平面内所有直线都适用二、两直线的位置关系1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线,若其斜率分别为,则有1l2l1k2k12ll12kk当直线,不重合且斜率都不存在时,1l2l12ll(2)两条直线垂直如果两条直线,的斜率存在,设为,则有1l2l1k2k12ll121k k 当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为 0 时,12ll2两条直线的交点的求
3、法高考数学一轮第三十一讲 第 2 页共 11 页 直线:,: (,1l1110AxB yC2l2220A xB yC1A1B1C2A2B为常数),则与的交点坐标就是方程组的解2C1l2l1112220 0AxB yC A xB yC 3距离,两点之间的距离111( ,)P x y222(,)P xy12|PP22 2121()()dxxyy点到直线 :的00(,)P xyl0AxByC距离0022|AxByCd AB 平行线与10AxByC间的距离20AxByC1222|CCd AB 【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、直线的倾斜角与斜率1理解倾斜角的概念要注意三点:(1)直线向上的方
4、向; (2)与轴的正方向;(3)所x成的最小正角2直线都有倾斜角,但不一定有斜率(当直线与轴垂直时,即倾斜角为时,斜x2率不存在) 它们的关系是,时,为增函数tank0,)(, )22k二、直线方程求直线方程的一般方法:1直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线的方程2待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代入求出直线方程,【提示】(1)在求直线方程时,要注意不同形式方程表示直线的局限性,例如用斜截式方程,必须要斜率和截距都存在ykxbkb(2)截距和距离的区别:截距可为一切实数,纵截距是直线与轴的交点的纵坐标,横y截距是直线与轴的交点的横坐标,而距离是
5、一个非负数x(3)在设直线的斜率为时,就是默认了直线的斜率存在倘若符合题意的直线的斜率k可以不存在,我们的解题便有明显的漏洞,补救的办法是检验当斜率不存在时是否符合题意但我们也看到,有时候又不需要做这样的补救,那么,如何判断该不该“补救”呢?高考数学一轮第三十一讲 第 3 页共 11 页 看图!在很多情况下,图会“提醒”我们三、两条直线的位置关系斜截式一般式方程,11yk xb22yk xb,1110AxB yC2220A xB yC相交12kk12210ABA B垂直121k k 12120A AB B平行且12kk12bb或122121120 0ABA B B CBC 122112210
6、0ABA B ACA C 重合且12kk12bb12212112ABA BB CBC12210ACA C【提示】用直线的一般式判断两条直线的位置关系,表中给出了判断两条直线相交、平行、重合的等价条件,当时,一般用来判断两条直线相交;用2220A B C 1122AB AB来判断两条直线平行;用来判断两条直线重合上述比例关111222ABC ABC111222ABC ABC系不是判断两条直线相交、平行、重合的等价条件四、距离1求解点到直线的距离问题时,直线方程要化成一般式2两条平行线,间的距离也可利用点到直线的距10AxByC20AxByC离来求,1222|CCd AB 【提示】两条平行直线间的
7、距离公式,要注意对应的,项的系数必须相同xy五、对称1点关于点的对称问题点关于点的对称点为00(,)P xy( , )A a b00(2,2)Paxby2点关于直线的对称问题高考数学一轮第三十一讲 第 4 页共 11 页 设点关于直线的对称点为,00(,)P xyykxb( ,)P x y则有,可求出、0000122yykxxyyxxkb xy特殊地,点关于直线的对称点为;点关于直00(,)P xyxa00(2,)Paxy00(,)P xy线的对称点为yb00(,2)P xby考点分类精讲考点考点 1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率1求直线的倾斜角与斜率2直线的倾斜角与斜率相互转化3直线
8、的倾斜角与斜率的应用【例 1】若圆上至少有三个不同的点到直线 :的距2244100xyxyl0axby离为,则直线 的倾斜角的取值范围是( )2 2lA B C D ,12 45,12 12,6 3 0,2【解析】圆整理为,圆心坐标为2244100xyxy222(1)(2)(3 2)xy(2,2),半径为,要求圆上至少有三个不同的点到直线 :的距离为3 2l0axby,则圆心到直线的距离应小于等于,2 22 22|22 |2abab,2( )4( ) 10aa bb 2323a b ,直线 的倾斜角的取值范围是,选akb 2323kl5,12 12B【例 2】在直角坐标系中,点与点关于原点对称
9、,点在抛物xOyB( 1,0)A O00(,)P xy线上,且直线与的斜率之积等于 2,则= 24yxAPBP0x高考数学一轮第三十一讲 第 5 页共 11 页 【解析】易知点,则,得(1,0)B0000211PAPByykkxx22 0022yx又点在抛物线上,所以00(,)P xy24yx2 004yx联立,得,解得(舍去)或2 00224xx012x 012x 点拨:当斜率表达式中含有字母又需求直线的倾斜角范围时,应先求斜率的范围,再利用正切函数的单调性来解决倾斜角的取值范围问题本题关键在于将条件“圆上至少有三个不同的点到直线 :的距离为”转化为弦心距,可借助数形l0axby2 22d
10、结合的思想方法来理解当直线的倾斜角从 0 开始逐步增大时,斜率也在逐步增大,当倾斜角无限靠近时,2斜率是无穷大;当倾斜角等于时,斜率不存在;当倾斜角再逐步增大时,斜率将从负无2穷大逐渐增大,直至为 0这是倾斜角与斜率之间的变化关系,在求解涉及倾斜角与斜率的问题时,一般都要应用这个关系,因此它们之间的这种变化,我们必须熟悉考点考点 2 直线的方程直线的方程1求直线的方程2已知直线方程求直线斜率与直线在坐标轴上的截距3与直线方程有关的综合问题【例 3】过点作圆2211xy的两条切线,切点分别为,则直线的方(3,1)ABAB程为A230xyB230xyC430xyD430xy【解析】根据平面几何知识
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