BL第三十六讲 曲线与方程和圆锥曲线综合问题.doc
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1、高考数学一轮第三十六讲 第 1 页共 22 页 第三十六讲 曲线与方程和圆锥曲线综合问题考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、曲线与方程和曲线的交点1在直角坐标系中,如果某曲线上的点与一个二元方程的实数解建立C( , )0f x y 了如下的关系:曲线上的点的坐标都是这个方程的解以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线2求曲线方程的基本步骤建系设点:建立恰当的平面直角坐标系,设出曲线上任一点的坐标;( , )x y列式:找到动点和已知点、线满足的关系式;代点:用动点的坐标表示以上等量关系,列出方程;( , )x y化简;把以上方程
2、化简;证明:证明所得方程为所求曲线的轨迹方程【提示】求点的轨迹与求轨迹方程是不同的,求轨迹时,应先求轨迹方程,然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等3由曲线的定义可知,两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程组成方程组的解反过来,方程组有几对解,两条曲线就有几个交点;方程组无解,两条曲线就没有交点;即两条曲线有交点的充要条件是它们的方程组成的方程组有实数解,可见,求曲线的交点问题,就是求由它们组成方程组的实数解问题既然曲线的交点问题需转化为二元方程组的求解问题,那么,解二元方程组的一切思路方法和相关知识(如一元二次万程的判别式、根与系数的关系等) ,都是求两曲线交点的基本依据和方法关于曲线的交点
3、问题,通常表现为两种类型:一是判定两曲线是否存在交点;二是求解交点及和交点有关的问题,在解决这些问题时,除要用到方程(组)的方法及相关知识外,有时还需综合运用各种曲线自身所具有的某些几何性质二、直线与圆锥曲线的位置关系1判断直线与圆锥曲线的位置关系,通常是将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一高考数学一轮第三十六讲 第 2 页共 22 页 个变量得到关于(或)的一元方程:(或) xy20axbxc20aybyc当,可考虑一元二次方程的判别式,有0a a0直线与圆锥曲线相交且有两个交点;b=0直线与圆锥曲线相切且仅有一个交点;c0直线与圆锥曲线相离,无交点当,时,即得到一个一元一次方程,则直线 与
4、圆锥曲线相交,且只0a 0b lE有一个交点a若为双曲线,则直线 与双曲线的渐近线的位置关系是平行(或重合) ;Elb若为抛物线,则直线 与抛物线的对称轴的位置关系是平行(或重合) El2求圆锥曲线的弦长问题的一般思路:将直线方程代入圆锥曲线方程,消去(或)yx后,得到关于(或)的一元二次方程(或) ,再由弦xy20axbxc20aybyc长公式求出其弦长2 121221|1|1|ABkxxyyk在求时,可直接剩用公式求得此外,还可以利用12|xx2124|bacxxa圆锥曲线的统一定义及几何方法求其弦长,的求解,通常利用根与系数的关系,即12|xx12|yy,2 121212|()4xxxx
5、x x2 121212|()4yyyyy y【提示】若直线过定点,可设直线方程为(这时斜率为) ( ,0)axmyn1 m3直线与圆锥曲线的弦长问题,较少单独考查弦长的求解,一般是已知弦长的信息求参数或直线、圆锥曲线的方程解此类题的关键是设出交点的坐标,利用根与系数的关系得到弦长,将已知弦长的信息代入求解【提示】与抛物线焦点弦长有关的问题,要注意应用抛物线的定义【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、求曲线的轨迹方程1直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程的一般步骤:a建立恰当的坐标系,设动点坐标;( , )x y高考数学一轮第三十六讲 第 3 页共 22 页 b列出几何等量关系式;c将坐标条件
6、变为方程;( , )0f x y d变方程为最简方程;c检验,就是要检验点的轨迹的纯粹性与完备性运用直接法应注意的问题a在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同解性,此时就要补上遗漏的点或删除多余的点,这是不能忽视的b若方程的化简过程是恒等变形,则最后的验证可以省略2定义法求轨迹方程求轨迹方程时,若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可直接根据定义先确定轨迹类型,再写出其方程,这种求轨迹方程的方法叫作定义法,其关键是理解解析几何中有关曲线的定义利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对
7、其中的变量或进行限制xy3相关点法(亦称代入法)求轨迹方程有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的:这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做代入法,又叫相关点法或坐标代换法【提示】用代入法求轨迹方程是将、表示成、的式子,同时注意、的xyxyxy限制条件轨迹方程实质上是动点的横、纵坐标所满足的方程,因此探求轨迹方程,实质上是寻求动点坐标所满足的等量关系,这就需要我们在具体情境中挖掘其等量关系,从而找到动点坐标所满足的方程此法的特点是
8、,动点随已知曲线上的点的运动而运动,则点的坐标取决( , )M x yM于已知曲线上的点的坐标,可先用、来表示、,再代入曲线的方程C( ,)x yxyxyC,即得点的轨迹方程( ,)0f x y M用相关点法求轨迹方程的关键是寻求关系式:,然后代( , )xf x y ( , )yg x y 高考数学一轮第三十六讲 第 4 页共 22 页 入已知曲线求对称曲线(轴对称、中心对称等)的方程实质上也是用代入法(相关点)解题二、弦中点问题1求解弦的中点问题的常用方法根与系数的关系法:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解“点差法”:若直
9、线 与圆锥曲线有两个交点和,一般地,首先设出交点坐lCAB标,代入曲线方程,通过作差,构造出,11( ,)A x y22(,)B xy12xx12yy12xx,从而建立了中点坐标和斜率的关系12yy【提示】一般地,设为弦的中点00(,)M xyAB若是椭圆的一条弦,则;若是双曲线AB22221(0)xyabab2 0 2 0ABxbkay AB的一条弦,则;若是抛物线的22221(0,0)xyabab2 0 2 0ABb xka yAB22(0)ypx p一条弦,则0ABpky2对于弦中点问题,主要的解题方法是平方差法,其解题步骤:设点:即设出弦的两端点坐标;代入:即代入圆锥曲线方程;作差:即
10、两式相减,再用平方差公式把上式展开;整理:即转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解三、圆锥曲线中的定位与定点问题1圆锥曲线中的定点、定值问题的常用解题方法直接推理、计算,并在计算、推理的过程中消去变量,从而得到定点或定值;从特殊情况入手,求出定点或定值,再证明定点或定值与变量无关2求解定点问题的基本思路与方法把直线或者曲线方程中的变量,当作常数看待,把常量当作未知数,将方程一xy高考数学一轮第三十六讲 第 5 页共 22 页 端化为 0,即化为的形式(这里把常量当作未知数) ( , )( , )0kf x yg x yk既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于
11、 0,这样就得到一个关于,的方程组,即xy( , )0 ( , )0f x y g x y 这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,即满足:的( , )0 ( , )0f x y g x y 点为直线或曲线所过的定点00(,)xy3求解定值问题的基本思路与方法首先求出这个几何量或代数表达式;对表达式进行化简,整理成的最简形式;( , , )yf m n k根据已知条件列出必要的方程(或不等式) ,消去参数,最后求出定值,一般是根据已知条件列出方程,代入,得到(为常数)( , )kg m n( , , )yf m n k( , )yh m ncc的形式4解析几何中的定值问题的证明可运用
12、函数的思想方法来解决,其证明过程可总结为“变量函数定值” ,具体操作程序如下:变量选择适当的量作为变量;函数把要证明为定值的量表示成上述变量的函数;定值把得到的函数解析式化简,消去变量,得到定值5设而不求与整体代入的技巧与方法解析几何的运算具有明确的几何意义,是带有几何特色的代数计算,在处理圆锥曲线中的“中点弦”有关问题时,常用中点公式、韦达定理整体代入法使问题得到解决6要重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程的目的【提示】求解此类问题要做到五个“不”:不能缺少;不能忽略直线的斜率;不能小视“基本”变形;不24bac 能弱化几何证明;不能忘记解题结论四、圆锥曲线中的最
13、值与取值范围问题与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题的常见类型及求解方法高考数学一轮第三十六讲 第 6 页共 22 页 与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题,通常有两类:一类是有关长度或面积的最值或取值范围问题;一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值或取值范围问题,求解时有以下两种解法:1代数法:将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数) ,再求这个函数的最值或取值范围,常从以下五个方面考虑:利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;利
14、用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;用函数的值域的求法,确定参数的取值范围,2几何法:若问题的条件和结论能明显地体现曲线的几何特征,则利用图形的性质和数形结合思想来解决最值或取值范围问题3这类问题的求解策略与方法介绍如下:平面几何法平面几何法求最值问题,主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题,是常规方法,其关键是选取适当的变量建立目标函数,然后运用求函数最值的方法确定最值判别式法圆锥曲线定义的应用a运用圆锥曲线的定义解题常使用于:1)求轨迹问题;2)求曲线上某些特殊的点的坐标;3)过焦点的弦长、焦半径b要注意不断总结和积累应用
15、圆锥曲线的定义解题的经验,以提高灵活运用定义解题的能力1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程,写出所求的轨迹方程;若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定的轨迹,则利用圆锥曲线的定义列出等式,化简高考数学一轮第三十六讲 第 7 页共 22 页 2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题,常用第一定义结合正弦定理或余弦定理来解决问题;涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者,常用统一定义解决问题3)研究有关点间的距离的最值问题时,常用第一定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用第二定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到其相
16、应准线的距离,再从几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题,4求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似,求最值常见的解法有两种:代数法和几何法若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题【提示】求最值问题时,一定要注意特殊情况的讨论,如直线斜率不存在的情况,二次三项式最高次项的系数的讨论等五、与圆锥曲线有关的存在性问题存
17、在性问题的求解方法1解决存在性问题通常采用“肯定顺推法” ,将不确定性问题明朗化一般步骤:假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在,用待定系数法设出;列出关于待定系数的方程(组) ;若方程(组)有实数解,则曲线(或直线、点等)存在,否则不存在2反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法(1)探索性问题是指结论或者条件不完备的试题,这类试题不给出确定的结论,让考生根据题目的条件进行分析判断作出确定的结论这类试题对考生分析问题、解决问题的能力有较高要求,是高考压轴的一类热点题型3探索性问题的解题步骤首先假设所探求的问题结论成立、存在等,在这个假设下进行推理论证,如果得到了一个合情合理的推理结果,就肯
18、定假设,对问题作出正面回答;如果得到一个矛盾的结果,就否定假设,对问题作出反面回答在这个解题思想指导下解决探索陆问题与解决具有明确结论性的问题就没有什么差别具体操作程序:高考数学一轮第三十六讲 第 8 页共 22 页 a先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参数的方程或不等式(组) b解此方程或不等式(组) ,若有解即存在,若无解则不存在,4解答此类问题要充分注意解题的规范性,防止无谓失分,5高考解析几何综合试题主要考查解决直线与圆锥曲线位置关系、轨迹方程和探索性等问题的思想方法为此,我们应掌握圆锥曲线的定义、性质、明确解决直线与圆锥曲线位置关系的思想方法,把握曲线轨迹方程的各种求法,沟
19、通知识间的横纵联系,借助方程理论、不等式性质、向量工具和数形结合、化归转化等思想方法,就能从容应对高考考点分类精讲考点考点 1 求曲线的轨迹方程求曲线的轨迹方程1利用直接法求曲线方程2利用其他方法求曲线方程【例 1】已知圆M:22(1)1xy,圆N:22(1)9xy,动圆P与M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C(1)求的方程;C(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线交于,两点,当圆P的半CAB径最长时,求|AB【解析】由已知得圆M的圆心为,半径1r=1,圆N的圆心为,半径( 1,0)M (1,0)N2r=3设动圆P的圆心为,半径为( , )P x yR(1)圆P与圆M外切且与圆
20、N内切,=12()()RrrR=12rr=4,|PMPN由椭圆的定义可知,曲线是以M,N为左右焦点,长半轴长为2,短半轴长为C3的椭圆(左顶点除外),其方程为22 1(2)43xyx .(2)对于曲线上任意一点,由于=22R2,2,C( , )P x y|PMPNR当且仅当圆P的圆心为时,=2(2,0)R高考数学一轮第三十六讲 第 9 页共 22 页 当圆P的半径最长时,其方程为22(2)4xy,当l的倾斜角为时,则l与y轴重合,可得=2 390|AB当l的倾斜角不为时,由知l不平行x轴,设l与x轴的交点为,901rRQ则| |QP QM=1R r,可求得,( 4,0)Q 设l:(4)yk x
21、,由l于圆M相切得 2|3 |1 1kk ,解得2 4k 当k=2 4时,将224yx代入22 1(2)43xyx 并整理得27880xx,解得1,2x=46 2 7 ,=2 121|kxx=18 7|AB当k=2 4时,由图形的对称性可知=187,|AB综上,=187或=2 3|AB|AB【例 2】已知椭圆:的两个焦点分别为,且C)0( 12222 baby ax1( 10)F ,210F( , )椭圆经过点C),31 34(P(1)求椭圆的离心率;C(2)设过点的直线 与椭圆交于,两点,点是上的点,且0 2A ( ,)lCMNQMN,求点的轨迹方程222112ANAMAQQ【解析解析】(1
22、)由椭圆定义知,所以.122|aPFPF22224141112 233332a 又由已知,所以椭圆的离心率.1c C12 22cea(2)由(1)知,椭圆的方程为y21C22x高考数学一轮第三十六讲 第 10 页共 22 页 设点的坐标为Q( , )x y()当直线 与轴垂直时,直线 与椭圆交于,两点,lxlC(0,1)(0, 1)此时点的坐标为Q3 50,25()当直线 与轴不垂直时,设直线 的方程为.lxl2ykx因为,在直线 上,可设点,的坐标分别为,MNlMN11( ,2)x kx 22(,2)x kx 则,222 1|(1)AMkx222 2|(1)ANkx又22222|(2)(1)
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