2019年度全国中考'数学(续61套-)压轴题分类解析汇编专题栏目9.几何综合问题.doc
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1、20192019 年全国中考数学(续年全国中考数学(续 6161 套)压轴题分类解析汇编套)压轴题分类解析汇编专题 9:几何综合问题24. (2018 湖北恩施 12 分)如图,AB 是O 的弦,D 为 OA 半径的中点,过 D 作 CDOA 交弦 AB 于点 E,交O 于点 F,且 CE=CB(1)求证:BC 是O 的切线;(2)连接 AF,BF,求ABF 的度数;(3)如果 CD=15,BE=10,sinA=,求O 的半径5 13【答案】解:(1)证明:连接 OB,OB=OA,CE=CB,A=OBA,CEB=ABC。又CDOA,A+AED=A+CEB=90。OBA+ABC=90。OBBC。
2、BC 是O 的切线。(2)连接 OF,AF,BF,DA=DO,CDOA,OAF 是等边三角形。AOF=60。ABF=AOF=30。1 2(3)过点 C 作 CGBE 于点 G,由 CE=CB,EG=BE=5。1 2易证 RtADERtCGE,sinECG=sinA=,5 13。EG5CE=135sin ECG 13。2222CGCEEG13512又CD=15,CE=13,DE=2,由 RtADERtCGE 得,即,解得。ADDE CGGEAD2 12524AD5O 的半径为 2AD=。48 5【考点】等腰(边)三角形的性质,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,圆周角定理,勾股定理,相似三角形的
3、判定和性质,锐角三角函数定义。【分析】 (1)连接 OB,有圆的半径相等和已知条件证明OBC=90即可证明 BC 是O 的切线。(2)连接 OF,AF,BF,首先证明OAF 是等边三角形,再利用圆周角定理:同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出ABF 的度数。(3)过点 C 作 CGBE 于点 G,由 CE=CB,可求出 EG=BE=5,由 RtADERt1 2CGE 和勾股定理求出 DE=2,由 RtADERtCGE 求出 AD 的长,从而求出O 的半径。25. (2018 黑龙江哈尔滨 10 分)已知:在ABC 中,ACB=900,点 P 是线段 AC 上一点,过点 A 作 AB 的垂
4、线,交 BP 的延长线于点 M,MNAC 于点 N,PQAB 于点 Q,A0=MN(1)如图 l,求证:PC=AN;(2) 如图 2,点 E 是 MN 上一点,连接 EP 并延长交 BC 于点 K,点 D 是 AB 上一点,连接DK,DKE=ABC,EFPM 于点 H,交 BC 延长线于点 F,若 NP=2,PC=3,CK:CF=2:3,求DQ 的长【答案】解:(1)证明:BAAM,MNAP,BAM=ANM=90。PAQ+MAN=MAN+AMN=90,PAQ=AMN。PQAB MNAC,PQA=ANM=90。AQ=MN。AQPMNA(ASA) 。AN=PQ,AM=AP。AMB=APM。APM=
5、BPCBPC+PBC=90,AMB+ABM=90,ABM=PBC。PQAB,PCBC,PQ=PC(角平分线的性质) 。PC=AN。(2)NP=2 PC=3,由(1)知 PC=AN=3。AP=NC=5,AC=8。AM=AP=5。22AQMNAMAN4PAQ=AMN,ACB=ANM=90,ABC=MAN。MN 4tan ABCtan MANAN3,BC=6。ACtan ABCBCNEKC,PEN=PKC。又ENP=KCP,PNEPCK。NENP CKPCCK:CF=2:3,设 CK=2k,则 CF=3k。,。NE2 2k34NEk3过 N 作 NTEF 交 CF 于 T,则四边形 NTFE 是平行
6、四边形。NE=TF=,CT=CFTF=3k。4k345k=k33EFPM,BFH+HBF=90=BPC+HBF。BPC=BFH。EFNT,NTC=BFH=BPC。BCtan NTCtan BPC2PC,。NCtan NTC2CT15CTNC=22CT= 。 。CK=2=3,BK=BCCK=3。55k=323k=23 2PKC+DKC=ABC+BDK,DKE=ABC,BDK=PKC。tanBDK=1。PCtan PKC1KC过 K 作 KGBD 于 G。tanBDK=1,tanABC=,设 GK=4n,则 BG=3n,GD=4n。4 3BK=5n=3,n=。BD=4n+3n=7n=。3 521
7、5,AQ=4,BQ=ABAQ=6。22ABACBC10DQ=BQBD=6。219=55【考点】相似形综合题,全等三角形的判定和性质,角平分线的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,解直角三角形。【分析】 (1)确定一对全等三角形AQPMNA,得到 AN=PQ;然后推出 BP 为角平分线,利用角平分线的性质得到 PC=PQ;从而得到 PC=AN。(2)由已知条件,求出线段 KC 的长度,从而确定PKC 是等腰直角三角形;然后在BDK 中,解直角三角形即可求得 BD、DQ 的长度。26. (2018 湖北十堰 10 分)如图 1,O 是ABC 的外接圆,AB 是直径,
8、ODAC,且CBD=BAC,OD 交O 于点 E(1)求证:BD 是O 的切线;(2)若点 E 为线段 OD 的中点,证明:以 O、A、C、E 为顶点的四边形是菱形;(3)作 CFAB 于点 F,连接 AD 交 CF 于点 G(如图 2) ,求的值FG FC【答案】解:(1)证明:AB 是O 的直径,BCA=90。ABC+BAC=90。又CBD=BAC,ABC+CBD=90。ABD=90。OBBD。BD 为O 的切线。(2)证明:如图,连接 CE、OC,BE, OE=ED,OBD=90,BE=OE=ED。OBE 为等边三角形。BOE=60。又ODAC,OAC=60。又OA=OC,AC=OA=O
9、E。ACOE 且 AC=OE。四边形 OACE 是平行四边形。而 OA=OE,四边形 OACE 是菱形。(3)CFAB,AFC=OBD=90。又ODAC,CAF=DOB。RtAFCRtOBD。,即。FCAF BDOBBD AFFCOB又FGBD,AFGABD。,即。FGAF BDABBD AFFGAB。FGOB1 FCAB2【考点】圆的综合题,圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,直角三角形斜边上的中线性质,等边三角形的判定和性质,平行的判定和性质,菱形的判定,相似三角形的判定和性质。【分析】 (1)由 AB 是O 的直径,根据直径所对的圆周角为直角得到BCA=90,则ABC+BAC
10、=90,而CBD=BA,得到ABC+CBD=90,即 OBBD,根据切线的判定定理即可得到 BD 为O 的切线。(2)连接 CE、OC,BE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED,则OBE 为等边三角形,于是BOE=60,又因为 ACOD,则OAC=60,AC=OA=OE,即有 ACOE 且 AC=OE,可得到四边形 OACE 是平行四边形,加上 OA=OE,即可得到四边形 OACE 是菱形。(3)由 CFAB 得到AFC=OBD=90,而 ODAC,则CAF=DOB,根据相似三角形的判定易得 RtAFCRtOBD,则有,即,再由 FGBD 易证得FCAF BDOBBD
11、 AFFCOBAFGABD,则,即,然后求 FG 与 FC 的比即可。FGAF BDABBD AFFGAB27. (2018 江苏镇江 11 分)等边ABC 的边长为 2,P 是 BC 边上的任一点(与 B、C 不重合) ,连接 AP,以 AP 为边向两侧作等边APD 和等边APE,分别与边 AB、AC 交于点M、N(如图 1) 。(1)求证:AM=AN;(2)设 BP=x。若,BM=,求 x 的值;3 8记四边形 ADPE 与ABC 重叠部分的面积为 S,求 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的最小值;连接 DE,分别与边 AB、AC 交于点 G、H(如图 2) ,当 x 取何值时,BA
12、D=150?并判断此时以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理由。【答案】解:(1)证明:ABC、APD 和APE 都是等边三角形,AD=AP,DAP=BAC=600,ADM=APN=600。DAM=PAN。ADMAPN(ASA) ,AM=AN。(2)易证BPMCAP,BMBP CPCABN=,AC=2,CP=2x,即。3 83 x8 2x224x8x+3=0解得 x=或 x=。1 23 2四边形 AMPN 的面积即为四边形 ADPE 与ABC 重叠部分的面积。ADMAPN,。ADMAPNSS。APMANPAPMADMADPAMPNSSS SSS四四 边如图,
13、过点 P 作 PSAB 于点 S,过点 D 作 DTAP 于点 T,则点 T是 AP 的中点。在 RtBPS 中,P=600,BP=x,PS=BPsin600=x,BS=BPcos600=x3 21 2。AB=2,AS=ABBC=2x。1 222 222213APASPS2x+x=x2x+4 22四。2 ADP1133SAP DTAPAP=AP2224。222 ADPAMPN3333 3SSSAPx2x+4x1+0x24444四四 边当 x=1 时,S 的最小值为。3 3 4连接 PG,设 DE 交 AP 于点 O。若BAD=150,DAP =600,PAG =450。APD 和APE 都是等
14、边三角形,AD=DP=AP=PE=EA。四边形 ADPE 是菱形。DO 垂直平分 AP。GP=AG。APG =PAG =450。PGA =900。设 BG=t,在 RtBPG 中,B=600,BP=2t,PG=。AG=PG=。3t3t,解得 t=1。BP=2t=22。3t+t=233当 BP=22 时,BAD=150。3猜想:以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。四边形 ADPE 是菱形,AODE,ADO=AEH=300。BAD=150,易得AGO=450,HAO=150,EAH=450。设 AO=a,则 AD=AE=2 a,OD=a。DG=DOGO=(1)a。33又B
15、AD=150,BAC=600,ADO=300,DHA=DAH=750。DH=AD=2a,GH=DHDG=2a(1)a=(3)a,33HE=2DODH=2a2a=2(1)a。33,22222DGGH31 a+33 a= 168 3 a,222HE231 a= 168 3 a。222DGGHHE以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,二次函数的最值,菱形的判定和性质,勾股定理和逆定理。【分析】 (1)由ABC、APD 和APE 都是等边三角形可得边角
16、的相等关系,从而用 ASA证明。(2)由BPMCAP,根据对应边成比例得等式,解方程即可。应用全等三角形的判定和性质,锐角三角函数和勾股定理相关知识求得,ADPAMPNSS四四 边 用 x 的代数式表示 S,用二次函数的最值原理求出 S 的最小值。由BAD=150得到四边形 ADPE 是菱形,应用相关知识求解。求出 DG、GH、HE 的表达式,用勾股定理逆定理证明。28. (2018 福建三明 14 分)在正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,点 P 在线段 BC上(不含点 B) ,BPEACB,PE 交 BO 于点 E,过点 B 作 BFPE,垂足为 F,交 AC 于1 2点
17、 G(1) 当点 P 与点 C 重合时(如图) 求证:BOGPOE;(4 分)(2)通过观察、测量、猜想:= ,并结合图证明你的猜想;(5 分)BF PE(3)把正方形 ABCD 改为菱形,其他条件不变(如图) ,若ACB=,求的值 (用含 的式子表示) (5 分) BF PE【答案】解:(1)证明:四边形 ABCD 是正方形,P 与 C 重合,OB=OP , BOC=BOG=90。PFBG ,PFB=90,GBO=90BGO,EPO=90BGO。GBO=EPO 。BOGPOE(AAS) 。(2)。证明如下:BF1 PE2如图,过 P 作 PM/AC 交 BG 于 M,交 BO 于 N,PNE
18、=BOC=900, BPN=OCB。OBC=OCB =450, NBP=NPB。NB=NP。MBN=900BMN, NPE=900BMN,MBN=NPE。BMNPEN(ASA) 。BM=PE。BPE=ACB,BPN=ACB,BPF=MPF。1 2PFBM,BFP=MFP=900。又PF=PF, BPFMPF(ASA) 。BF=MF ,即 BF=BM。1 2BF=PE, 即。1 2BF1 PE2(3)如图,过 P 作 PM/AC 交 BG 于点 M,交 BO 于点 N,BPN=ACB=,PNE=BOC=900。由(2)同理可得 BF=BM, MBN=EPN。 1 2BNM=PNE=900,BMN
19、PEN。BMBN PEPN在 RtBNP 中, ,即。BNtan=PNBM=tanPE2BF=tanPE。BF1=tanPE2【考点】几何综合题,正方形和菱形的性质,平行的性质,全等、相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。【分析】 (1)由正方形的性质可由 AAS 证得BOGPOE。(2)过 P 作 PM/AC 交 BG 于 M,交 BO 于 N,通过 ASA 证明BMNPEN 得到BM=PE,通过 ASA 证明BPFMPF 得到 BF=MF,即可得出的结论。BF1 PE2(3)过 P 作 PM/AC 交 BG 于点 M,交 BO 于点 N,同(2)证得 BF=BM, 1 2MBN=EPN
20、,从而可证得BMNPEN,由和 RtBNP 中即可求得BMBN PEPNBNtan=PN。BF1=tanPE229. (2018 辽宁沈阳 12 分)已知,如图,MON=60,点 A,B 为射线 OM,ON 上的动点(点 A,B 不与点 O 重合) ,且 AB=,在MON 的内部、AOB 的外部有一点 P,且34AP=BP,APB=120.(1)求 AP 的长;(2)求证:点 P 在MON 的平分线上;(3) 如图,点 C,D,E,F 分别是四边形 AOBP 的边 AO,OB,BP,PA 的中点,连接CD,DE,EF,FC,OP.当 ABOP 时,请直接写出四边形 CDEF 的周长的值;若四边
21、形 CDEF 的周长用 t 表示,请直接写出 t 的取值范围【答案】解: (1) 过点 P 作 PQAB 于点 Q PA=PB,APB=120 ,AB=4,3AQ=AB=4=2 ,APQ=APB=120=60。1 21 2331 21 2在 RtAPQ 中, sinAPQ=AQ APAP= 4。AQ2 32 3 sinAPQsin603 2(2)证明:过点 P 分别作 PSOM 于点 S, PTON 于点 T,OSP=OTP=90。在四边形 OSPT 中,SPT=360-OSP-SOT-OTP=360-90-60-90=120,APB=SPT=120。 APS=BPT。又ASP=BTP=90,
22、 AP=BP,APSBPT(AAS) 。 PS=PT。点 P 在MON 的平分线上。(3) 8+4 4+4t8+4。333【考点】等腰三角形的,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,多边形内角和定理,全等三角形的判定和性质,点在角平分线上的判定,三角形中位线定理【分析】 (1)过点 P 作 PQAB 于点 Q根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知 AQ=BQ=AB,然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得 AP 的长度。1 2(2)作辅助线 PS、PT(过点 P 分别作 PSOM 于点 S,PTON 于点 T)构建全等三角形APSBPT;然后根据全等三角形的性质推知 PS=OT;最
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