(强推)空间向量与立体几何教案课件教材汇总.doc
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1、空间向量与立体几何空间向量与立体几何 一、知识网络:一、知识网络:空间 向量 与立 体几 何空 间 向 量 及 其 运 算立 体 几 何 中 的 向 量 方 法空间向量的加减运算空间向量的数乘运算空间向量的数量积运算空间向量的坐标运算共线向量定理共面向量定理空间向量基本定理平行与垂直的条件向量夹角与距离直线的方向向量与平面的法向量用空间向量证平行与垂直问题求空间角求空间距离二考纲要求:二考纲要求: (1)空间向量及其运算 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐 标表示; 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; 掌
2、握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量; 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) ; 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的 作用。 三、命题走向三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容,高考 对本章的考查形式为:以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和 距离。 预测 10 年高考对本章内容的考查将侧重于向量的
3、应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了 利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时第一课时 空间向量及其运算空间向量及其运算 一、复习目标:一、复习目标:1 1理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘; 2 2了解空间向量的 基本定理; 3 3掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量 的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的 共线与垂直。 二、重难点:二、重难点:理解空间向量的概念;掌握空
4、间向量的运算方法 三、教学方法:三、教学方法:探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程四、教学过程 (一)(一) 、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。 学生阅读复资 P128 页,教师点评,增强目标和参与意识。 (二)(二) 、知识梳理,方法定位。、知识梳理,方法定位。 (学生完成复资 P128 页填空题,教师准对问题讲评) 。 1空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一
5、向量或相等的向量。 说明:由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同 向且等长的有向线段表示;平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平 移。 2向量运算和运算率baABOAOBbaOBOABA)(RaOP加法交换率:. abba加法结合率:).()(cbacba数乘分配率:.)(baba说明:引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;向量加法 的平行四边形法则在空间仍成立。 3平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。abab注意:当我们
6、说、共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当ab我们说、平行时,也具有同样的意义。ab共线向量定理:对空间任意两个向量() 、,的充要条件是存在实数使aa0babba(1)对于确定的和,表示空间与平行或共线,长度为 |,当0 时与同向,abaaaa当的大小(其中 0 。abab)解析:(1)答案:13;解析:(2)=22=2|2|cos120abaabaaab=2425()=13。 (2)解:(1)|=|=1,x2 1+y2 1=1,x2 2=y2 2=1.21ab又与的夹角为4 ,=|cos4 =22 222111=26 .acacac又=x1+y1,x1+y1=2
7、6 。ac另外 x2 1+y2 1=(x1+y1)2-2x1y1=1,2x1y1=(26 )21=21 .x1y1=41 。(2)cos=x1x2+y1y2,由(1)知,x1+y1=26 ,x1y1=41 .ab | |babax1,y1是方程 x226 x+41 =0 的解. ,426,42611yx或 .426,42611yx同理可得 ,426,42622yx或 .426,42622yx, ,426,4261221yxyx或 .426,4261221yxyxabcos=426 426 +426 426 =41 +41 =21 .ab0,=3 。评述:本题考查向量数量积的运算法则。abab
8、题型题型 3 3:空间向量的应用:空间向量的应用例 4、 (1)已知 a、b、c 为正数,且 a+b+c=1,求证:113 a+113 b+113 c43。 (2)已知 F F1=i i+2j j+3k k,F F2=-2i i+3j j-k k,F F3=3i i-4j j+5k k,若 F F1,F F2,F F3共同作用于同一物体上,使物体从 点 M1(1,-2,1)移到点 M2(3,1,2),求物体合力做的功。解析:(1)设=(113 a,113 b,113 c),=(1,1,1),mn则|=4,|=3.mn|,mnmn=113 a+113 b+113 c|=43.mnmn当1131a
9、=1131b=1131c时,即 a=b=c=31 时,取“=”号。(2)解:W W=F Fs s=(F F1+F F2+F F3)21MM=14。点评:若=(x,y,z),=(a,b,c),则由|,得(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)mnmnmn(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查|的应用,解题时要先根据题设abab条件构造向量,然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。ab (三)(三) 、强化巩固训练、强化巩固训练1、(07 天津理,4)设、c c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则ab()()= | ()()不abccab 0ababb
10、cacab与垂直 (3+2) (32)=9|24|2中,是真命题的有( )cabababA. B. C. D. 解析:平面向量的数量积不满足结合律.故假;答案:D由向量的减法运算可知|、|、|恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边”abab,故真;因为()()=()()=0,所以垂直.故bcacabcbcaccabc假;(3+2) (32)=94=9|24|2成立.故真.ababaabbab点评:本题考查平面向量的数量积及运算律。2、已知O为原点,向量3,0,1 ,1,1,2 ,OAOBOCOA BC OA ,求AC 解:解:设, ,1,1,2OCx y zBCxyz ,,OCOA
11、BC OA ,0OC OA ,BCOAR ,30,1,1,23,0,1xzxyz,即30, 13 , 10, 2.xz x y z 解此方程组,得7211,1,101010xyz 。(四)(四) 、小结:、小结: (1) 共线与共面问题;(2) 平行与垂直问题;(3) 夹角问题;(4) 距离问题;运用向量 来解决它们有时会体现出一定的优势用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表 示,本节主要是用单位正交基底表示,就是适当地建立起空间直角坐标系,把向量用坐标表示,然后 进行向量与向量的坐标运算,最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系,从而使问题 得到解决在寻求向量间的数
12、量关系时,一个基本的思路是列方程,解方程 (五)(五) 、作业布置:、作业布置:课本 P56 页 A 组中 6、11、12、19 课外练习:课外练习:限时训练 53 中 2、4、7、9、10、12、14 五、教学反思:五、教学反思:第三课时第三课时 空间向量及其运算强化训练空间向量及其运算强化训练 一、复习目标:一、复习目标:1、了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示;2、 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;3、 掌握空间向量的数量积及其坐标 表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直;4、通过本课强化训练,使学生进一步熟练理解和 掌握上述
13、概念和运算方法,提高学生的灵活和综合运用能力。 二、重难点:二、重难点:空间向量及其运算的综合运用。 三、教学方法:三、教学方法:讲练结合,探析归纳。 四、教学过程四、教学过程 (一)(一) 、基础自测(分组训练、共同交流)、基础自测(分组训练、共同交流) 1.有 4 个命题: 若 p p=xa a+yb b,则 p p 与 a a、b b 共面;若 p p 与 a a、b b 共面,则 p p=xa a+yb b;若=x+y,则 P、M、A、B 共面;若 P、M、A、B 共面,则=x+y.MPMAMBMPMAMB 其中真命题的个数是( B ) 。A.1 B.2C.3D.4 2.下列命题中是真
14、命题的是( D )。 A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量 B.若|a a|=|b b|,则 a a,b b 的长度相等而方向相同或相反C.若向量,满足|,且与同向,则ABCDABCDABCDABCDD.若两个非零向量与满足+=0 0,则ABCDABCDABCD3.若 a a=(2x,1,3),b b=(1,-2y,9),且 a ab b,则( C) 。A.x=1,y=1B.x=,y=-21 21C.x=,y=-D.x=-,y=61 23 61 234.已知 A(1,2,3) ,B(2,1,2) ,P(1,1,2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,当取最
15、小值时,QAQB点 Q 的坐标是 . 答案 38,34,345.在四面体 O-ABC 中,=a a,=b b, =c c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则= (用OAOBOCOEa a,b b,c c 表示). 答案 a a+b b+c c21 41 41(二)(二) 、典例探析、典例探析例例 1 1、如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,设=a a,1AA=b b,=c c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1的中点,ABAD 试用 a a,b b,c c 表示以下各向量: (1);(2);(3)+.APNA1MP1NC解 (1)P 是 C1D1的中点,=
16、+=a a+=a a+c c+=a a+c c+b b.AP1AA11DAPD1AD21 11CD21AB21(2)N 是 BC 的中点,=+=-a a+b b+=-a a+b b+=-a a+b b+c c.NA1AA1ABBN21BC21AD21(3)M 是 AA1的中点,MP=MA+=+=-a a+(a a+c c+b b)= a a+b b+c c,AP21AA1AP21 21 21 21又=+=+=+=c c+a a,MP+=(a a+b b+c)c)+(a a+c c)=a a+b b+c c.1NCNC1CC21BC1AA21AD1AA21 1NC21 21 21 23 21 2
17、3例例 2 2、如图所示,已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a,点 M、N 分别是 AB、CD 的中点. (1)求证:MNAB,MNCD;(2)求 MN 的长; (3)求异面直线 AN 与 CM 夹角的余弦值.(1)证明 设=p p, =q q,=r r.ABACAD 由题意可知:|p p|=|q q|=|r r|=a,且 p p、q q、r r 三向量两两夹角均为 60.=-=(+)-=(q q+r r-p p) ,MNANAM21ACAD21AB21=(q q+r r-p p)p p=(q qp p+r rp p-p p2)=(a2cos60+a2cos60-a2)=0.
18、MNAB21 21 21MNAB,同理可证 MNCD.(2)解 由(1)可知=(q q+r r-p p)|2=2=(q q+r r-p p)2MN21MNMN41=q q2+r r2+p p2+2(q qr r-p pq q-r rp p) =a2+a2+a2+2(-)41 41 22a 22a 22a=2a2=. |=a,MN 的长为a.41 22aMN22 22(3) )解 设向量与的夹角为.ANMC=(+)=(q q+r r), =-=q q-p p,AN21ACAD21MCACAM21=(q q+r r)(q q-p p)=(q q2-q qp p+r rq q-r rp p)ANMC
19、21 21 21 21 21=(a2-a2cos60+a2cos60-a2cos60)=(a2-+-)=.21 21 21 21 42a 22a 42a 22a又|=|=,ANMCa23=|cos=cos=. cos=,ANMCANMCa23a2322a32向量与的夹角的余弦值为,从而异面直线 AN 与 CM 夹角的余弦值为.ANMC32 32例例 3 3、 (1)求与向量 a a=(2,-1,2)共线且满足方程 a ax x=-18 的向量 x x 的坐标; (2)已知 A、B、C 三点坐标分别为(2,-1,2) , (4,5,-1) , (-2,2,3) ,求点 P 的坐标使得=(-) ;
20、AP21ABAC(3)已知 a a=(3,5,-4) ,b b=(2,1,8) ,求:a ab b;a a 与 b b 夹角的余弦值; 确定,的值使得a a+b b 与 z 轴垂直,且(a a+b b)(a a+b b)=53. 解 (1)x x 与 a a 共线,故可设 x x=ka a,由 a ax x=-18 得 a aka a=k|a a|2=k()2=9k,9k=-18,故 k=-2.414 x x=-2a a=(-4,2,-4).(2)设 P(x,y,z) ,则=(x-2,y+1,z-2) ,AP=(2,6,-3) ,=(-4,3,1) ,=(-).ABACAP21ABAC(x-2
21、,y+1,z-2)=(2,6,-3)-(-4,3,1) =(6,3,-4)=(3,-2)21 21 23,解得 P 点坐标为(5,0). 2223132zyx 0215zyx21(3)a ab b=(3,5,-4)(2,1,8)=32+51-48=-21.|a a|=5, |b b|=,222)4(53222281269cosa a,b b= = 692521=-2301387.a a 与 b b 夹角的余弦值为-.b bb ba aa a2301387取 z 轴上的单位向量 n n=(0,0,1) ,a a+b b=(5,6,4).依题意 即 530b bb bb ba aa aa aa a
22、 534 , 6 , 584,5 ,2301 , 0 , 084,5 ,23故 解得. 531829084 211(三)(三) 、强化训练:、强化训练:如图所示,正四面体 VABC 的高 VD 的中点为 O,VC 的中点为 M. (1)求证:AO、BO、CO 两两垂直;(2)求,.DMAO (1)证明 设=a a,=b b, =c c,正四面体的棱长为 1,VAVBVC则=(a a+b b+c c),=(b b+c c-5a a),VD31AO61=(a a+c-5b b), =(a a+b b-5c c)BO61CO61=(b b+c c-5a a)(a a+c c-5b b)=(18a a
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