(微积分详细资料)科目教学第一章.doc
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1、第一章第一章习题习题 1-11.用区间表示下列不等式的解.2(1)9;(2)1;1 (3)(1)(2)0;(4)00.011xx xxx 解解 (1)原不等式可化为,其解为,用区间表示是-3,3.(3)(3)0xx33x (2)原不等式可化为或,其解为或,用区间表示是(-,0)11x 11x 2x 0x (2,+ ). (3)原不等式的解为,用区间表示是(-2,1).21x (4)原不等式可化为即0.0110.01 10x x 1.010.99 1x x 用区间表示是(-1.01,-1)(-1,-0.99). 2.用区间表示下列函数的定义域:221(1)1;(2)arcsin(1)lg(lg
2、);1(3)65.ln(2)yxyxxxyxxx解解 (1)要使函数有意义,必须即2010xx 0 11x x 所以函数的定义域为-1,0)(0,1.(2)要使函数有意义,必须即1 11 lg0 0x x x 02 1 0x x x 所以函数的定义域是,用区间表示就是(1,2.12x(3)要使函数有意义,必须即2650 ln(2)0 20xx x x 61 1 2x x x 所以函数的定义域是-6x1 时, f(x)=-1, f(f(x)= f(-1)=1, 综上所述 f(f(x)=1(xR). 5.判定下列函数的奇偶性:(1) f(x); (2)f(x)(x2x)sinx;21 cosx x
3、(3) f(x)1 e ,0 e1,0xxx x 解解 (1) 221 ()1()( )cos()cosxxfxf xxx f(x)是偶函数.(2)222()()()sin()()( sin )()sin( )fxxxxxxxxxxf x 且,()( )fxf x f(x)是非奇非偶函数.(3) 当 x0, ;()1(1)( )eexxfxf x 当 x0 时,-x0, ,()()11(1)( )eeexxxfxf x 综上所述, ,有 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数.x R 6.设 f(x)在区间(-l,l)内有定义,试证明: (1) f(-x)+f(x)为偶函数; (2)
4、f(-x) -f(x)为奇函数.证证 (1)令( )()( )F xfxf x有(, )xl l () ()()( )()( )Fxfxfxf xfxF x 所以是偶函数;( )()( )F xfxf x(2)令,( )()( )F xfxf x有(, )xl l () ()()( )() ()( )( )Fxfxfxf xfxfxf xF x 所以是奇函数.( )()( )F xfxf x7. 试证:(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数; (2) 奇函数与偶函数的积是奇函数.证证 (1)设 f(x),g(x)均为偶函数,令( )( )( )F xf xg x则 ,()()()( )( )(
5、)Fxfxgxf xg xF x所以是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.( )( )f xg x(2)设 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,令,( )( )( )F xf xg x则 ,()()()( ) ( )( )Fxfxgxf x g xF x 所以是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数.( )( )f xg x8. 求下列函数的反函数:* 22(1)2sin3 ,;(2);6 6212101,(3)( )2(2)12.xxyx xyxxf xxx 解解 (1)由得所以函数的反函数为2sin3yx1arcsin32yx 2sin3yx.1arcsin( 22)32xyx (2)由
6、得,即.2 21xxy 21xy y2log1yxy所以函数的反函数为.2 21xxy 2log(01)1xyxx(3) 当时,由得;01x21yx1, 112yxy 当时,由得;12x22(2)yx22,12xyy于是有 ,1112 2212yyx yy 所以函数的反函数是.22101( )2(2)12xxf xxx1112( ) 2212xxf x xx 9. 将 y 表示成 x 的函数,并求定义域:222(1)10 ,1;(2)ln ,2 ,sin ;(3)arctan ,().为实数uvyuxyu uvxyu uv vaxa 解解 (1),定义域为(-,+);211010uxy(2)
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