《概率论与数理统计教育资料.》魏宗舒课后习题解答答案1-8章.doc
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1、第一章第一章 事件与概率事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10 件产品中有 1 件是不合格品,从中任取 2 件得 1 件不合格品。 (2)一个口袋中有 2 个白球、3 个黑球、4 个红球,从中任取一球,()得白球,()得红球。解 (1)记 9 个合格品分别为 ,记不合格为次,则921,正正正, ,)()()()(1913121次正正正正正正正,)()()()(2924232次正正正正正正正,)()()(39343次正正正正正)()()(9898次正次正正正,A)(1次正,)(2次正)(9次正 ,(2)记 2 个白球分别为,3 个黑球分别为,4 个红
2、球分别为,。则,121b2b3b1r2r3r4r1,21b2b3b1r2r3r4r() , () ,A12B1r2r3r4r1.2 在数学系的学生中任选一名学生,令事件 A 表示被选学生是男生,事件 B 表示被选学生是三年级学生,事件 C 表示该生是运动员。(1) 叙述的意义。CAB(2)在什么条件下成立?CABC (3)什么时候关系式是正确的?BC (4) 什么时候成立?BA 解 (1)事件表示该是三年级男生,但不是运动员。CAB(2) 等价于,表示全系运动员都有是三年级的男生。CABC ABC (3)当全系运动员都是三年级学生时。 (4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。1.3
3、 一个工人生产了个零件,以事件表示他生产的第 个零件是合格品() 。用表示下列事件:niAini 1iA(1)没有一个零件是不合格品; (2)至少有一个零件是不合格品; (3)仅仅只有一个零件是不合格品; (4)至少有两个零件是不合格品。解 (1) ; (2) ; (3) ;niiA1niiniiAA11ninijjjiAA11)( (4)原事件即“至少有两个零件是合格品” ,可表示为;njijijiAA1,1.4 证明下列各式:(1); (2) (3); (4)ABBAABBACBA)()(CBACBA)()(CBA(5) (6) CBA)()(CA)(CBniiniiAA11证明 (1)(
4、4)显然, (5)和(6)的证法分别类似于课文第 1012 页(1.5)式和(1.6)式的证法。 1.5 在分别写有 2、4、6、7、8、11、12、13 的八张卡片中任取两张,把卡片上的两个数字组成一个分数,求所 得分数为既约分数的概率。解 样本点总数为。所得分数为既约分数必须分子分母或为 7、11、13 中的两个,或为782 8A2、4、6、8、12 中的一个和 7、11、13 中的一个组合,所以事件“所得分数为既约分数”包含A个样本点。于是63221 51 32 3AAA。149 78632)(AP1.6 有五条线段,长度分别为 1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条,求所取三条线段
5、能构成一个三角形的 概率。解 样本点总数为。所取三条线段能构成一个三角形,这三条线段必须是 3、5、7 或 3、7、9 或多或1035 5、7、9。所以事件“所取三条线段能构成一个三角形”包含 3 个样本点,于是。A103)(AP1.7 一个小孩用 13 个字母作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的(等TTNMMIIHECAAA,可能的) ,问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大?解 显然样本点总数为,事件“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含个样本点。所以!13A!2!2!2!3!1348 !13! 2 ! 2 ! 2 ! 3)(AP1.8 在中国象棋的棋盘上任意地
6、放上一只红“车”及一只黑“车” ,求它们正好可以相互吃掉的概率。解 任意固定红“车”的位置,黑“车”可处于个不同位置,当它处于和红“车”同行或同列的891109 个位置之一时正好相互“吃掉” 。故所求概率为17898917)(AP1.9 一幢 10 层楼的楼房中的一架电梯,在底层登上 7 位乘客。电梯在每一层都停,乘客从第二层起离开电梯, 假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的,求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解 每位乘客可在除底层外的 9 层中任意一层离开电梯,现有 7 位乘客,所以样本点总数为。事件“没有两79A位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从 9 层中任取 7 层,各
7、有一位乘客离开电梯” 。所以包含个样本点,于7 9A是。77 9 9)(AAP1.10 某城市共有 10000 辆自行车,其牌照编号从 00001 到 10000。问事件“偶然遇到一辆自行车,其牌照号码 中有数字 8”的概率为多大?解 用表示“牌照号码中有数字 8” ,显然,所以A44109 100009)( AP-1)(AP4410911000091)( AP1.11 任取一个正数,求下列事件的概率: (1)该数的平方的末位数字是 1; (2)该数的四次方的末位数字是 1;(3)该数的立方的最后两位数字都是 1; 解 (1) 答案为。51(2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时,其四次
8、方的末位数是 1,所以答案为52 104(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字,所以样本空间包含个样本点。用事件210表示“该数的立方的最后两位数字都是 1” ,则该数的最后一位数字必须是 1,设最后第二位数字为,则该数的立Aa方的最后两位数字为 1 和 3的个位数,要使 3的个位数是 1,必须,因此所包含的样本点只有 71 这一点,aa7aA 于是 。 1.12 一个人把 6 根草掌握在手中,仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接,6 个尾也两两相接。求放开手以后 6 根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到根草的情形。n2 解 (1)6 根草的情形
9、。取定一个头,它可以与其它的 5 个头之一相接,再取另一头,它又可以与其它未接过的 3个之一相接,最后将剩下的两个头相接,故对头而言有种接法,同样对尾也有种接法,所以样本点总数135135为。用表示“6 根草恰好连成一个环” ,这种连接,对头而言仍有种连接法,而对尾而言,任取一2) 135(A135尾,它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。再取另一尾,它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接,最后再将其余的尾连接成环,故尾的连接法为。所以包含的样本点数为,于是24A)24)(135(158 ) 135()24)(135()(2AP(2) 根草的情形和(1)类似得n2 1.13 把个
10、完全相同的球随机地放入个盒子中(即球放入盒子后,只能区别盒子中球的个数,不能区别是哪nN 个球进入某个盒子,这时也称球是不可辨的) 。如果每一种放法都是等可能的,证明(1)某一个指定的盒子中恰好有个球的概率为,k nnNknknN12 nk 0(2)恰好有个盒的概率为,m nnNmNnmN111 1NmnN(3)指定的个盒中正好有个球的概率为,mj nnNjnjnmNmjm1111 .0 ,1NjNm解 略。 1.14 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,求一个乘客候车时间不超过 3 分钟的概率。解 所求概率为53)(AP1.15 在中任取一点,证明的面积之
11、比大于的概率为。ABCPABCABP与nn121 n解 截取,当且仅当点落入之内时的面积之比大于,因此所求概CDnDC1PBACABCABP与nn1率为。22 )( CDDC ABCCBAAP的面积有面积2221CDDCn 21 n1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为 1 小时 与两小时,求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。 解 分别用表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当yx,。因此所求概率为10 , 20xyyx121. 0242221232124 )(2222 AP1.17 在线段上任取三点,求
12、:AB321,xxx(1) 位于之间的概率。 (2) 能构成一个三角形的概率。2x31xx 与321,AxAxAx解 (1) (2) 31)(AP 21 121 3131 )( BP1.18 在平面上画有间隔为的等距平行线,向平面任意地投掷一个三角形,该三角形的边长为(均小于dcba,) ,求三角形与平行线相交的概率。d解 分别用表示三角形的一个顶点与平行线相合,一条边与平行线相合,两条边与平行线相交,显然321,AAA所求概率为。分别用表示边,二边与平行线相交,. 0)()(21APAP)(3APbcacabcbaAAAAAA,cba,bcacab,则显然,)(3AP).(bcacabAAA
13、P)(aAP)()(acabAPAP,。所以)(bAP)()(bcabAPAP)(cAP)()(bcacAPAP21)(3AP)(aAP)(bAP)(cAP)(22cbad)(1cbad(用例 1.12 的结果) 1.19 己知不可能事件的概率为零,现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件?试举例说明之。 解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为 1 的线段内随机投点。则事件“该点命中的中点”AAB 的概率等于零,但不是不可能事件。A1.20 甲、乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先取,乙后取,每次取后都有不放回,ab 直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现
14、象的概率空间,并求甲或乙先取到白球的概率。解表示白,表示黑白,表示黑黑白,123白黑黑表示个 bb 1则样本空间,并且,121bbaaP)(1, ,1)(2baa babP211)(3baa bab babP) 1()2()2( 11)(ibaa ibaib bab babPiababaabPb) 1)(!)(1甲取胜的概率为+)(1P)(3P)(5P乙取胜的概率为+)(2P)(4P)(6P1.21 设事件及的概率分别为、及,求,BA,BApqr)(ABP)( BAP)( BAP)( BAP解 由得)()()()(ABPBPAPBAPrqpBAPBPAPABP)()()()(,qrABPAPA
15、BAPBAP)()()()(prBAP)(rBAPBAPBAP1)(1)()(1.22 设、为两个随机事件,证明:1A2A(1) ;)()()(1)(212121AAPAPAPAAP(2) .)()()()()()(121212121APAPAAPAAPAPAP证明 (1) =1)()(2121AAPAAP)(21AAP)()()(12121AAPAPAP(2) 由(1)和得第一个不等式,由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。0)(21AAP1.23 对于任意的随机事件、,证明:ABC)()()()(APBCPACPABP证明 )()()()()(ABCPACPABPCBAPAP)(
16、)()(BCPACPABP1.24 在某城市中共发行三种报纸:甲、乙、丙。在这个城市的居民中,订甲报的有 45%,订乙报的有 35%,订丙 报的有 30%,同时订甲、乙两报的有 10%,同时订甲、丙两报的有 8%,同时订乙、丙两报的有 5%,同时订三种报纸的 有 3%,求下述百分比: (1)只订甲报的; (2)只订甲、乙两报的; (3)只订一种报纸的; (4)正好订两种报纸的; (5)至少订一种报纸的; (6)不订任何报纸的。解 事件表示订甲报,事件表示订乙报,事件表示订丙报。ABC(1) =30%)()(ACABAPCBAP)()(ACABPAP(2) %7)()(ABCABPCABP(3)
17、 %23)()()()()(ABCPBCPABPBPCABP%20)()()()()(ABCPBCPACPCPBACP+=+=73%CBAP(CAB)BAC)(CBAP)(CABP)(BACP(4) )(ABCBACCABP%14)()()(ABCPBACPCABP(5) %90)(CBAP(6) %10%901)(1)(CBAPCBAP1.26 某班有个学生参加口试,考签共 N 张,每人抽到的考签用后即放回,在考试结束后,问至少有一张考没n 有被抽到的概率是多少?解 用表示“第 张考签没有被抽到” , 。要求。iAiNi, 2 , 1)(1NiiAP,niNNAP1)(njiNNAAP2)(
18、0)(1nNNNNAAPnNiiNNNAP 1 1)(1nNNN 1 1) 1(11,nNijiNNNAAP 2 2)(1nNNN 2 2) 1(12所以nNiiNiiNiNAP 111) 1()(1.27 从阶行列式的一般展开式中任取一项,问这项包含主对角线元素的概率是多少?n解阶行列式的展开式中,任一项略去符号不计都可表示为,当且仅当的排列n nniiiaaa 2121n, 2 , 1中存在使时这一项包含主对角线元素。用表示事件“排列中”即第个主对角线元素出)(21niiikkikkAkikk现于展开式的某项中。则,ninnAPi1!)!1()()1 (!)!2()(njinnAAPji所
19、以!1) 1(!)!() 1()(11111inin inAPniiniiNii 1.29 已知一个家庭中有三个小孩,且其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率(假设一个小孩是男孩或是女 孩是等可能的) 。解 用分别表示男孩和女孩。则样本空间为:gb,),)(,(,),(),)(,(),(),(gggbgggbgggbbbgbgbgbbbbb其中样本点依年龄大小的性别排列。表示“有女孩” , 表示“有男孩” ,则AB76 8/78/6 )()()|(APABPABP1.30 设件产品中有件是不合格品,从中任取两件,Mm (1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概率。 (
20、2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概率。 解(1)设表示“所取产品中至少有一件是不合格品” , 表示“所取产品都是不合格品” ,则 AB 2112)(MmMmmAP 22)(MmBP)()( )()()|(APBP APABPABP121 mMm(2)设表示“所取产品中至少有一件合格品” , 表示“所取产品中有一件合格品,一件不合格品” 。则CD 2211)(MmMmMmCP 211)(MmMmDP)()( )()()|(CPDP CPCDPCDP12 mMm1.31 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票,他们依次摸彩,求:n(1)已知前个人都没摸到,求第个人摸到的
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