2015届广东惠州第一次考试'数学(理-).doc
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1、惠州市惠州市 20152015 届高三第一次调研考试届高三第一次调研考试数数 学学 ( (理科)理科) 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:注意事项: 1答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改
2、 液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 8 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 4040 分分. . 在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求一项符合题目要求. .1复数iiz1(其中为虚数单位)的虚部是 ( ). A21 .Bi21.C 21.D i21 2已知集合, 1RxxyyA,2xxB,则下列结论正确的是( ). AA3 .BB3 .C ABB .D ABB3某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为900 900 1200、人,现用分层抽样的方 法从该 校高中三个年级的学生中抽取容量为 50
3、的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ) . A 15 .B20 .C 25 .D 30 4已知等差数列na的前项和为nS,若5418aa,则8S ( ). A 18 .B36 .C 54 .D 72 5在二项式52)1(xx 的展开式中,含4x的项的系数是( ). A 10 .B10 .C 5 .D 20 6若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积等于( ) . A30 .B12 .C 24 .D 7已知yx,都是区间2, 0内任取的一个实数,则使得xysin的取值的概率是( ). A24 .B2.C 21.D 22 8已知向量a与b的夹角为,定义ba为a与b的“向量积” ,且b
4、a是一个向量,43233正视图侧视图俯视图它的长度sinbaba,若(2,0)u r ,(1,3)uvrr ,则)(vuu( ). A34 .B3 .C 6 .D 32二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 7 7 小题,分为必做题和选做题两部分每小题小题,分为必做题和选做题两部分每小题 5 5 分,满分分,满分 3030 分)分)(一)必做题:第(一)必做题:第 9 9 至至 1313 题为必做题,每道试题考生都必须作答题为必做题,每道试题考生都必须作答9 函数3log (32)yx的定义域是 .10以抛物线xy42的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为 2 2 的双曲线方程是 .11用数字
5、1,2,3,4 可以排成没有重复数字的四位偶数,共有_个.12设变量yx,满足 110yyxx,则yx的最大值是 .13函数)(xf的定义域为,2) 1(f,对任意Rx,2)( xf,则42)(xxf的解 集为 .(二)选做题:第(二)选做题:第 1414、1515 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。得分。14 (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中,BA,分别是直线05sincos和圆sin2上的动点,则BA,两点之间距离的最小值是 .15(几何证明选讲选做题)如图所示,OAB是等腰三角形, 是底边AB延长线上
6、一点,且3PO,4PBPA,则腰长OA= . 三、解答题:(本大题共解答题:(本大题共6 6小题,满分小题,满分8080分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤骤 )16 (本小题满分12分)已知02cos22sinxx. (1)求xtan的值; (2)求 xxxsin)4cos(22cos的值APOB17 (本小题满分 12 分) 去年 2 月 29 日,我国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在 050为优秀,各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市 2014 年进行为期一年的空气质 量监测,得到每天的空气质量指数,从中随机抽取 50 个作
7、为样本进行分析报告,样本数据分组区间为5,15,15,25,25,35,35,45,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图,如图.(1) 求的值;(2) 根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值;(注:设样本数据第组的频率为ip,第组区间的中点值为ix1,2,3,in,则样本数据的平均值为112233nnXx px px px p.)(3) 如果空气质量指数不超过15,就认定空气质量为“特优等级” ,则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值,其中达到“特优等级”的天数为,求的分布列和数学期望.18.(本小题满分 14 分)如图,在直三棱柱111ABCABC中,平面1ABC 侧面11
8、A ABB,且12AAAB(1) 求证:ABBC;(2) 若直线AC与平面1A BC所成的角为6,求锐二面角1AACB的大小。19 (本小题满分 14 分)BA1CAB1C1空气质量指数频率组距0.0320.020 0.018O515 253545a已知数列 na中,13a ,前项和1(1)(1) 12nnSna(1) 求数列 na的通项公式;(2) 设数列11nna a:的前项和为nT,是否存在实数M,使得nTM对一切正整数都成立?若存在,求出M的最小值;若不存在,请说明理由20 (本小题满分 14 分)椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为1 2,其左焦点到点(2,1)P的距离为1
9、0(1) 求椭圆C的标准方程;(2) 若直线: l ykxm与椭圆C相交于AB、两点(AB、不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标21 (本小题满分 14 分)已知关于的函数321( )3f xxbxcxbc ,其导函数为( )fx记函数( )( )g xfx 在区间11 ,上的最大值为M(1) 如果函数( )f x在1x 处有极值4 3,试确定bc、的值;(2) 若1b ,证明对任意的,都有2M ;(3) 若Mk对任意的bc、恒成立,试求k的最大值F2OxyPABF1A2l惠州市 2015 届高三第一次调研考试数学数学 ( (理科)参考答案
10、与评分标准理科)参考答案与评分标准一选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分题号12345678答案CCBDACAD1. 【解析】化简得iz21 21,则虚部为21,故选C2. 【解析】已知集合), 3(A), 2 BBBA,故选C3. 【解析】三个年级的学生人数比例为4:3:3,按分层抽样方法,在高三年级应该抽取 人数为20433450人,故选4. 【解析】由题意1854 aa,等差数列中8154aaaa,所以722)(854 8aaS,故选5. 【解析】由二项式定理可知,展开式的通项为rrrxC310 5) 1(,则4310 r得2r,所以含4x项的系数为10) 1(22 5C
11、,故选6. 【解析】由三视图可知,原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的,如图11 13 4 5(3 4) 32423 2V ,故选C7. 【解析】此题为几何概型,事件 A 的度量为函数sinyx的图像在0,2内与轴围成的图形的面积,即2 0sin1Sxdx ,则事件 A 的概率为21422sPs,故选8.【解析】由题意()(1, 3)vuuv ,则(3, 3)uv ,3cos,2u uv ,得1sin,2u uv ,由定义知1()sin,2 2 32 32uuvu uvu uv :,故选3243第 6 题图二填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分其中 1415 题是选做
12、题,考生只能选做一题9),32( 102 213yx 1112 123 13( 1,) 142 211559. 【解析】由023x得32x,则定义域为:),32( 10 【解析】抛物线焦点(1,0),则双曲线中:1a ,且2cea,得2c ,又222cab得33b ,则双曲线的标准方程为:2 213yx 11 【解析】由题意,没有重复数字的偶数,则末位是 2 或 4,当末位是时,前三位将,3,三个数字任意排列,则有3 36A 种排法,末位为时一样有3 36A 种,两类共有:3 3212A 种,故共有没有重复数字的偶数12个。12 【解析】由约束条件画出可行域如图所示,则目标函数zxy在点(2,
13、1)B取得最大值, 代入得3xy,故xy的最大值为3。13 【解析】设函数( )( )24g xf xx,则( )( )20g xfx,得函数( )g x在上为增函数,且( 1)( 1)2 ( 1)40gf ,所以当( )24f xx时,有( )0g x ,得1x ,故不等式( )24f xx的解集为( 1,) 14 【解析】由题意,直线:50l xy,圆的标准方程22(1)1xy,则圆心(0,1)到直线l的距离为2 2,且圆半径1r ,故min2 21ABdr15 【解析】以O为圆心,以OA为半径作圆,则圆O经过点,即OAOBr,设 PO与圆O交于点C且延长PO交圆O与点,由切割线定理知PA
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- 2015 广东 惠州 第一次 考试 39 数学
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