必修四平面向量基本定理(附答案.).doc
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1、平面向量基本定理平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容,了解向量一组基底的含义.2.在平面内,当一组基底选定后,会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题知识点一 平面向量基本定理(1)定理:如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 1,2,使 a1e12e2.(2)基底:把不共线的向量 e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底思考 如图所示,e1,e2是两个不共线的向量,试用 e1,e2表示向量,AB, ,a.CDEFGHHG答案 通过观察,可得:2e13e2,e14e2,4e
2、14e2,ABCDEF2e15e2,2e15e2,a2e1.GHHG知识点二 两向量的夹角与垂直(1)夹角:已知两个非零向量 a 和 b,如图,作a,b,则AOB (0180),OAOB叫做向量 a 与 b 的夹角范围:向量 a 与 b 的夹角的范围是0,180当 0时,a 与 b 同向当 180时,a 与 b 反向(2)垂直:如果 a 与 b 的夹角是 90,则称 a 与 b 垂直,记作 ab.思考 在等边三角形 ABC 中,试写出下面向量的夹角、 ;、 ;、 ;、.ABACABCABACAABBA答案 与的夹角为 60;ABAC与的夹角为 120;ABCA与的夹角为 60;BACA与的夹角
3、为 180.ABBA题型一 对向量的基底认识例 1 如果 e1,e2是平面 内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是_e1e2(、R)可以表示平面 内的所有向量;对于平面 内任一向量 a,使 ae1e2的实数对(,)有无穷多个;若向量 1e11e2与 2e12e2共线,则有且只有一个实数 ,使得1e11e2(2e12e2);若存在实数 , 使得 e1e20,则 0.答案 解析 由平面向量基本定理可知,是正确的对于,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的对于,当两向量的系数均为零,即 12120 时,这样的 有无数个跟踪训练 1 设 e1、
4、e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量:e1与e1e2;e12e2与 e22e1;e12e2与 4e22e1;e1e2与 e1e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_(写出所有满足条件的序号)答案 解析 对于4e22e12e14e22(e12e2),e12e2与 4e22e1共线,不能作为基底题型二 用基底表示向量例 2 如图所示,已知ABCD 中,E、F 分别是 BC、DC 边上的中点,若a,b,试以 a、b 为基底表示、.ABADDEBF解 四边形 ABCD 是平行四边形,E、F 分别是 BC、DC 边上的中点,2,2,ADBCBEBACDCF b, a.BE12AD12CF1
5、2BA12AB12DEDAABBEADABBEba ba b,1212b a.BFBCCFADCF12跟踪训练 2 如图,已知ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分点,若a,b,用 a、b 表示、 、.ABACADAEAF解 ADABBDAB12BCa (ba) a b;121212AEABBEAB13BCa (ba) a b;132313AFABBFAB23BCa (ba) a b.231323题型三 向量夹角问题例 3 已知|a|b|2,且 a 与 b 的夹角为 60,设 ab 与 a 的夹角为 ,ab 与 a 的夹角是 ,求 .解 如图,作a,b,且AOB60,OA
6、OB以 OA、OB 为邻边作OACB,则ab,ab,OCBAOAOBa.BCOA因为|a|b|2,所以OAB 为正三角形,所以OAB60ABC,即 ab 与 a 的夹角 60.因为|a|b|,所以平行四边形 OACB 为菱形,所以 OCAB,所以COA906030,即 ab 与 a 的夹角 30,所以 90.跟踪训练 3 若 a0,b0,且|a|b|ab|,求 a 与 ab 的夹角解 由向量运算的几何意义知 ab,ab 是以 a、b 为邻边的平行四边形两条对角线如图,|a|b|ab|,BOA60.又ab,且在菱形 OACB 中,OC对角线 OC 平分BOA,a 与 ab 的夹角是 30.题型四
7、 平面向量基本定理的应用例 4 如图所示,在OAB 中,a,b,点 M 是 AB 上靠近 B 的一个三等分点,OAOB点 N 是 OA 上靠近 A 的一个四等分点若 OM 与 BN 相交于点 P,求.OP解 () a b,OMOAAMOA23ABOA23OBOA1323因为与共线,故可设t a b.OPOMOPOMt32t3又与共线,可设s,sNPNBNPNBOPONNBs() (1s)asb,34OAOBON34所以Error!解得Error!所以a b.OP31035跟踪训练 4 如图所示,在ABC 中,点 M 是 AB 的中点,且AN12,BN 与 CM 相交于 E,设a,b,试用基底
8、a,b 表示向NCABAC量.AE解 易得 b, a,AN13AC13AM12AB12由 N,E,B 三点共线,设存在实数 m,满足m(1m) mb(1m)a.AEANAB13由 C,E,M 三点共线,设存在实数 n 满足:n(1n) na(1n)b.AEAMAC12所以 mb(1m)a na(1n)b,1312由于 a,b 为基底,所以Error!解得Error!所以 a b.AE2515向量夹角概念不清致误例 5 已知2a,2b,a3b,求向量与的夹角OAOBOCBABC错解 由已知得,2a2b,(a3b)2bab,显然BAOAOBBCOCOB2,可见与共线,故与的夹角为 0.BABCBA
9、BCBABC错因分析 两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况,当两个向量同向共线时,其夹角为 0,当两个向量反向共线时,其夹角为 180.上面的解答没有注意到这个问题,导致出错正解 由已知得,2a2b,(a3b)2bab.显然BAOAOBBCOCOB2,可见与共线,且是反向共线,故与的夹角为 180.BABCBABCBABC1设 e1,e2是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是( )Ae1e2和 e1e2 B3e14e2和 6e18e2Ce12e2和 2e1e2 De1和 e1e22如图,已知a,b,3,用 a,b 表示,则等于( )ABACBDDCADADAa b
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