初级中学数学九年级.下册第二十六章二次函数重点资料库情况分析总结及其.doc
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1、 新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章二次函数二次函数知识点总知识点总结及精品试题结及精品试题第一部分第一部分 基础知识基础知识1.定义:一般地,如果cbacbxaxy,(2是常数,)0a,那么y叫做x的二次函数.2.二次函数2axy 的性质(1)抛物线2axy 的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.(2)函数2axy 的图像与a的符号关系.当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点;当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy )(0a.3.二次函数 cbxaxy2的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的
2、抛物线.4.二次函数cbxaxy2用配方法可化成:khxay2的形式,其中abackabh44 22,.5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:2axy ;kaxy2;2hxay;khxay2;cbxaxy2.6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向:当0a时,开口向上;当0a时,开口向下;a相等,抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴(或重合)的直线记作hx .特别地,y轴记作直线0x.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式
3、法:abac abxacbxaxy44 222 2 ,顶点是),(abac ab 44 22,对称轴是直线abx2.(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为khxay2的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是直线hx .(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.9.抛物线cbxaxy2中,cba,的作用(1)a决定开口方向及开口大小,这与2axy 中的a完全一样.(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2
4、的对称轴是直线abx2,故:0b时,对称轴为y轴;0ab(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;0ab(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0x时,cy ,抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点(0,c):0c,抛物线经过原点; 0c,与y轴交于正半轴;0c,与y轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则 0ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy 0x(y轴)(0,0)kaxy20x(y轴)(0, k)2hxayhx (h,0)khxay2hx
5、(h,k)cbxaxy2当0a时开口向上当0a时开口向下abx2(abac ab 44 22,)11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式:cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.(2)顶点式:khxay2.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标1x、2x,通常选用交点式:21xxxxay.12.直线与抛物线的交点(1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0, c).(2)与y轴平行的直线hx 与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).(3)抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横
6、坐标1x、2x,是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:有两个交点0抛物线与x轴相交;有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是kcbxax2的两个实数根.(5)一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点,由方程组 cbxaxynkxy2的解的数目来确定:方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; 方程组只有一组解
7、时l与G只有一个交点;方程组无解时l与G没有交点.(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021,xBxA,由于1x、2x是方程02cbxax的两个根,故acxxabxx2121,aaacb ac abxxxxxxxxAB 44422212 212 2121第二部分第二部分 典型习题典型习题.抛物线 yx22x2 的顶点坐标是 ( D )A.(2,2) B.(1,2) C.(1,3) D.(1,3).已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示,则下列结论正确的是( C )ab0,c0 ab0,c0 ab0,c0 ab0,c0第,题图 第 4 题图.二次函数cbx
8、axy2的图象如图所示,则下列结论正确的是( )Aa0,b0,c0 Ba0,b0,c0Ca0,b0,c0 Da0,b0,c0.如图,已知中,BC=8,BC 上的高,D 为 BC 上一点, ,交 AB 于点 E,交 AC 于点 F(EF 不过 A、B) ,设 E 到 BC 的距离为,则的面积关于的函数的图象大致为( )2482 ,484EFxEFxyxx .抛物线322xxy与 x 轴分别交于 A、B 两点,则 AB 的长为 4 6.已知二次函数11)(2k2xkxy与 x 轴交点的横坐标为1x、2x(21xx) ,则对于下列结论:当 x2 时,y1;当2xx时,y0;方程011)(22xkkx
9、有两个不相等的实数根1x、2x;11x,12x;2211 4kxxk,其中所有正确的结论是 (只需填写序号) 7.已知直线02bbxy与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B;一抛物线的解析式为cxbxy102.(1)若该抛物线过点 B,且它的顶点 P 在直线bxy 2上,试确定这条抛物线的解析式;(2)过点 B 作直线 BCAB 交 x 轴交于点 C,若抛物线的对称轴恰好过 C 点,试确定直线bxy 2的解析式.解:(1)102 xy或642xxy将0)b(,代入,得cb.顶点坐标为21016100(,)24bbb,由题意得21016100224bbbb ,解得1210,6bb .(2)2
10、2 xy8.有一个运算装置,当输入值为 x 时,其输出值为y,且y是 x 的二次函数,已知输入值为2,0,1时, 相应的输出值分别为 5,3,4第 9 题(1)求此二次函数的解析式;(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围. 解:(1)设所求二次函数的解析式为cbxaxy2,则 43005)2()2(22cbacbacba,即 1423babac,解得 321cba故所求的解析式为:322xxy.(2)函数图象如图所示.由图象可得,当输出值y为正数时,输入值x的取值范围是1x或3x9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:骆驼的体温会随外
11、部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图请根据图象回答:第一天中,在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? 第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现,图中 10 时到22 时的曲线是抛物线,求该抛物线的解析式解:第一天中,从 4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要 12 小时第三天 12 时这头骆驼的体温是 3922102421612xxxy 10.已知抛物线4)334(2xaaxy与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C是否存
12、在实数 a,使得ABC 为直角三角形若存在,请求出 a 的值;若不存在,请说明理由解:依题意,得点 C 的坐标为(0,4) 设点 A、B 的坐标分别为(1x,0) , (2x,0) ,由04)334(2xaax,解得 31x,ax342 点 A、B 的坐标分别为(-3,0) , (a34,0) |334|aAB,522OCAOAC,22OCBOBC224|34|a 98 91693432916|334|2222aaaaaAB,252AC,1691622aBC当222BCACAB时,ACB90由222BCACAB,得)16916(2598 91622aaa解得 41a 当41a时,点 B 的坐标
13、为(316,0) ,96252AB,252AC,94002BC于是222BCACAB 当41a时,ABC 为直角三角形当222BCABAC时,ABC90由222BCABAC,得)16916()98 916(2522aaa解得 94a当94a时,39434 34 a,点 B(-3,0)与点 A 重合,不合题意当222ABACBC时,BAC90由222ABACBC,得)98 916(251691622aaa解得 94a不合题意综合 、 、 ,当41a时,ABC 为直角三角形11.已知抛物线 yx2mxm2. (1)若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧,并且 AB5,试求 m 的值
14、;(2)设 C 为抛物线与 y 轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N,并且 MNC 的面积等于 27,试求 m 的值.解: (1)(x1,0),B(x2,0) . 则 x1 ,x2是方程 x2mxm20 的两根.x1 x2 m , x1x2 =m2 0 即 m2 ;又 ABx1 x2121245x xx x2(+ ) , m24m3=0 . 解得:m=1 或 m=3(舍去) , m 的值为 1 . (2)M(a,b),则 N(a,b) .M、N 是抛物线上的两点,222,2.amambamamb 得:2a22m40 . a2m2 .当 m2 时,才存在满足条件中的两点 M、N.2
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