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1、三角函数三角函数1. 与(0360)终边相同的角的集合(角与角的终边重合):Zkk,360|终边在 x 轴上的角的集合: Zkk,180|终边在 y 轴上的角的集合:Zkk,90180|终边在坐标轴上的角的集合: Zkk,90|终边在 y=x 轴上的角的集合: Zkk,45180|终边在轴上的角的集合:xyZkk,45180|若角与角的终边关于 x 轴对称,则角与角的关系:k360若角与角的终边关于 y 轴对称,则角与角的关系:180360 k若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:k180角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:90360k2. 角度与弧度的互换关系:360=2 180=
2、1=0.01745 1=57.30=5718 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式: 1rad57.30=5718 1 1800.01745(rad) 1803、弧长公式:. 扇形面积公式:rl|211| |22slrr扇形4、三角函数:设是一个任意角,在的终边上任取(异 于原点的)一点 P(x,y)P 与原点的距离为 r,则 ; ; ; ; rysinrxcosxytan yxcot;. . xrsecyrcsc5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)、 、 、 、 、 、 、 、 、-+-+、 、 、 、 、oooxyxyxyy
3、xSINCOS三角函数值大小关系图sinxcosx1 2 3 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosxr oxya的 的 的P、 x,y)TMAOPxy6、三角函数线正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.7. 三角函数的定义域:三角函数 定义域 sinx)(xfRxx|cosx)(xfRxx|tanx)(xfZkkxRxx,21|且cotx)(xfZkkxRxx,|且secx)(xfZkkxRxx,21|且cscx)(xfZkkxRxx,|且8、同角三角函数的基本关系式: tancossincotsincos1cotta
4、n1sincsc1cossec1cossin221tansec221cotcsc229、诱导公式:2k把的三角函数化为的三角函数,概括为:“奇变偶不变,符号看象限”三角函数的公式:(一)基本关系公式组二公式组二 xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(公式组三公式组三公公式式组组一一sinxcscx=1tanx=xx cossinsin2x+cos2x=1cosxsecxx=xx sincos1+tan2x =sec2xtanxcotx=1 1+cot2x=csc2x=1(3) 个 o|cosx|cosx|sinx|cosx|sinx|s
5、inx|cosx|sinxcosxcosxsinx16. 个 个 个 个 个 个:OOxyxyxxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公式组四公式组四 xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公式组五公式组五xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(公式组六公式组六xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin((二)角与角之间的互换公式组一公式组一 公式组二公式组二sinsincoscos)cos(cossin22sinsinsinco
6、scos)cos(2222sin211cos2sincos2cossincoscossin)sin( 2tan1tan22tan sincoscossin)sin(2cos1 2sintantan1tantan)tan(2cos1 2costantan1tantan)tan(公式组三公式组三 公式组四公式组四 公式组五公式组五2tan12tan2 sin 2 coscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin sincos1 cos1sin cos1cos1 2tansin)21cos(cos)21sin(2tan12tan1 co
7、s 22 2tan12tan2 tan2 , ,. 42675cos15sin3275cot15tan3215cot75tan42615cos75sin10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质: xAysin(A、0)定义域RRR值域 1, 1 1, 1RRAA,周期性 22 2奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶, 0当奇函数, 02cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos ZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysinsin)21cos(cos)21sin(cot)
8、21tan(cot)21tan(单调性22,22kk上为增函 数;223,22kk上为减函 数 ()Zk 2,12kk ;上为增 函数12,2kk上为减函 数 ()Zk kk2,2上为增函数( )Zk 上为减函1,kk数()Zk )(212),(22AkAk上为增函数;)(232),(22AkAk上为减函数( )Zk 注意:与的单调性正好相反;与的单调性也同样相xysinxysinxycosxycos反.一般地,若在上递增(减) ,则在上递减(增).)(xfy ,ba)(xfy,ba与的周期是.xysinxycos或()的周期.)sin(xy)cos(xy02T的周期为 2(,如图,翻折无效)
9、. 2tanxy 2TT的对称轴方程是() ,对称中心() ;)sin(xy2 kxZk 0 ,k的对称轴方程是() ,对称中心() ;)cos(xykx Zk 0 ,21k的对称中心().)tan(xy0 ,2kxxyxy2cos)2cos(2cos原点对称当;.tan, 1tan)(2Zkktan, 1tan)(2Zkk与是同一函数,而是偶函数,则xycoskxy22sin)(xy)cos()21sin()(xkxxy.函数在上为增函数.() 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,xytanR为增函数,同样也是错误的.xytan定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶
10、性的两个条件:一是)(xf定义域关于原点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数:,奇函数:)()(xfxfOyx))()(xfxf奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:是奇函数,是非奇非偶.(定xytan)31tan(xy义域不关于原点对称)奇函数特有性质:若的定义域,则一定有.(的定义域,则无此x0)(xf0)0(fx0性质)xysin不是周期函数;为周期函数() ;xysinT是周期函数(如图) ;为周期函数() ;xycosxycosT的周期为(如图) ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: 212cosxy.Rkkxfxfy),(5)( 有.abbabaycos)sin(sinc
11、os22yba22三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin(x)的振幅|A|,周期,频率,相位初相2 |T 1| 2fT ;x(即当 x0 时的相位) (当 A0,0 时以上公式可去绝对值符号) , 由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|1)或缩短(当 0|A|1)到原来的|A|倍,得到 yAsinx 的图象,叫做振幅变换振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变yxy=cos|x|图象1/2yxy=|cos2x+1/2|图象换 (用 y/A 替换 y) 由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0|1)或缩短(|1)到原来的倍,得到
12、ysin x 的图象,叫做周期变换周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变1|换(用 x 替换 x) 由 ysinx 的图象上所有的点向左(当 0)或向右(当 0)平行移动个单 位,得到 ysin(x)的图象,叫做相位变换相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x 替换 x) 由 ysinx 的图象上所有的点向上(当 b0)或向下(当 b0)平行移动b个单 位,得到 ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移 (用 y+(-b)替换 y) 由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin(x) (A0,0) (xR)的 图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸
13、缩量的 区别。高中数学三角函数常见习题类型及解法高中数学三角函数常见习题类型及解法1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:=(+),=等。2 2(3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。(4)引入辅助角。asin+bcos=sin(+),这里辅助角所22ba 在象限由 a、b 的符号确定,角的值由 tan=确定。ab2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,
14、化角,改变运算结构,使等式两边化 为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数 的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。四、例题分析例 1已知,求(1);(2)2tan sincossincos 的值.22cos2cos.sinsin解:(1);2232121 t
15、an1tan1cossin1cossin1sincossincos (2) 2222 22 cossincos2cossinsincos2cossinsin.324 122221cossin2cossin cossin2222 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行 弦、切互化,就会使解题过程简化。例 2求函数的值域。21 sincos(sincos )yxxxx 解:设,则原函数可化为sincos2sin()224txxx 即,因为,所以22131()24yttt 22t 即当时,当时,2t max32y1 2t min3 4y所以,函数的值域为。3324y即例
16、 3已知函数。2( )4sin2sin22f xxxxR即(1)求的最小正周期、的最大值及此时 x 的集合;( )f x( )f x(2)证明:函数的图像关于直线对称。( )f x8x 解: 22( )4sin2sin222sin2(1 2sin)f xxxxx2sin22cos22 2sin(2)4xxx(1)所以的最小正周期,因为,( )f xTxR所以,当,即时,最大值为;2242xk3 8xk( )f x2 2(2)证明:欲证明函数的图像关于直线对称,只要证明对任意,( )f x8x xR有成立,()()88fxfx因为,()2 2sin2()2 2sin(2 )2 2cos28842
17、fxxxx ,()2 2sin2()2 2sin(2 )2 2cos28842fxxxx 所以成立,从而函数的图像关于直线对称。()()88fxfx( )f x8x 例 4 已知函数 y=cos2x+sinxcosx+1 (xR),21 23(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换 得到?解:(1)y=cos2x+sinxcosx+1= (2cos2x1)+ 21 23 41+(2sinxcosx)+141 43=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+41 43 45 21 6
18、 6 45=sin(2x+)+21 6 45所以 y 取最大值时,只需 2x+=+2k,(kZ) ,即 6 2x=+k,(kZ) 。6所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为x|x=+k,kZ6(2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换:(i)把函数 y=sinx 的图像向左平移,得到函数 y=sin(x+)的图像;6 6(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) ,得到21函数 y=sin(2x+)的图像;6(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变) ,得21到函数 y=sin(2x+)的图像; 21 6(iv)把得到的图像向上平移个单位长度,
19、得到函数 y=sin(2x+)+45 21 6的图像。45综上得到 y=cos2x+sinxcosx+1 的图像。21 23说明:本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数 的图像和性质。这类题一般有两种解法:一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式,降幂后最终化成 y=sin (x+)+k 的形式,二是化成某一个三角函数22ba 的二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当 cosx=0 时,y=1;当 cosx0 时,y=+1=+1xxxxx222cossincossin23cos21xx2tan1tan23 21化简得:2(y1)tan2xtanx+2y3=03t
20、anxR,=38(y1)(2y3) 0,解之得:y43 47ymax=,此时对应自变量 x 的值集为x|x=k+,kZ47 6例 5已知函数.3cos33cos3sin)(2xxxxf()将f(x)写成的形式,并求其图象对称中心的横坐标;)sin(xA()如果ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时函数f(x)的值域.解: 23)332sin(23 32cos23 32sin21)32cos1 (23 32sin21)(xxxxxxf()由=0 即)332sin(xzkkxzkkx 213)(332得即对称中心的横坐标为zkk,213()由
21、已知 b2=ac,231)332sin(31)332sin(3sin|295|23|95 332 3301cos2121 22 22cos22222xxxxxacacac acacca acbcax即的值域为.)(xf231 , 3(综上所述, , 值域为 . 3, 0(x)(xf231 , 3(说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用 数形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识 进行整合的能力。例 6在中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且,ABCAcos3 cosCac Bb(1)求的值;sin B(2)若,且 a=c,求的面
22、积。4 2b ABCA解:(1)由正弦定理及,有,cos3 cosCac Bbcos3sinsin cossinCAC BB即,所以,sincos3sincossincosBCABCBsin()3sincosBCAB又因为,所以,因为ABCsin()sinBCAsin3sincosAAB,所以,又,所以。sin0A 1cos3B 0B22 2sin1 cos3BB(2)在中,由余弦定理可得,又,ABCA222323acacac所以有,所以的面积为22432243aa即即ABCA。211sinsin8 222SacBaB三角函数一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1
23、已知点 P(tan,cos)在第三象限,则角 的终边在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2集合 Mx|x ,kZ与 Nx|x,kZ之间的关系是 ( )k24k4A.M NB.N M C.MN D.MN 3若将分针拨慢十分钟,则分针所转过的角度是 ( )A.60 B.60 C.30 D.30 4已知下列各角( 1)787,(2)957,(3)289,(4)1711,其中在第一象限的 角是 ( ) A.(1) (2) B.(2) (3) C.(1) (3) D.(2) (4) 5设 a0,角 的终边经过点 P(3a,4a) ,那么 sin2cos 的值等于 ( )A
24、. B. C. D. 252515156若 cos() , 2,则 sin(2)等于 ( 1232)A. B. C. D. 323212327若 是第四象限角,则 是 ( ) A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 8已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是 ( )A.2 B. C.2sin1 D.sin2 2sin19如果 sinxcosx ,且 0x,那么 cotx 的值是 ( 15)A. B. 或 C. D. 或 43433434433410若实数 x 满足 log2x2sin,则|x1|x10|的值等于 ( ) A.2x9 B.92x
25、C.11 D.9 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11tan300cot765的值是_. 12若2,则 sincos 的值是_. sincossincos13不等式(lg20)2cosx1,(x(0,)的解集为_. 14若 满足 cos ,则角 的取值集合是_.1215若 cos130a,则 tan50_. 16已知 f(x),若 ( ,),则 f(cos)f(cos)可化简为_. 2三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 (本小题满分 12 分)设一扇形的周长为 C(C0),当扇形中心角为多大时,它有最大
26、面积?最大面积是多少?18(本小题满分 14 分)设 90180,角 的终边上一点为P(x,),且 cos5x,求 sin 与 tan 的值.2419(本小题满分 14 分)已知 ,sin,cos,求 m 的值.2m3m542mm520(本小题满分 15 分)已知 045,且 lg(tan)lg(sin)lg(cos)lg(cot)2lg3 lg2,求 cos3sin3 的值.3221(本小题满分 15 分)已知 sin(5)cos( )和cos()cos(),且272320,0,求 和 的值.三角函数一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1下列函数中,最小正周期为
27、 的偶函数是 ( )A.ysin2x B.ycosx2C.ysin2xcos2xD.y 1tan2x1tan2x 2设函数 ycos(sinx),则 ( ) A.它的定义域是1,1 B.它是偶函数 C.它的值域是cos1,cos1 D.它不是周期函数 3把函数 ycosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的两倍,然后把图象向左平移 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 ( 4) A.y2sin2xB.y2sin2xC.y2cos(2x )D.y2cos( ) 4x244函数 y2sin(3x )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 ( 4)A. B. C. D. 323
28、435若 sincosm,且m1,则 角所在象限是 ( 2) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 6函数 y|cotx|sinx(0x且 x)的图象是 ( 32)7设 y,则下列结论中正确的是 ( cos2x1sinx) A.y 有最大值也有最小值 B.y 有最大值但无最小值 C.y 有最小值但无最大值 D.y 既无最大值又无最小值 8函数 ysin( 2x)的单调增区间是 ( 4)A.k,k (kZ) B.k ,k(kZ)388858C.k ,k(kZ) D.k,k(kZ) 83838789已知 0x,且 a0,那么函数 f(x)cos2x2asinx1 的最小值是 ( 12
29、) A.2a1 B.2a1 C.2a1 D.2a 10求使函数 ysin(2x)cos(2x)为奇函数,且在0,上是增函数的 的一个34值为 ( )A. B. C. D. 5343233二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)11函数 y的值域是_. cosx12cosx12函数 y的定义域是_.13如果 x,y0, ,且满足|sinx|2cosy2,则 x_,y_. 14已知函数 y2cosx,x0,2和 y2,则它们的图象所围成的一个封闭的平面图 形的面积是_ 15函数 ysinxcosxsin2x 的值域是_. 16关于函数 f(x)4sin(2x )(xR)有下列
30、命题:3由 f(x1)f(x2)0 可得 x1x2必是 的整数倍;yf(x)的表达式可改为 y4cos(2x );6yf(x)的图象关于点( ,0)对称;6yf(x)的图象关于直线 x 对称.6其中正确的命题的序号是_. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 (本小题满分 12 分)如图为函数 yAsin(x)(A0,0)的图象的一部分,试求 该函数的一个解析式.18 (本小题满分 14 分)已知函数 y(sinxcosx)22cos2x.(xR) (1)当 y 取得最大值时,求自变量 x 的取值集合. (2)该函数图象可由 ysinx(
31、xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?19 (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)(sinxcosx)21log(1)求它的定义域和值域;(2)求它的单调减区间; (3)判断它的奇偶性;(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期.20 (本小题满分 15 分)某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠(如图) ,为降低成本,必 须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m,渠深 3 米,则水渠 侧壁的倾斜角 应为多少时,方能使修建的成本最低?21 (本小题满分 15 分)已知函数 f(x)sin(x)(0,0)是 R 上的偶函数,其图象关于点 M(,0)对称,且在区
32、间0,上是单调函数,求 和 的值.342倒数关系:tan cot=1sin csc=1cos sec=1 商的关系: sin/cos=tan=sec/csccos/sin=cot=csc/sec平方关系:sin2()+cos2()=11+tan2()=sec2()1+cot2()=csc2() 平常针对不同条件的常用的两个公式sin2()+cos2()=1tan *cot =1 一个特殊公式(sina+sin)*(sina-sin)=sin(a+)*sin(a-)证明:(sina+sin)*(sina-sin)=2 sin(+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos(+a)/2 sin(a-
33、)/2=sin(a+)*sin(a-) 坡度公式我们通常半坡面的铅直高度 h 与水平高度 l 的比叫做坡度(也叫坡比) , 用 字母 i 表示,即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如 i=1:5.如果把坡面与水 平面的夹角记作a(叫做坡角) ,那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式正弦: sin = 的对边/ 的斜边余弦:cos = 的邻边/ 的斜边正切:tan = 的对边/ 的邻边余切:cot = 的邻边/ 的对边 二倍角公式正弦sin2A=2sinAcosA余弦1.Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a)2.Cos2a=1-2Sin2(a)3.Cos2a
34、=2Cos2(a)-1即 Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a)=2Cos2(a)-1=1-2Sin2(a)正切tan2A=(2tanA)/(1-tan2(A)) 三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)三倍角公式推导 sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cosa
35、-1)cosa-2(1-cosa)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sina)=4sina(3/2)-sina=4sina(sin60-sina)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60- a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosacosa-(3/2)2=4cosa(cosa-cos30)=4cosa(cosa+cos30)(c
36、osa-cos30)=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a- 30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)现列出公式如下: sin2=2sincos tan2=2tan/(1-tan2() cos2=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() 可别轻视这些字符,它
37、 们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中 三倍角公式sin3=3sin-4sin3()=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4cos3()-3cos=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3=tan()*(-3+tan()2)/(-1+3*tan()2)=tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos) tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 万能公式sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1- tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 其他sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*( n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*( n-1)/n=0 以及 sin
限制150内