大一高数预习复习资料完整编辑.doc
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1、高等数学(非数院)第一章第一章函数与极限函数与极限 第一节第一节函数函数 函数基础(高中函数部分相关知识) () 邻域(去心邻域) (),|U ax xa,|0U axxa第二节第二节数列的极限数列的极限 数列极限的证明()【题型示例】已知数列,证明 nx limnxxa 【证明示例】语言N1由化简得,nxa gn Ng 2即对,。当时,始终0 Ng Nn 有不等式成立,nxa axn x lim第三节第三节函数的极限函数的极限 时函数极限的证明()0xx 【题型示例】已知函数,证明 xf Axf xx 0lim【证明示例】语言1由化简得, f xA 00xxg g2即对,当时,0 g00xx
2、始终有不等式成立, f xA Axf xx 0lim时函数极限的证明()x 【题型示例】已知函数,证明 xf Axf x lim【证明示例】语言X1由化简得, f xA xg gX 2即对,当时,始终有0 gX Xx 不等式成立, f xA Axf x lim第四节第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大 无穷小与无穷大的本质() 函数无穷小 xf 0limxf函数无穷大 xf xflim无穷小与无穷大的相关定理与推论() (定理三)假设为有界函数,为无穷小, xf xg则 lim0f xg x(定理四)在自变量的某个变化过程中,若 xf为无穷大,则为无穷小;反之,若 1fx为无穷小,且,则为无穷
3、xf 0f x xf1大【题型示例】计算:(或) 0lim xxf xg x x1函数在的任一去心 f xM f x0xx 邻域内是有界的;,0xU(,函数在上有界; f xM f xDx) 2即函数是时的无穷小; 0lim0 xg xx xg0xx (即函数是时的无穷小; 0lim xg x xgx)3由定理可知 0lim0 xxf xg x () lim0 xf xg x 第五节第五节极限运算法则极限运算法则 极限的四则运算法则() (定理一)加减法则 (定理二)乘除法则关于多项式、商式的极限运算 p x xq设: nnnmmmbxbxbxqaxaxaxp1 101 10则有 0lim00
4、 ba xqxpx mnmnmn 000 lim 0 0xxf x g xf x g x 0000000,00g xg xf xg xf x(特别地,当(不定型)时,通常 00lim0xxf x g x分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出 极限值,也可以用罗比达法则求解)【题型示例】求值233lim9xx x 【求解示例】解:因为,从而可得,所以3x3x 原式23333311limlimlim93336xxxxx xxxx其中为函数的可去间断点3x 23 9xf xx 倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节):解: 0 0233323311limlimlim9269xL xxxx x
5、xx连续函数穿越定理(复合函数的极限求解) ()(定理五)若函数是定义域上的连续函数,那 xf么, 00limlim xxxxfxfx 【题型示例】求值:93lim23xxx【求解示例】22333316limlim9966xxxx xx第六节第六节极限存在准则及两个重要极限极限存在准则及两个重要极限夹迫准则(P53) ()第一个重要极限:1sinlim 0 xxx,2, 0xxxxtansin1sinlim 0 xxx0000lim11limlim1sinsinsinlimxxxxx xxx xx(特别地,)000sin()lim1 xxxx xx单调有界收敛准则(P57) ()第二个重要极限
6、:exxx 11lim(一般地,其中 limlimlimg xg xf xf x ) 0limxf【题型示例】求值:11232lim xxxx【求解示例】211121212122121122122121lim21 221232122limlimlim121212122lim1lim121212lim121xxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx 解:12lim1212121212122lim121x xxxxxxx xeeee 第七节第七节无穷小量的阶(无穷小的比较)无穷小量的阶(无穷小的比较) 等价无穷小()1 sin tan arcsin arctan ln(1)1UUUUUUU
7、e2UUcos1212(乘除可替,加减不行)【题型示例】求值: xxxxxx31ln1lnlim20 【求解示例】 31 31lim31lim31ln1lim31ln1lnlim, 0, 000020xx xxxx xxxxxxxxxxxxxxx所以原式即解:因为第八节第八节函数的连续性函数的连续性 函数连续的定义() 000limlim xxxxf xf xf x 间断点的分类(P67) () )无穷间断点(极限为第二类间断点可去间断点(相等)跳越间断点(不等)限存在)第一类间断点(左右极(特别地,可去间断点能在分式中约去相应公因式)【题型示例】设函数 ,应该怎样 xaexfx200 xx选
8、择数,使得成为在上的连续函数?a xfR 【求解示例】1 2 010000feeefaafa 2由连续函数定义 efxfxf xx 0limlim 00ea 第九节第九节闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 零点定理()【题型示例】证明:方程至少有一个 f xg xC根介于与之间ab 【证明示例】1 (建立辅助函数)函数在 xf xg xC闭区间上连续;, a b2(端点异号) 0ab3由零点定理,在开区间内至少有一点,ba,使得,即( 0 0fgC)104这等式说明方程在开区间 f xg xC内至少有一个根ba, 第二章第二章导数与微分导数与微分 第一节第一节导数概念导数概念 高等数
9、学中导数的定义及几何意义(P83) ()【题型示例】已知函数 ,在 baxexfx100 xx处可导,求,0xab 【求解示例】1, 0010fefa 00001120012feefbfe 2由函数可导定义 0010002ffafffb 1,2ab【题型示例】求在处的切线与法线方程 xfy ax (或:过图像上点处的切线与法线 xfy , a f a 方程) 【求解示例】 1, xfy afyax|2切线方程: yf afaxa法线方程: 1yf axafa 第二节第二节函数的和(差)函数的和(差) 、积与商的求导法则、积与商的求导法则 函数和(差) 、积与商的求导法则() 1线性组合(定理一
10、):()uvuv特别地,当时,有1()uvuv 2函数积的求导法则(定理二):()uvu vuv 3函数商的求导法则(定理三):2uu vuv vv 第三节第三节反函数和复合函数的求导法则反函数和复合函数的求导法则 反函数的求导法则()【题型示例】求函数的导数 xf1【求解示例】由题可得为直接函数,其在定于域 xf上单调、可导,且;D 0 xf 11fxfx 复合函数的求导法则()【题型示例】设,求2arcsin122lnxyexay【求解示例】 2222222arcsin122arcsin122222 arcsin1222arcsin1222arcsin1222arcsin122arcsia
11、rcsin1221112112 1221 221xxxxxxxyexa exaxxae xaxexax xxe xxaexae exa 解:2n1222212xxxxxxa 第四节第四节高阶导数高阶导数(或) () 1nnfxfx11nnnnd ydy dxdx 【题型示例】求函数的阶导数xy1lnn【求解示例】,1111yxx , 12111yxx 2311121yxx 1( 1)(1) (1)nnnynx ! 第五节第五节隐函数及参数方程型函数的导数隐函数及参数方程型函数的导数 隐函数的求导(等式两边对求导) ()x【题型示例】试求:方程所给定的曲线:yexyC在点的切线方程与法线方程 x
12、yy 1 ,1e【求解示例】由两边对求导yexyx即化简得 yyxe1yyey eey11 111切线方程:exey1111法线方程:exey111 参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程,求 tytx 22dxyd【求解示例】1.2. tt dxdy 22dy d ydx dxt第六节第六节变化率问题举例及相关变化率(不作要求)变化率问题举例及相关变化率(不作要求)第七节第七节函数的微分函数的微分 基本初等函数微分公式与微分运算法则() dxxfdy 第三章第三章中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用 第一节第一节中值定理中值定理 引理(费马引理) () 罗尔定理()【题型示例】现假设
13、函数在上连续,在 f x0,上可导,试证明:,0,0, 使得成立 cossin0ff【证明示例】1 (建立辅助函数)令 sinxf xx显然函数在闭区间上连续,在开区间 x0,上可导;0,2又 00 sin00f sin0f 即 00 3由罗尔定理知,使得成0, cossin0ff立 拉格朗日中值定理()【题型示例】证明不等式:当时,1x xee x 【证明示例】1 (建立辅助函数)令函数,则对, xf xe1x 显然函数在闭区间上连续,在开区间 f x1,x上可导,并且;1,x xfxe2由拉格朗日中值定理可得,使得等式1,x 成立,11xeexe又,1ee111xeexee xe 化简得,
14、即证得:当时,xee x 1x xee x 【题型示例】证明不等式:当时,0x ln 1xx【证明示例】1 (建立辅助函数)令函数,则对 ln 1f xx,函数在闭区间上连续,在开0x f x0,x区间上可导,并且;0, 1 1fxx 2由拉格朗日中值定理可得,使得等式0,x 成立,1ln 1ln 1 001xx化简得,又,1ln 11xx0,x, 111fln 11xxx 即证得:当时,1x xee x 第二节第二节罗比达法则罗比达法则 运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤()1等价无穷小的替换(以简化运算) 2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比 达法则的三个前提条件A属于两大基本不
15、定型()且满足条件,0,0 则进行运算: limlim xaxaf xfx g xgx(再进行 1、2 步骤,反复直到结果得出)B不属于两大基本不定型(转化为基本不定 型) 型(转乘为除,构造分式)0【题型示例】求值: 0limln xxx【求解示例】10000201 lnlnlimlnlimlimlim111lim0xxL xxxxxxxxx xxxxa 解:(一般地,其中) 0limln0 xxx,R 型(通分构造分式,观察分母)【题型示例】求值: 011limsinxxx 【求解示例】200011sinsinlimlimlimsinsinxxxxxxx xxxxx解: 00 000000
16、2sin1 cos1 cossinlimlimlimlim0222L xxL xxxxxxx xxx型(对数求极限法)00【题型示例】求值: 0limxxx 【求解示例】0000limlnln000002ln,lnlnln1lnln0lim lnlimlim111limlim0limlim11xxxxxL xyyxxxxxyxyxxxxxxxyxxxxyeeex 解:设两边取对数得:对对数取时的极限:,从而有型(对数求极限法)1【题型示例】求值:10lim cossinx xxx 【求解示例】 01000 000limlnln100ln cossincossin,ln,ln cossinln0
17、limlnlimln cossincossin1 0limlim1,cossin1 0lim =limxxxxL xxyyxxxxyxxyx xxyxyxxxxx xxxyeeee解:令两边取对数得对求时的极限,从而可得型(对数求极限法)0【题型示例】求值:tan01limxxx 【求解示例】tan002000202200011,lntanln,1ln0limlnlim tanln1 lnlnlimlimlim1sec1 tantantansinsinlimlimlixxxxLxxxL xyyxxxyxyxxxxx x xxxxx xx 解:令两边取对数得对求时的极限,00limlnln000
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