电磁场与电磁波答案(第四版.)谢处方.doc
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1、/一章习题解答一章习题解答1.1 给定三个矢量A、B和C如下:23xyzAeee4yz Bee52xzCee求:(1)Aa;(2)AB;(3)A BA;(4)AB;(5)A在B上的分量;(6) A C;(7)()A B CA和()AB CA;(8)()ABC和()AB C。解解 (1)22223123 14141412( 3)xyz Axyz eeeAaeeeA(2)AB(23)(4)xyzyz eeeee6453xyzeee(3)A BA(23)xyzeee(4)yzeeA11(4)由 cosAB1111 1417238 A B A BA,得 1cosAB11()135.5238(5)A在B
2、上的分量 BA AcosAB11 17 A B BA(6)A C123502xyz eee41310xyzeee(7)由于B C041502xyz eee8520xyzeeeAB123041xyz eee1014xyzeee所以 ()A B CA(23)xyzeeeA(8520)42xyz eee()AB CA(1014)xyzeeeA(52)42xz ee/(8)()ABC1014502xyz eee2405xyzeee()AB C1238520xyz eee554411xyzeee1.2 三角形的三个顶点为1(0,1, 2)P、2(4,1, 3)P和3(6,2,5)P。(1)判断123PP
3、 P是否为一直角三角形;(2)求三角形的面积。解解 (1)三个顶点1(0,1, 2)P、2(4,1, 3)P和3(6,2,5)P的位置矢量分别为12yzree,243xyzreee,3625xyzreee则 12214xzRrree, 233228xyzRrreee,311367xyz Rrreee由此可见1223(4) (28)0xzxyzRReeeeeAA故123PP P为一直角三角形。(2)三角形的面积 12231223111176917.13222S RRRR1.3 求( 3,1,4)P 点到(2, 2,3)P点的距离矢量R及R的方向。解解 34Pxyz reee,223Pxyzree
4、e,则 53P PPPxyzRrreee且P PR与x、y、z轴的夹角分别为115cos ()cos ()32.3135xP P x P Pe R RA113cos ()cos ()120.4735yP P y P PeRRA111cos ()cos ()99.7335zP P z P Pe R RA1.4 给定两矢量234xyzAeee和456xyzBeee,求它们之间的夹角和A在 B上的分量。解解 A与B之间的夹角为 1131cos ()cos ()1312977ABA B A BAA在B上的分量为 313.53277BA BABA/1.5 给定两矢量234xyzAeee和64xyz Be
5、ee,求AB在xyzCeee上的分量。解解 AB234 641xyz eee132210xyzeee所以AB在C上的分量为 ()CAB()2514.433 A B C CA1.6 6 证明:如果A BA A CA和ABA C,则BC;解解 由ABA C,则有()()AABAA C,即 ()()()()A B AA A BA C AA A CAAAA由于A BA A CA,于是得到 ()()A A BA A CAA 故 BC 1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积,那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量,p A XA而PAX,p和P已知,试求X。 解解 由PAX,有 ()()
6、()()pAPAAXA X AA A XAA A XAAA故得 pAAPXA AA1.8 在圆柱坐标中,一点的位置由2(4,3)3定出,求该点在:(1)直角坐标中的坐标; (2)球坐标中的坐标。解解 (1)在直角坐标系中 4cos(23)2x 、4sin(23)2 3y、3z 故该点的直角坐标为( 2,2 3,3)。(2)在球坐标系中 22435r 、1tan (4 3)53.1、23120故该点的球坐标为(5,53.1 ,120 )1.9 用球坐标表示的场225rrEe ,(1)求在直角坐标中点( 3,4, 5)处的E和xE;(2)求在直角坐标中点( 3,4, 5)处E与矢量22xyzBee
7、e构成的夹角。解解 (1)在直角坐标中点( 3,4, 5)处,2222( 3)4( 5)50r ,故2251 2rrEe133 2cos2205 2xxrxE e EEA(2)在直角坐标中点( 3,4, 5)处,345xyz reee,所以/233452525 10 2xyz rreeerE故E与B构成的夹角为 1119 (10 2)cos ()cos ()153.63 2EBE B E BA A1.10 球坐标中两个点111( ,)r 和222( ,)r 定出两个位置矢量1R和2R。证明1R和2R间夹角的余弦为121212coscoscossinsincos()解解 由 111111111s
8、incossinsincosxyzrrrReee222222222sincossinsincosxyzrrrReee得到 1212cosR R R RA1122112212sincossincossinsinsinsincoscos121211212sinsin(coscossinsin)coscos121212sinsincos()coscos1.11 一球面S的半径为5,球心在原点上,计算: (3sin ) dr SeSAA 的值。解解 (3sin ) d(3sin )drrr SSSeSeeAAAA2 2200d3sin5 sind75 1.12 在由5r 、0z 和4z 围成的圆柱形区
9、域,对矢量22rzrzAee验证散度定 理。解解 在圆柱坐标系中 21()(2 )32rrzrrrzAA所以 425000ddd(32) d1200zrrrAA又 2d(2 ) (ddd)rzrrzz SSrzSSSASeeeeeAAAA4 25 2 20 00 055d d2 4 d d1200zrr 故有 d1200 AAdSASAA1.13 求(1)矢量22222324xyzxx yx y zAeee的散度;(2)求 AA对中心在原点 的一个单位立方体的积分;(3)求A对此立方体表面的积分,验证散度定理。解解 (1)222223 2222()()(24)2272xx yx y zxx y
10、x y zxyzAA(2) AA对中心在原点的一个单位立方体的积分为/1 21 21 2 22221 21 21 21d(2272)d dd24xx yx y zxy z AA(3)A对此立方体表面的积分1 21 21 21 2 221 21 21 21 211d( ) dd() dd22Sy zy z ASAA1 21 21 21 2 22221 21 21 21 2112( ) d d2() d d22xx zxx z 1 21 21 21 2 2232231 21 21 21 211124( ) d d24() d d2224x yx yx yx y 故有 1d24AAdSASAA1.1
11、4 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分,并求 r A对球体积的积 分。解解 2 2300dddsind4r SSSaaa rSr eAAAA又在球坐标系中,2 21()3r rrrr A ,所以 2 230 0 0d3sind dd4a rra r A1.15 求矢量22 xyzxxy zAeee沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分, 此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求 A对此回路所包围的曲面积分,验证斯托 克斯定理。解解 2222 20000ddd2 d0d8CxxxxyyAlAA又 2222xyzxzyzxxyz xxy zeeeAee所以 2 20 0d
12、(22 )d d8xzz SyzxxyASeeeAA故有 d8CAlAAdS ASA1.16 求矢量2 xyxxyAee沿圆周222xya的线积分,再计算 A对此圆面积的 积分。/解解 2dddCCxxxyyAlAAA24 24220(cos sincossin)d4aaad()dyx zz SSAASxyASeeAA24 2220 0dsind d4aSaySrrr 1.17 证明:(1)3RA;(2)R0;(3)()A RAA。其中xyzxyzReee,A为一常矢量。解解 (1)3xyz xyzRA(2) xyzxyz xyyeeeR0(3)设xxyyzzAAAAeee,则xyzA xA
13、yA zA RA,故()()()xxyzyxyzA xA yA zA xA yA zxyA ReeA()zxyzA xA yA zze xxyyzzAAAeeeA1.18 一径向矢量场( )rf rFe表示,如果0FA,那么函数( )f r会有什么特点呢? 解解 在圆柱坐标系中,由 1 d( )0drf rrrFA可得到( )Cf rrC为任意常数。在球坐标系中,由 2 21 d( )0dr f rrrFA可得到 2( )Cf rr1.19 给定矢量函数xyyxEee,试求从点1(2,1, 1)P到点2(8,2, 1)P的线积分 dElA:(1)沿抛物线2xy;(2)沿连接该两点的直线。这个E
14、是保守场吗? 解解 (1) dddxy CCExEyElAddCyxxy2 221d(2)2dyyyy2 216d14yy (2)连接点1(2,1, 1)P到点2(8,2, 1)P直线方程为/ 28 12xx yy即 640xy故 21dddd(64)(64)dxy CCExEyyyyyElA21(124)d14yy由此可见积分与路径无关,故是保守场。1.20 求标量函数2x yz的梯度及在一个指定方向的方向导数,此方向由单位矢量 345 505050xyzeee 定出;求(2,3,1)点的方向导数值。 解解 222()()()xyzx yzx yzx yzxyzeee222xyzxyzx z
15、x yeee故沿方向345 505050lxyzeeee 的方向导数为22645 505050lxyzx zx y l e A点(2,3,1)处沿le的方向导数值为 361660112 50505050l 1.21 试采用与推导直角坐标中yxzAAA xyzAA 相似的方法推导圆柱坐标下的公式 1()z rAArArrrz AA 。解解 在圆柱坐标中,取小体积元如题 1.21 图所示。矢量场A沿re方向穿出该六面体的表 面的通量为()d dd dzzzzrrrrrr zzArrrArr ()(, , )( , , )rrrr A rrzrA rzz ()()1rrrArArzrrr 同理d d
16、d drr zzrr zzrzrzArzArz ( , )( , , )A rzA rzr z AArzr d dd drrrrzzzzzz rrArrArr rrzoxyrzz题 1.21 图/( , ,)( , , )zzA rzzA rz r rz zzAAr rzzz 因此,矢量场A穿出该六面体的表面的通量为 ()1rz rzArAArrrz 故得到圆柱坐标下的散度表达式 0()1limrzArAA rrrz A1.22 方程222222xyzuabc 给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。解解 由于 222222xyzxyzuabc eee222 2222 ()()()xy
17、zuabc故椭球表面上任意点的单位法向矢量为222 222222()()()()xyzuxyzxyz abcabcuneee1.23 现有三个矢量A、B、C为sincoscoscossinrAeee22sincos2sinrzzzrzBeee22(32 )2xyzyxxzCeee(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示?哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表 示? (2)求出这些矢量的源分布。 解解(1)在球坐标系中2 2111()(sin)sinsinrAr AArrrr AA2 2111(sincos )(sincoscos )( sin )sinsinrrrrr 2cos2sincosco
18、ssincos0sinsinrrrr2sin1 sin sinrrrrrr ArArA eeeA/2sin10sin sincoscoscossinsinrrrrr rr eee故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示,也可以由一个矢量函数的旋度表示; 在圆柱坐标系中11()z rBBrBrrrz B =A2211(sin )(cos )(2sin )rzzrzrrrz22sinsin2 sin2 sinzzrrrr22110sincos2sinrzrzrzrrrrzrrz BrBBzrzrz eeeeeeB故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示; 直角在坐标系中yxzCCC xyzC =A22(
19、32 )()(2 )0yxxzxyz22(26 )322xyzzxyxyz yxxz eeeCe故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。(2)这些矢量的源分布为0AA,0A; 2 sinr B =A,0B; 0CA,(26 )zxyCe1.24 利用直角坐标,证明 ()fffAAAAAA 解解 在直角坐标中()()yxz xyzAAAffffffAAAxyzxyz AAAA/()()()yxz xyzAAAffffAfAfAxxyyzz()()()()xyzfAfAfAfxyz AA1.25 证明 ()AHHAAHAAA 解解 根据算子的微分运算性质,有 ()()()AH AHAHAHAAA式中
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- 电磁场 电磁波 答案 第四 处方
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